淺談模型化思想在高中數學中的應用

【摘 要】數學模型是指能夠體現數學研究對象本質特征的一種數學結構。在高三立體幾何復習中，運用長方體、轉化與化歸、“三段論”、空間坐標系與向量等模型可以有效解決學生長期存在的“老大難”問題，提升學生解決問題的能力和素養。

【關鍵詞】模型化思想;高中數學;立體幾何

立體幾何問題是高考數學的重要內容，承載著對直觀想象、數學抽象、邏輯推理等學科核心素養的考查。實際上，大部分學生解決立體幾何問題時都會遇到或多或少的障礙。在高三復習中，如何科學而高效地解決學生長期存在的“老大難”問題，是數學教師在課堂上必須面對的教學“重點”與“難點”。

1? ?數學模型

隨著學習的逐步深入，數學模型對學生思維和能力的要求越來越高。高中數學出現了“函數與導數”“立體幾何”“圓錐曲線”“統計和概率”等數學模型。《普通高中數學課程標準（2017年版）》認為“數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養”，并將“數學建?！弊鳛楦咧袛祵W核心素養的重要組成部分[1]。

2? ?立體幾何中的數學模型

立體幾何主要解決空間內的兩大類問題，一類是點、線、面之間的位置關系問題，一類是距離和角的計算問題。不少學生對有關概念、公理、定理等基礎知識理解不到位，有時候甚至分不清已知條件與結論、判定定理與性質定理的區別。

2.1? 運用長方體模型，培養學生的直觀想象能力

平行與垂直關系是立體幾何中非常重要的位置關系，同時也是高考的熱點內容之一。以垂直關系為例，可以設置如下問題。

問題1：已知正方體A'B'C'D'-ABCD（見圖1），①與AB垂直的直線有哪些？②與AB垂直的平面有哪些？③與平面ABCD垂直的平面有哪些？④你能找到與AC垂直的平面嗎？⑤與AC垂直的直線有幾條？⑥你能找到幾個平面與平面BDD'B'垂直？⑦能否在圖中找到一條直線使它與平面ACD'垂直？

將本題作為復習題引入，從線線垂直關系入手，引導學生通過直觀感知、邏輯推理的方法，運用正方體的定義探究棱、面對角線、體對角線與底面（側面）、對角面（截面）之間存在的垂直關系。這樣不但復習了空間內線線垂直、線面垂直、面面垂直等位置關系的定義、判定定理與性質定理，而且為進一步探究立體幾何綜合問題打下了一定的基礎。

2.2? 運用轉化與化歸模型，證明平行與垂直關系

轉化與化歸是數學中非常重要的思想方法。一個新問題往往可以通過化繁為簡、化難為易等途徑得到解決。對于立體幾何圖形，平面幾何的結論不一定成立。如果能將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，解決問題的難度就會下降。

問題2：如圖2，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2AB=2BC。

①若E為PD的中點，求證CE∥平面PAB;②求證平面PAD⊥平面ABCD。

分析：對于①問，根據線面平行的判定定理，要證CE∥平面PAB，只需證CE與平面PAB內的一條直線平行，從而將空間內的線面平行問題轉化為平面內的線線平行問題。取AP中點F，則EF∥AD，BC∥AD，EF∥BC，可得CE∥BF，問題得證。

對于②問，根據面面垂直的判定定理，要證平面PAD⊥平面ABCD，只需證平面PAD（或平面ABCD）經過平面ABCD（或平面PAD）的一條垂線，從而將面面垂直問題轉化為線面垂直問題。根據線面垂直的判定定理，只需在平面PAD內找到兩條直線與AB垂直，從而將線面垂直問題轉化為平面內的線線垂直問題。由∠BAD=90°，AB⊥PA，可得AB⊥平面PAD，問題得證。

無論是證明平行問題還是證明垂直問題，往往需要在空間內進行線線、線面、面面之間位置關系的轉化。轉化的路徑主要有兩種：一是線線平行、線面平行、面面平行關系之間的轉化;二是線線垂直、線面垂直、面面垂直關系之間的轉化。簡單問題轉化一次即可，復雜問題則需要多次轉化。

2.3? 運用演繹推理中的“三段論”模型，培養學生的邏輯推理能力

數學是一門嚴謹的科學，得出的結論都要經過嚴格的證明。正是這種嚴謹性，使數學學習成為訓練學生邏輯推理技能、提高思維能力的有效途徑[2]。本質上，證明就是運用規范的數學語言和嚴謹的邏輯推理對數學問題的思維探究過程進行表達與交流。

“三段論”是演繹推理的一般模型，包括“大前提”“小前提”和“結論”。在證明的過程中，先要注意選取合適的定理、公理等“大前提”作為推理依據，然后從已知條件中尋找“大前提”成立所要求的全部條件，最后得到推理結論。

問題3：如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面 ABCD ，E為 AP 中點，PC=PD。求證BC⊥平面PCD。

有的學生根據“平面PCD⊥平面ABCD”就推出“BC⊥PC”。這里的錯誤在于：推理過程缺乏必要的邏輯依據，對面面垂直的性質定理的前提條件、適用范圍不明確。

方法一：利用面面垂直的性質定理，找與兩個面的交線垂直的直線?！叭握摗彼季S過程見圖4。

方法二：利用線面垂直的判定定理，找兩個線線垂直關系。取CD中點O，由平面PCD⊥平面ABCD，易證PO⊥平面ABCD，得BC⊥PO，又BC⊥CD，問題得證。

2.4? 運用空間坐標系與向量模型，靈活解決立體幾何問題

綜合法與向量法是解決立體幾何問題的有效手段。綜合法以公理、定理等結論為依據，通過嚴謹的邏輯推理達到定性證明和定量計算的目標。向量法以具體的數值運算為手段，將空間圖形問題轉化為向量運算問題。二者并沒有嚴格的邊界，可根據需要選擇不同的方法。

問題4：如圖5，在棱長為2的正方體A'B'C'D'-ABCD中，E、F、G分別是棱AB、BC、CC'的中點，P是底面ABCD內一動點，若直線D'P與平面EFG不存在公共點，則ΔPBB'面積的最小值為________。

分析：直線D'P與平面EFG不存在公共點，即D'P∥平面EFG。

由于BB'⊥BP，要求ΔPBB'面積的最小值，只需求BP的最小值。

方法一（綜合法）：連接AD'、CD'、AC，易證AC∥EF，FG∥AD'，得ACD'∥平面EFG。因D'P∥平面EFG，則點P在直線AC上。點B到AC距離最小值為BD長度的一半，故ΔPBB'面積的最小值為。

方法二（向量法）：以D為原點，分別以DA、DC、DD'所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，易知平面EFG的法向量為，故m=1時，BP有最小值，求得ΔPBB'面積的最小值為。

在高三復習中，合理利用數學模型不僅能使學習效果事半功倍，而且能提升學生解決問題的能力和綜合素養。事實上，不僅是立體幾何問題，其他數學問題也存在模型化的方法：發現問題—提出問題—分析問題—解決問題。較復雜的問題可以被分解成較易解決的小問題，小問題的解決有助于最終解決較復雜的問題。在特定的問題情境中，從發現問題、提出問題、分析問題到解決問題也就是一個相對完整的問題解決過程。在一定的條件下，還會發現新的問題或設置新的問題情境，從而進入下一個問題的解決過程，這樣學生對數學問題的思考會不斷深入、對數學規律的認識會不斷升華。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]人民教育出版社.數學選修（A版）4-1：幾何證明選講[M].北京：人民教育出版社，2007.

【作者簡介】

韓藝通（1973～），男，北京市大成學校教師，研究生，一級教師。研究方向：高中數學。