壓力容器疲勞加載下埋藏裂紋擴展規(guī)律的研究

謝 陽, 龍 偉, 趙 波, 劉華國

(1. 四川大學(xué)機械工程學(xué)院, 成都 610065; 2. 先進制造技術(shù)四川省重點實驗室, 成都 610065)

1 引 言

大型壓力容器在使用過程中由于受到溫度、載荷等時變因素的影響，常常在其內(nèi)部形成各種類型的裂紋缺陷.隨著交變載荷的作用，裂紋逐漸擴展，當(dāng)達到其臨界尺寸時發(fā)生疲勞斷裂，由此導(dǎo)致嚴重的事故，造成重大的財產(chǎn)損失.在各種類型的裂紋中，埋藏裂紋是金屬壓力容器裂紋缺陷失效破壞的常見形式之一，由于具有隱秘性和不確定性，相對于其他類型的缺陷而言，其危害程度更大.盡管埋藏裂紋能夠通過探傷技術(shù)進行檢測，但由于設(shè)備靈敏度和精度等原因，往往無法精確檢測到壓力容器埋藏裂紋在使用過程中的演變過程，使得壓力容器埋藏裂紋難以獲得準(zhǔn)確的安全程度評估值. 因此建立埋藏裂紋擴展過程中的幾何尺寸關(guān)聯(lián)模型是解決計算其安全程度的關(guān)鍵.

目前，裂紋擴展的研究主要集中在表面裂紋，Newman和Raju[1-3]在對大量表面裂紋進行有限元分析研究以及實驗驗證的基礎(chǔ)上，提出了表面裂紋在擴展過程中一直保持半圓形或半橢圓形的擴展理論模型. Isida等[4]研究了具有半橢圓形表面裂紋有限厚度板的拉伸和彎曲，通過改進施力方法，推算表面裂紋形狀和應(yīng)力強度因子的實際準(zhǔn)確值. Lin等[5]討論了適用于預(yù)測在拉伸和彎曲載荷作用下薄板表面裂紋擴展的多自由度數(shù)值分析方法.馮西橋等[6]以核反應(yīng)堆中壓力容器和管道的破前漏(LBB)分析為背景，從連續(xù)損傷力學(xué)的角度研究了壓力容器和管道中環(huán)向和軸向半橢圓表面裂紋在循環(huán)載荷作用下的疲勞擴展問題.針對埋藏裂紋主要是關(guān)于超聲無損測定的研究，而對于裂紋擴展中的幾何形貌的演變規(guī)律研究較少.本文基于斷裂力學(xué)理論，通過對不同材料施加周期性的拉伸載荷，運用數(shù)值求積原理對埋藏裂紋擴展進行分析研究，獲得埋藏裂紋長度與深度之間的關(guān)系，為壓力容器安全裕度和剩余壽命的研究[7]提供基礎(chǔ).

2 裂紋的擴展規(guī)律

2.1 裂紋擴展準(zhǔn)則

裂紋擴展主要是描述裂紋在疲勞載荷作用下的形狀變化.Paris提出基于斷裂力學(xué)理論及實驗的疲勞裂紋擴展式[8-10]，即Paris公式:

(1)

式中:ΔK為應(yīng)力強度因子變化范圍;C和m是與材料有關(guān)的參數(shù).

基于Newman等人提出的表面裂紋擴展過程中一直保持半橢圓形的擴展理論模型，針對埋藏裂紋擴展特性以及規(guī)則化表征處理原則，假設(shè)埋藏裂紋的形態(tài)一直呈現(xiàn)出橢圓形，利用Paris公式分別計算埋藏裂紋長度值c和深度值a與疲勞應(yīng)力循環(huán)次數(shù)的積分關(guān)系. 如圖1，在計算中只考慮前端的中心裂紋A和邊界裂紋B. 其數(shù)學(xué)表達式為：

(2)

(3)

圖1 埋藏裂紋初始形狀: (a) a/c≤1; (b) a/c>1 Fig.1 Initial shapes of embedded crack: (a) a/c≤1; (b) a/c>1

式中ΔKA，ΔKB分別為中心裂紋A，邊界裂紋B的應(yīng)力強度因子變化范圍；CA，CB分別為中心裂紋A，邊界裂紋B的Paris公式常數(shù).將式(2)、(3)進行迭代，將會獲得關(guān)于裂紋缺陷的長度值與深度值得關(guān)聯(lián)關(guān)系：

(4)

由式(4)可知，裂紋在長度和深度方向的關(guān)聯(lián)關(guān)系與裂紋的尖端處應(yīng)力強度因子K和材料常數(shù)相關(guān).由于表面裂紋在裂紋長度方向上存在較大的塑性區(qū)，受表面的延展性阻礙作用[11]，在一定程度上將影響長度c的擴展，這里取CA=0.9mCB，針對埋藏裂紋而言CA=CB.因此，對于埋藏裂紋通過以下方式擴展：

(5)

式中Δa為裂紋中心點A的擴展量；Δc為裂紋邊界點B的裂紋擴展量.

2.2 應(yīng)力強度因子的計算

以壓力容器為例，將埋藏裂紋所在部分假設(shè)成如圖2所示的平板，分析位于平板的橫截面區(qū)域所對稱表面缺陷相關(guān)的裂紋路徑，該缺陷受疲勞I型載荷下的均勻張力.

由Newman和Raju[1-3]提供的應(yīng)力強度因子K的計算被廣泛應(yīng)用.并且使用多種方法[1,12-14]從實驗和數(shù)值的角度進行了驗證.本文運用該方法中埋藏裂紋應(yīng)力強度因子K的計算，通過對裂紋幾何形狀的分析來計算應(yīng)力強度應(yīng)子.因只給出了拉

圖2 含埋藏裂紋的平板Fig.2 Embedded crack in a plate

應(yīng)力作用下應(yīng)力強度因子的計算公式，則本文只對拉應(yīng)力作用下的情況進行討論.另外，Newman和Raju提供的方程在拉應(yīng)力作用下對于0≤a/c≤，c/b<0.5且-π≤φ≤π有效，如果0≤a/c≤0.2，則a/t<1.25(a/c+0.6);如果0.2≤a/c≤，則a/t<1，但對于a/t>0.8作者尚未給出確定的精度，其中a是裂紋深度(mm)；b是裂紋所在材料長度的一半(mm)；c是埋藏裂紋長度的一半(mm)；t是裂紋所在材料厚度(mm).應(yīng)力強度因子K表達式[3]如下:

(6)

式中St為外部施加拉伸應(yīng)力，F(xiàn)e、Q為求解應(yīng)力強度因子的過程變量與裂紋形狀有關(guān)，(a/c)深長比，(a/t)是相對裂紋深度，(c/b)是相對裂紋長度；φ為裂紋前端點的角度.

其中St：

(7)

式中F為拉力.通過以下公式獲得Fe:

(8)

式中M1,M2,M3為過程變量，fφ為角度修正因子，fw為有限寬板校正因子.

(9)

求解Fe所需參數(shù)

M1=1

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

求解Fe所需參數(shù)

(17)

(18)

其中計算M2,M3,g和fw的公式分別與式(11)(12)(13)和(15) 相同.通過以上給出的埋藏裂紋應(yīng)力強度因子計算公式來求解K，用于分析裂紋前沿的擴展.

3 裂紋擴展的數(shù)值分析

3.1 埋藏裂紋擴展的數(shù)值分析

首先假設(shè)裂紋呈橢圓形，裂紋前端疲勞裂紋點的擴展都垂直于裂紋前端方向(深度a方向)，如圖1，其中主要在深度a和長度c上擴展，即橢圓的長短半軸不斷增大.

將橢圓裂紋的前沿離散化分成長度相同的z段并運用Simpson公式.另外，每個裂紋點n都在垂直于裂紋前端方向上擴展并且遵循Paris公式，這樣使得橢圓形裂紋在擴展過程中最大裂紋擴展量Δamax保持恒定，且Δamax所在點與橢圓形裂紋線上所有點都相關(guān)，該點存在最大的應(yīng)力強度因子范圍ΔKmax.由此，可以根據(jù)Paris迭代公式(5)，得到如下公式，來求解橢圓形裂紋線上任何一點n的裂紋擴展量Δan.

(19)

式中Δan第n點的裂紋擴展量，Δamax迭代計算中最大裂紋擴展量，ΔKn第n點的應(yīng)力強度因子變化范圍，ΔKmax最大應(yīng)力強度因子變化范圍.考慮Newman和Raju方程(式(6)～(22))，得到以下公式：

(20)

則可通過最小二乘法擬合在不同時刻形成的新的橢圓形裂紋，從而得到裂紋擴展的不同時刻的變化規(guī)律.

若只考慮擴展中A、B兩點的情況下，如圖1，在擴展過程中心裂紋點A和邊界裂紋點B在不同擴展方式下都有可能產(chǎn)生最大擴展量Δamax，若A點擴展Δamax，則B點裂紋擴展量通過等式(5)計算.同理，知道B點最大擴展量，能求出A點擴展量.

3.2 裂紋迭代流程

為了更好地分析理論計算中裂紋的變化規(guī)律，運用Python計算機語言將上述數(shù)值計算方法進行編程，分析受拉力作用下埋藏裂紋相關(guān)的裂紋路徑，通過循環(huán)的迭代計算得出深度和長度的變化情況.因為裂紋形狀可以通過裂紋的深長比a/c和裂紋深度尺寸a來表示，根據(jù)以上變化情況繪制了裂紋深長比隨裂紋深度的函數(shù)變化情況.裂紋主要迭代流程，如圖3.圖3中,Δai為A點第i次的裂紋擴展量；Δci為B點第i次的裂紋擴展量.

圖3 埋藏裂紋迭代計算流程

4 裂紋變化分析

利用Python語言對數(shù)值計算方法進行編程計算.確定每個橢圓裂紋離散化后分成長度相同的48段，且迭代過程中最大裂紋深度Δamax=0.000 01t.通過改變Paris公式系數(shù)m來表示不同的材料取m=2，3，4.如圖4，繪制了初始裂紋形狀為a0={0.4,2.0,4.0,6.0,8.0}mm和(a/c)0={0.2,0.5,1.0,1.5,2.0}，一共25個不同初始裂紋的裂紋深長比a/c隨裂紋深度a的函數(shù)變化情況.圖5繪制了m取不同值即不同材料情況下，初始裂紋形狀為(a/c)0={0.2,1.0,2.0}和a0={0.4,4.0,8.0}mm，一共9個不同初始裂紋的裂紋形狀曲線擴展變化.

圖4 不同材料各個初始點的裂紋深長比a/c隨裂紋深度a變化

從圖4可以看出：(1)對于(a/c)0<1的埋藏裂紋，裂紋深長比a/c隨著裂紋深度a的增加而增大，接近于1后趨于穩(wěn)定；對于(a/c)0>1的埋藏裂紋，裂紋深長比a/c隨著裂紋深度a的增加而減小，接近于1時趨于穩(wěn)定，說明埋藏裂紋受拉伸應(yīng)力作用的擴展情況，最后的形狀趨近圓形.將圖中所有曲線迅速收斂的路徑定義為 “最優(yōu)擴展路徑”.(2)初始裂紋相同的a0， (a/c)0的值越高，表現(xiàn)出更快收斂于最優(yōu)擴展路徑的趨勢，同時，a0≥2.0 mm的初始裂紋受到拉伸應(yīng)力時，表現(xiàn)出更慢收斂于最優(yōu)擴展路徑.(3) Paris公式指數(shù)m值越大，表現(xiàn)出更快的收斂于最優(yōu)擴展路徑.

從圖5可以看出：(1)裂紋受拉應(yīng)力作用下，隨著m的增加，裂紋更趨向于a=c的方向發(fā)展.(2)初始裂紋為(a/c)0=0.2時，裂紋橢圓曲線的排列隨著Paris指數(shù)m的變化而變化，其主要取決于初始裂紋深度a0.(3)在(a/c)0=1.0的初始圓形裂紋，較大的Paris系數(shù)m產(chǎn)生較低的裂紋深寬比.對于極深的裂縫(a/c)0= 2.0，也會出現(xiàn)較大的Paris系數(shù)m產(chǎn)生較低的裂紋深寬比的情況.

5 結(jié) 論

本文基于斷裂力學(xué)以及一對Paris公式，通過由Newman和Raju推導(dǎo)的應(yīng)力強度因子分析了埋藏裂紋長度與深度的擴展.討論了在不同初始裂紋尺寸下裂紋深長比的變化情況，考慮了不同材料對于受拉時裂紋擴展的影響.計算得到了裂紋深長比隨相對尺寸變化的曲線、裂紋擴展中裂紋形狀變化.得出以下結(jié)論：(1)在拉力作用下，埋藏裂紋的疲勞擴展總是趨向于最優(yōu)擴展路徑方向擴展; (2)初始裂紋深長比和指數(shù)m越大，則收斂于最優(yōu)擴展路徑的速度越快，即形成近似圓形的趨勢更快; (3)初始裂紋a0越大, 受到拉伸應(yīng)力時，收斂于最優(yōu)擴展路徑更慢.