基于一次差分預報原理的常用鐘差預報模型效果分析

王宇譜 薛申輝 王 威 丁 陽 李博宇 劉峰宇

1 武漢大學衛星導航定位技術研究中心，武漢市珞喻路129號，430079 2 北京衛星導航中心，北京市永豐路5128號，100094 3 信息工程大學地理空間信息學院，鄭州市科學大道62號，450001

全球衛星導航系統(GNSS)是以時間測量為基礎的系統[1]，衛星鐘差預報在系統時間同步[2]、系統自主運行與自主導航[3]、實時精密單點定位應用[4]等方面具有重要的作用和意義。因此，針對衛星鐘差預報建立了多種模型，例如常用的一次多項式(LP)模型、二次多項式(QP)模型、灰色模型(GM模型)、時間序列ARIMA模型(ARIMA模型)、譜分析(SA)模型(也稱為附有周期項的二次多項式模型)、Kalman濾波(KF)模型、神經網絡模型以及這些模型的改進模型[5-9]。其中，文獻[9]在建立衛星鐘差預報的小波神經網絡時發現，通過相鄰歷元衛星鐘差數據之間的一次差分可以得到較高精度的預報結果。之后，有學者進行了更進一步的研究[10-11]。但對相關研究進行總結分析可知，其仍存在較多的局限性，例如現有的研究主要是通過一次差分處理來改進某種特定模型的預報效果。同時，對于常用鐘差預報模型基于一次差分預報原理的效果對比的研究相對較少，而且不夠充分、全面?；诖?，本文系統地對比LP、QP、GM、SA、ARIMA、KF等6種常用鐘差預報模型基于一次差分預報原理進行鐘差預報時的效果及其相關特性，從不同角度對預報結果進行分析，一定程度上明確了哪些模型在何種預報條件下對于哪些類型的衛星及其星載鐘能夠取得相對較好的短期預報結果，進一步驗證了鐘差一次差分預報原理的有效性和適應條件，豐富和完善了鐘差一次差分預報原理的理論體系。

1 鐘差一次差分預報原理與常用鐘差預報模型的相關說明

1.1 鐘差一次差分預報原理的說明和分析

鐘差一次差分預報原理可以表述為[1,9,11]：已知的歷史鐘差數據記為L={l(i),i=1,2,…,n}，相鄰2個歷元的鐘差值l(i)、l(i-1) (i=2,…,n)作差得到其所對應的一次差分數據序列ΔL={Δl(i),i=1,2,…,(n-1)}，用ΔL確定特定的鐘差預報模型之后，預報Δl(n-1)對應時刻之后連續的m(m>1)個不同時刻的一次差分序列ΔL1={Δl(j),j=n,n+1, …,n+m-1}，則所需預報歷元時刻的鐘差值為：

m、n、k∈N*

(1)

從上面公式可知，鐘差一次差分預報原理對已知鐘差數據l(n)的依賴程度高，本文采取文獻[12]的策略確保該數值的可靠性。同時可以看出，經過鐘差數據相鄰歷元間的一次差分，會得到1組有效數字位數減少且便于準確擬合的數據序列。這是由于，為了記錄高精度的時間信息，衛星鐘差數據的有效位數通常比較多、數值比較大，而導航系統星載原子鐘在 1 h這種短時間內相鄰時刻輸出的變化相對穩定，相鄰歷元間的鐘差數值變化不大；衛星鐘差數據在進行相鄰歷元一次差分之后，可以在一定程度上消除原鐘差序列趨勢項和可能存在的系統誤差的影響。這些特性使得鐘差一次差分預報原理從理論上比常規衛星鐘差建模預報策略更具優勢。但根據誤差傳播定律可知，鐘差數據作差得到的一次差分數據序列的誤差會變大，這在一定程度上影響和制約鐘差一次差分預報原理的性能。因此，需要根據實驗驗證其效果、確定其使用方法。

1.2 幾種常用鐘差預報模型的說明

1)在衛星鐘差數據擬合和預報之前，使用中位數(MAD)方法[1,12]進行數據預處理。

2)在進行模型參數解算時，估值方法統一采用最小二乘法。

3)對于SA模型周期項的確定和選取，借鑒已有研究對衛星鐘差周期項分析的結果?？紤]到下文中是以GPS衛星鐘差數據為例進行擬合預報，而對于GPS衛星鐘差的周期特性，Senior等[13]給出了詳細的分析，因此本文取12 h和6 h作為SA模型的主周期項。

4)在使用ARIMA模型進行鐘差擬合預報時，先利用自相關函數和偏相關函數的截尾性初步確定模型和模型的階數，然后基于赤池信息量準則(Akaike information criterion，AIC)來準確確定模型的階數[1]。

5)針對KF模型擬合預報過程中協方差矩陣的確定，使用孫啟松等[14]提出的基于方差遞推法來確定噪聲矩陣的KF模型，進行鐘差擬合預報。

6)采用均方根誤差(RMS)對預報結果的精度進行對比與分析，RMS的計算公式為：

(2)

1.3 原理流程圖

在對一次差分預報原理進行說明和分析的基礎上，結合對幾種常用鐘差預報模型的說明，給出本文各模型進行鐘差預報時的主要工作流程，見圖1。

圖1 衛星鐘差預報的主要工作流程Fig.1 The main working principle flow of SCB prediction

2 實驗與分析

采用IGS提供的GPS系統15 min采樣間隔的精密鐘差數據進行實驗分析。數據采集時間為2015-04-07～21，選取數據連續、完整的衛星進行鐘差預報實驗，表1中加粗的衛星號為實驗所用衛星。

使用前1 d的衛星鐘差數據擬合后預報接下來1 d的鐘差，連續預報14次。分別統計每次預報結果前3 h、前6 h、前12 h和前24 h的預報精度，通過對比6種常用模型(其中ARIMA模型記為AM模型)分別在常規建模條件與一次差分預報原理條件下的預報結果，分析基于鐘差一次差分預報原理的特性。其中，基于鐘差一次差分預報原理條件下的6種常用模型分別記作DLP模型、DQP模型、DGM模型、DSA模型、DAM模型和DKF模型。最后，按照衛星鐘的類型給出幾種常用鐘差預報模型在不同預報時長下14次連續預報結果的RMS平均值的變化情況(圖2，加D的圖例表示一次差分預報結果)；給出實驗分析所用全部衛星分別在常規建模條件下和一次差分預報原理條件下不同預報時長的衛星鐘差預報結果精度的平均值。

表1 數據采集時間段內GPS在軌衛星鐘的類型

圖2 幾種常用鐘差預報模型不同預報時長下預報結果的RMS平均值Fig.2 RMS mean values of prediction results under different prediction durations of several common clock bias prediction models

表2 各模型不同預報時長下所有衛星預報精度的對比

分析圖表結果可知：

1)對比LP模型與DLP模型，在3 h和6 h的預報中，DLP模型的預報精度優于LP模型。特別是在3 h的預報中，對于5種不同類型的衛星鐘，DLP模型的預報精度都最高，并且就該時段所有衛星預報精度的平均值而言，DLP模型的預報精度較LP模型提高了近50%。但隨著預報時間的增加，DLP模型預報精度迅速變差，較LP模型的優勢逐漸變弱。在12 h的預報中，其預報精度略好于LP模型；而在24 h的預報中，其預報精度比LP模型差。同時，對于ⅡF Rb鐘，4個時間段的預報中，DLP模型都優于LP模型，并且3 h 的預報中，前者明顯優于后者，即使在24 h的預報中，前者也比后者的精度高出近50%。因此，基于鐘差一次差分預報原理可以提高LP模型的短期預報精度，特別是對GPS ⅡF Rb鐘鐘差預報的改善效果最顯著。

2)對比QP模型與DQP模型，對于3 h和6 h的預報精度，DQP模型優于QP模型的次數相對較少，而對于12 h和24 h的預報精度，幾乎每次都是QP模型優于DQP模型；同時，QP模型基于鐘差一次差分預報原理的預報結果與衛星及其星載鐘類型有較為密切的關系：對于ⅡA Rb鐘的3 h、6 h和12 h預報，ⅡF Rb鐘的3 h鐘差預報，ⅡF Cs鐘的3 h和6 h鐘差預報，DQP模型的預報精度都優于QP模型。此外，隨著預報時長的增加，DQP模型預報精度迅速變差且精度明顯低于QP模型。因此，采用一次差分預報原理可以提高QP模型對GPS ⅡA Rb鐘、ⅡF Rb鐘和ⅡF Cs鐘的短期預報精度。

3)對比SA模型與DSA模型，對于3 h的預報精度，DSA模型總體上優于SA模型，而其他3個時段則相反；同樣，SA模型基于鐘差一次差分預報原理的預報結果與衛星及其星載鐘類型有一定的關系，在3 h的預報中，除了ⅡR-M Rb鐘，對于其他4類衛星的鐘差預報精度，DSA模型優于SA模型；而在6 h的預報中，對于ⅡA Rb鐘、ⅡF Rb鐘和ⅡF Cs鐘的預報，也是DSA模型優于SA模型。此外，與DQP模型類似，DSA模型的預報精度隨預報時長的增加迅速變差且精度明顯低于SA模型。綜合分析可知，采用一次差分預報原理可以提高SA模型對GPS ⅡA Rb鐘、ⅡF Rb鐘和ⅡF Cs鐘的短期預報精度。

4)對比GM模型與DGM模型，對于3 h的預報精度，DGM模型均優于GM模型，并且對于5種不同類型的衛星鐘，DGM模型的預報精度更高；對于6 h和12 h的預報精度，DGM模型整體優于GM模型。但隨著預報時長的增加，DGM模型的預報精度迅速變差，其較GM模型的優勢逐漸變弱，在24 h的預報中，其預報精度比GM模型差。同時，對于ⅡF Rb鐘的預報精度，4個時段中，DGM模型較GM模型均高出70%左右。因此，鐘差一次差分預報原理可以提高GM模型的短期預報精度，特別是對GPS ⅡF Rb鐘預報效果的改善最為顯著。

5)對比AM模型與DAM模型，對于3 h的預報精度，總體上AM模型要優于DAM模型，而其他3個時段則是DAM模型的預報精度高，這種情況與其他幾種常用模型基于一次差分預報原理的情況相反。同時從圖2中可以看出，AM模型基于鐘差一次差預報原理的預報結果與衛星及其星載鐘類型有一定的關系，對于ⅡF Rb鐘的3 h預報精度，DAM模型優于AM模型；而在6 h、12 h和24 h的預報中，對于ⅡR Rb鐘、ⅡR-M Rb鐘和ⅡF Rb鐘的預報精度，DAM模型優于AM模型。同時，DAM模型的預報精度隨預報時長的增加相對緩慢地變差，但精度明顯優于AM模型(AM模型存在模式識別比較困難和定階不準的不足，所以其預報精度明顯差于另外幾種常用模型)。綜合分析可知，采用一次差分預報原理可以在一定程度上改善AM模型對GPS ⅡR Rb鐘、ⅡR-M Rb鐘和ⅡF Rb鐘進行鐘差預報時存在的模式識別困難和定階不準的不足，進而提高AM模型的預報精度，特別是對ⅡF Rb鐘預報效果的改善最為顯著。

6)對比KF模型與DKF模型，對于3 h的預報精度，DKF模型總體上優于KF模型，而其他3個時段則是KF模型更優；同樣，KF模型基于鐘差一次差分預報原理的預報結果也與衛星及其星載鐘的類型有一定的關系：在3 h和6 h的預報中，對于ⅡA Rb鐘、ⅡF Rb鐘和ⅡF Cs鐘的預報精度，DKF模型優于KF模型。同時，DKF模型的預報精度隨預報時長的增加迅速變差，且其精度明顯低于KF模型。因此，采用一次差分預報原理可以提高KF模型對GPS ⅡA Rb鐘、ⅡF Rb鐘和ⅡF Cs鐘的短期預報精度。

7)對上述各模型基于鐘差一次差分預報原理進行預報過程中出現的情況進行分析表明，在建模數據一定的條件下，隨著預報時間的增長，各模型預報結果的精度均有所降低，而且除了AM模型之外，其余幾種模型采用一次差分預報原理時精度的降低比常規建模條件下精度降低得更迅速。這主要是因為，鐘差一次差分可以在一定程度上消除原鐘差序列趨勢項的影響，得到1組有效數字位數減少、便于更加準確擬合的數據序列，同時，經過一次差分處理，可以消除鐘差序列中可能存在的系統誤差。但根據誤差傳播定律可知，作差后所得數據的誤差會變大，所以會出現短期預報時一次差分預報原理能夠提高預報精度，但隨著預報時間的增加，預報誤差會迅速積累，從而導致采用一次差分預報原理的精度降低得更迅速，特別是QP模型和KF模型表現最為顯著。

3 結 語

在衛星鐘差數據和衛星鐘差預報模型給定的條件下，通過對衛星鐘差數據一次差分處理并基于一次差分數據進行衛星鐘差建模預報可以在一定程度上提高衛星鐘差的短期預報精度，同時一次差分后的鐘差數據便于進行異常值的探測和數據預處理等,這使得在衛星鐘差的短期預報應用中，無需改變已有的預報模型和方法，只需在數據層面進行一次差分便可提高現有衛星鐘差預報體系的預報精度，其對于衛星鐘差預報的實際工程應用具有重要的參考價值。