輸出誤差約束的非線性系統的預定性能反步控制及應用

高紅梅，王 芳,*，華長春，宗 群，陰良魁

(1. 燕山大學 理學院, 河北 秦皇島066004；2. 燕山大學 電氣工程學院，河北 秦皇島 066004;3. 天津大學 電氣自動化與信息工程學院，天津，300072；4.中國科學院科技創新發展中心，北京 100190)

0 引言

隨著控制理論的發展，非線性系統在實際工程中的應用越來越廣泛，針對其控制的研究也取得了豐富的研究成果[1-6]。而不確定參數、外界干擾等的影響是控制實際工程系統時必須要考慮的因素，常用的方法有滑模控制[7]、干擾觀測器[8-11]、智能控制[12-14]等。

許多工程系統，如飛行器系統、軋機系統、電機系統等除了需要考慮控制系統的穩態性能方面的要求，同時要考慮暫態性能的要求。預定性能控制解決了這個問題[15-17]。文獻[15]針對帶有干擾的單輸入單輸出反饋線性化系統設計了預設性能控制器。文獻[16]進一步將研究成果推廣到多輸入多輸出反饋線性化系統。針對一類單輸入單輸出非線性系統，文獻[17]在誤差轉換的基礎上，設計了預定性能控制器，但是控制器設計較為復雜。針對未知控制增益下的不確定非線性系統，文獻[18]結合反步控制和神經網絡設計了預定性能控制器。文獻[19]考慮狀態和輸入受限的非線性系統，結合反步控制，設計了預定性能反步控制器。文獻[20]針對單輸入單輸出嚴反饋系統，提出了輸出反饋預定性能控制策略，但是，沒有考慮外界干擾和執行器故障。文獻[21]考慮了執行故障影響下非嚴格反饋系統的容錯控制問題，基于模糊邏輯、反步控制和有限時間控制，設計了實現系統半全局有限時間穩定的容錯控制器。文獻[22]針對一類不確定非線性系統的容錯控制問題，通過RBF神經網絡處理執行器故障，設計了主動容錯控制策略。文獻[23]針對電動汽車車用永磁同步電機的車速跟蹤問題以及由復雜路況引起的負載擾動問題，利用遺傳算法優化魯棒H∞控制器中的加權函數，提出自適應魯棒非線性控制策略。通過引入控制參數在線自適應調整技術，保證控制器對參數、干擾具有很強的魯棒性。

本文綜合考慮輸出誤差約束、不確定參數、外界干擾和執行器故障影響下的非線性系統的跟蹤控制問題。在反步控制框架下，結合障礙Lyapunov函數和干擾觀測器，設計預定性能反步控制器。 將虛擬控制輸入的導數、外界干擾和執行器故障作為綜合不確定，并通過設計干擾觀測器對其進行估計，解決傳統反步控制中的 “計算爆炸” 問題，避免采用濾波器，簡化控制器的設計結構。通過自適應估計故障因子，解決執行器故障問題。采用Lyapunov理論證明閉環系統的穩定性以及跟蹤誤差滿足預設的性能。最后，通過永磁同步電機系統的跟蹤控制仿真驗證所設計的控制策略的有效性。

1 問題描述

考慮如下非線性系統：

(1)

執行器故障在實際中是不可避免的，主要包括卡死、漂移、失效等，可以描述為如下參數化形式:uf=λfu+ρ，其中，λf為執行器效率因子，0≤λf≤1，表示執行器在失效后仍然有效的比例，ρ表示偏差故障，當λf=1,ρ=0時，執行器是正常的(無故障發生)；當λf=0時，執行器完全失效；當0<λf<1時，執行器部分失效。

控制目標：對于系統(1)，結合障礙Lyapunov函數、干擾觀測器與反步控制設計預定性能控制器，實現輸出跟蹤其參考指令yd； 且跟蹤誤差滿足預設的性能。

為了防止輸出違反約束條件，引入障礙Lyapunov函數，定義如下：

在設計控制器之前，給出如下假設和引理：

假設4 外界干擾di(t)滿足

引理2[26]考慮系統

(2)

σ=[ω,a]T∈N,M={a∈R:|a|<1}?R，N=Rl×M?Rl+1是一個開集。函數ξ:R+×N→Rl+1在R+上分段連續，且在N內關于σ滿足局部Lipschitz條件。假設存在連續可微的正定函數Θ:Rl×R+→R+,?:M→R+。滿足|a|→1,?(a)→;β1(‖ω‖)≤Θ(ω,t)≤β2(‖ω‖)， 式中，β1,β2為K類函數。令

V(σ)=?(a)+Θ(ω,t),a(0)∈M,

(3)

2 控制器設計

將uf=λfu+ρ代入式(1)，轉化為如下形式：

(4)

接下來，我們將在反步控制的框架下基于式(4)設計控制器，設計過程包括n步：前n-1步設計虛擬控制輸入，其中，第一步中需要設計障礙Lyapunov函數保證輸出誤差的預定性能，最后一步設計實際控制輸入u。在控制器設計過程中，通過自適應律處理不確定參數；并采用干擾觀測器估計綜合不確定項，同時處理外界干擾、執行器故障和傳統反步控制的“計算爆炸”問題。

Step 1 設計虛擬控制輸入α1。

定義輸出跟蹤誤差為

z1=x1-yd，

(5)

由式(5)，z1關于時間的導數為

(6)

選擇如下Lyapunov函數

(7)

(8)

設計如下干擾觀測器估計d1(t)

(9)

基于干擾觀測器(9)，設計虛擬控制輸入α1

(10)

θ1的自適應律為

(11)

注2：本文所設計的干擾觀測器不僅處理了外界干擾和執行器故障，同時通過將虛擬控制輸入的導數作為綜合不確定的一部分，解決了傳統反步的 “計算爆炸” 問題，不需要通過微分器或者濾波器解決“計算爆炸” 問題，因此簡化了控制器結構。

Step 2 設計虛擬控制輸入α2。

定義x2的誤差信號為z2=x2-α1，它關于時間的導數為

(12)

(13)

基于式(12)和式(13)，設計虛擬控制輸入α2為

(14)

θ2的自適應律為

(15)

Stepi設計虛擬控制輸入αi(3≤i≤n-1)。

定義xi的誤差信號為zi=xi-αi-1，關于時間的導數為

(16)

(17)

基于式(16)和式(17)，設計虛擬控制輸入αi為

(18)

θi的自適應律為

(19)

Stepn設計實際控制輸入u。

定義xn的誤差信號為zn=xn-αn-1，關于時間的導數為

(20)

(21)

設計如下實際控制輸入

(22)

θn的自適應律為

(23)

注3: 文獻[26]先采用誤差變換，再進行預定性能控制器設計，本文無須進行誤差變換，只需在第一步構造障礙Lyapunov函數，減少了控制器設計的復雜程度。文獻[27]也是通過在第一步設計時，構造障礙Lyapunov函數保證預定性能，但本文不僅考慮了預定性能控制問題，同時考慮了未知參數、外界干擾和執行器故障的綜合影響。

注4: 文獻[25]中障礙Lyapunov函數的形式為

3 穩定性分析

本章基于Lyapunov穩定性理論對閉環系統的穩定性進行分析，可總結為如下定理形式。

(24)

由式(24)可得

(25)

同理可得

(26)

(27)

只要選擇合適的參數l1,l2,…,ln，那么存在正定陣P使得DTP+PD=-Q，對于正定陣Q，λm是它的最小特征值。

選擇如下Lyapunov函數

V=V1+V2+…+Vn+Vd，

(28)

式中，

(29)

(30)

(31)

V2關于時間的導數為

(32)

將式(14)代入式(32)

(33)

Vi關于時間的導數為

(34)

將式(18)代入式(34)，則

(35)

Vn關于時間的導數為

(36)

將式(22)代入式(36)得

(37)

≤

(38)

所以由引理1，式(38)滿足

(39)

由上式，只要

4 仿真分析

針對具有未知參數、外界干擾與執行器故障的永磁同步電機系統，采用前文所設計的控制策略，通過MATLAB R2010a/Simulink進行仿真，實現永磁同步電機系統角速度的穩定跟蹤控制。

永磁同步電機的數學模型為

(40)

(41)

式中，id、iq分別為d軸和q軸的定子電流；ud、uq分別為d軸和q軸的定子電壓；ω表示轉子角速度；Rs為定子電阻，L為定子繞組等效電感；ψf為永磁體磁鏈；B是摩擦系數；p是極對數；J是轉動慣量；TL為負載擾動。永磁同步電機參數為RS=0.14 Ω,L=4.6 mH,ψf=0.96 Wb,B=0.004，p=3,J=0.054 7 kg·m2。干擾觀測器參數為a1=100,l1=l2=l3=50a1，控制器參數為c1=500,c2=180,c3=130，自適應律參數為L=0.1。

為方便控制器的設計，將式(40)和式(41)重寫為如下形式：

(42)

(43)

d3=g2(λfd-1)ud+g2ρd。

為更好地體現所設計的控制策略的優越性，考慮如下兩種情形的仿真：情形1(Case1)：考慮不確定參數、外界干擾、故障和輸出誤差約束。情形2(Case2)：考慮不確定參數、外界干擾、故障。兩種情形下的仿真結果如圖1～圖4所示。

圖1 角速度與電流的跟蹤曲線Fig.1 Tracking curves of ω,id

圖2 跟蹤誤差曲線Fig.2 Curves of tracking error

圖3 控制輸入曲線Fig.3 Curves of control inputs

圖4 綜合不確定的估計曲線Fig.4 Curves of lumped uncertainty estimate

5 結論

本文考慮外界干擾、不確定參數和執行器故障影響下，非線性系統的預定性能控制問題，結合形式簡單的障礙Lyapunov函數、干擾觀測器與反步控制， 設計了自適應預定性能反步控制器。采用干擾觀測器實現了綜合不確定的估計，解決了傳統反步控制的“計算爆炸”問題和執行器故障問題。通過穩定性分析表明所設計的控制策略，實現了輸出誤差的預定性能，進一步由仿真結果驗證了本文所設計的控制器同時能夠滿足瞬態性能和穩態性能的要求。本文的理論結果還可以應用到飛行器系統、機器人系統。對于實際工程系統，狀態變量以及輸入約束也是需要考慮的問題，也是我們將關注的研究主題。