HPM視角下“祖暅原理與球體的體積”教學(xué)

沈志強(qiáng)

【摘 要】HPM視角下數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的主要方式之一是根據(jù)重構(gòu)的歷史進(jìn)行教學(xué)。祖暅原理在球體的體積公式發(fā)展中起到了非常重要的作用，本文針對(duì)這一教學(xué)內(nèi)容，采用重構(gòu)的方式對(duì)球體體積公式發(fā)展中幾個(gè)重要?dú)v史階段的難點(diǎn)和突破點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)探究和應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】HPM;祖暅原理;球體體積;重構(gòu)式

為了更好地促進(jìn)學(xué)生發(fā)展，幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀和人生觀，將數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)迫在眉睫，這也是HPM領(lǐng)域研究的重要方向之一。數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用方式一般有圖1所示的四種方式。

由于高考的壓力以及一線教師對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)史知識(shí)缺乏足夠的了解，數(shù)學(xué)史近年來(lái)雖經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂中，但大多以課題引入的形式出現(xiàn)。基于此，筆者從HPM的視角對(duì)祖暅原理與球體的體積這一內(nèi)容進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)。

1? ?教材與學(xué)生的認(rèn)知

“祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積”是人教版必修2第一章“探究與發(fā)現(xiàn)”中的內(nèi)容。在這個(gè)專(zhuān)題中，教材在對(duì)祖暅作了簡(jiǎn)單介紹后，便直接給出祖暅原理，并在此基礎(chǔ)上利用長(zhǎng)方體的體積計(jì)算推導(dǎo)出柱體和錐體的體積計(jì)算公式，最后構(gòu)造了一個(gè)底面半徑和高相等的圓柱，從圓柱中挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，并證明這兩個(gè)幾何體每一個(gè)水平截面的面積相等，從而得到它們的體積相等，進(jìn)而求出半球的體

積[1]。教材這一安排能培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，但把這個(gè)結(jié)論直接傳授給學(xué)生，很難讓學(xué)生體會(huì)到我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽和祖暅在推求球體體積公式時(shí)所蘊(yùn)涵的豐富智慧與其中的文化內(nèi)涵。鑒于此，筆者對(duì)教材作了如圖2所示的框架圖設(shè)計(jì)：

2? ?史料的選取與加工

球的度量歷史悠久，首先摘取幾段球體體積公式推求發(fā)展的關(guān)鍵歷史時(shí)期。

2.1? 劉徽對(duì)《九章算術(shù)》的質(zhì)疑

《九章算術(shù)》中給出了球體體積公式：V球=（d為球的直徑），劉徽對(duì)這一公式的正確性產(chǎn)生質(zhì)疑，在化圓為方的思想啟發(fā)下，他發(fā)現(xiàn)內(nèi)切球的體積與正方體的體積之比為。在《九章算術(shù)》中取 π=3 的情況下，只有內(nèi)切球與圓柱體的體積之比也是時(shí)，上述公式才成立，而實(shí)際上后者是不成立的[2]。為了說(shuō)明這一關(guān)鍵點(diǎn)，劉徽創(chuàng)造了一種新的幾何體：以正方體相鄰的兩個(gè)側(cè)面為底面分別做兩次內(nèi)切圓柱切割，剔除外面部分，剩下的部分劉徽把它稱(chēng)為“牟合方蓋”（如圖3）。他用截面法證明內(nèi)切球與“牟合方蓋”的體積之比為，顯然“牟合方蓋”的體積比圓柱要小，由此證明了《九章算術(shù)》中的公式是錯(cuò)誤的。

劉徽把球的體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了牟合方蓋的體積問(wèn)題，雖然其沒(méi)能成功求出牟合方蓋的體積，但他清晰的思路為后人解決這一問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。

2.2? 祖暅原理的產(chǎn)生

祖暅不僅沿著劉徽的結(jié)論進(jìn)一步探索得到牟合方蓋與其外切正方體的體積之比是，還把推導(dǎo)過(guò)程中用到的結(jié)論總結(jié)為“冪勢(shì)相同，則積不容異”，即若夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任一平面所截得到的截面面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積就相等，這就是“祖暅原理”。

3? ?“祖暅原理與球體的體積”教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1? 閱讀史料，啟發(fā)思考

讓學(xué)生在課前仔細(xì)閱讀準(zhǔn)備好的歷史材料，從材料中了解球體體積公式發(fā)展的過(guò)程，并思考以下幾個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：將球的體積問(wèn)題和正方體、圓柱的體積聯(lián)系起來(lái)，在高相同的情況下，把它們相切的面積之比作為體積之比，體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想和處理方法。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生理解化歸的數(shù)學(xué)思想，明白空間問(wèn)題的平面化。

問(wèn)題2：通過(guò)對(duì)球體積公式推導(dǎo)的歷史回顧，我們感受到了數(shù)學(xué)公式背后古人的努力與智慧，請(qǐng)談?wù)勂渲心阌∠笞钌畹狞c(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注劉徽的質(zhì)疑、牟合方蓋的構(gòu)造及祖暅突破困難的智慧。

問(wèn)題1和問(wèn)題2有一定開(kāi)放性，旨在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注祖暅原理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。

3.2? 問(wèn)題探究，層層深入

在球體積公式推導(dǎo)過(guò)程中，劉徽付出了很多努力，尤其是從方與圓、球與立方的關(guān)系聯(lián)想中構(gòu)造出了“牟合方蓋”，雖然他沒(méi)能求出其體積，但他的推證思路為后人解決這個(gè)問(wèn)題打下了良好的基礎(chǔ)[3]。接下來(lái)師生一起共同研究以下問(wèn)題。

問(wèn)題3：為了求出“牟合方蓋”的體積，祖暅想到了由于牟合方蓋具有對(duì)稱(chēng)性，所以可以先求八分之一“牟合方蓋”的體積，請(qǐng)結(jié)合圖4給出的幾個(gè)幾何體的特點(diǎn)，研究八分之一“牟合方蓋”截面的特點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生再次思考具體環(huán)節(jié)中的細(xì)節(jié)，然后相互討論交流。

師生共同解決：學(xué)生在教師引導(dǎo)下根據(jù)牟合方蓋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如圖4（a），發(fā)現(xiàn)八分之一牟合方蓋的截面是正方形。設(shè)邊長(zhǎng)為 a ，球的半徑為 r ，ΔQPR是RtΔ，由勾股定理得 r2-h2=a2 ，這剛好是八分之一牟合方蓋的截面的面積。為了表述簡(jiǎn)潔，本文把立方體去掉“牟合方蓋”之后的幾何體稱(chēng)為“牟合方蓋差”。在同一水平面上，八分之一立方體的截面面積為 r2，所以八分之一“牟合方蓋差”在高 h 處的截面面積為 r2-a2=h2 。

問(wèn)題4：能否構(gòu)造一個(gè)幾何體使得其截面面積也有此特點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)截面面積的特點(diǎn)，從以前學(xué)過(guò)的幾何體出發(fā)進(jìn)行構(gòu)造，使得構(gòu)造出的幾何體截面面積與要求的幾何體符合祖暅原理。

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，底邊長(zhǎng)為 r 、高也是 r 的倒立正四棱錐的截面面積有這個(gè)特點(diǎn)，如圖4（b），此倒立正四棱錐與八分之一“牟合方蓋差”在任意等高處的截面面積總相等。

問(wèn)題5：根據(jù)上述的討論與思考，請(qǐng)大家求出“牟合方蓋”與球的體積。

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生再次回顧祖暅原理，并推導(dǎo)、計(jì)算“牟合方蓋”與球的體積。

然后根據(jù)劉徽得出的球與牟合方蓋體積比為的結(jié)論得到==。

問(wèn)題6：在剛才問(wèn)題的解決中最核心的就是構(gòu)造符合祖暅原理的幾何體，請(qǐng)?zhí)釤掃@個(gè)定理中的關(guān)鍵點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生再次關(guān)注祖暅原理，并構(gòu)造新的幾何體去求球的體積。

問(wèn)題7：能否嘗試和古人一樣從已知體積的幾何體直接推導(dǎo)出球的體積呢？如果要運(yùn)用祖暅原理，必須滿足的關(guān)鍵條件是什么？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生再次關(guān)注祖暅原理的本質(zhì)，找兩個(gè)幾何體同底等高，并且保證相同高度的截面面積相同。

問(wèn)題8：球沒(méi)有底面，應(yīng)該如何構(gòu)造與它同底面的幾何體？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注祖暅取八分之一牟合方蓋的思路，即取半球解決問(wèn)題。

問(wèn)題解決：已知圓柱、圓錐的體積，由球的對(duì)稱(chēng)性取二分之一的球體計(jì)算，半球是有底面的幾何體。

問(wèn)題9：在祖暅原理中，除了高度相同，更要關(guān)注截面面積是否相同，在不知道用什么幾何體來(lái)和半球?qū)Ρ葧r(shí)，應(yīng)該如何解決？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從球的截面積公式中尋找啟發(fā)，思考若已知球的半徑為 R ，用與底面平行且高度為 h 的平面截球所得的截面形狀以及截面面積。

師生共同解決：因?yàn)榘肭虻慕孛嫘螤顬閳A，所以截面面積 S半球截面=πR2-πh2 。引導(dǎo)學(xué)生從式子特點(diǎn)想到圓環(huán)，從相同圓心、半徑為 R 的大圓中挖去半徑為 h 的小圓。

問(wèn)題10：如果球是確定的，則半徑 R是常數(shù)，而 h 是隨著截面高度變化而變化的。根據(jù)祖暅原理，該怎么做才能求出半球的體積？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)祖暅原理找一個(gè)幾何體和半球等高且高度為 h 處的截面面積為 S=πR2-πh2 ，如同一個(gè)圓柱去掉一個(gè)圓錐。圓柱和圓錐的底面半徑和高均為 R 。

師生共同解決：根據(jù)祖暅原理，半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，相當(dāng)于從一個(gè)圓柱中間挖去一個(gè)底面積相等，高度相同的圓錐。即 V球=2（V圓柱-V圓錐）。

教師總結(jié)：通過(guò)對(duì)祖暅原理的學(xué)習(xí)，我們能夠?qū)Ⅲw積求解的關(guān)注點(diǎn)放在截面上進(jìn)行觀察，從而通過(guò)截面的特征看到幾何體的構(gòu)造。

3.3? 理解思路，鞏固應(yīng)用

為了幫助學(xué)生鞏固對(duì)祖暅原理推導(dǎo)球體體積公式方法的理解，在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)橢圓的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)如下例題。

例1：已知橢圓的方程為，請(qǐng)求出將它的圖象繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積。

解：平行于 x 軸且距離為 y（y>0） 的直線與橢圓第一象限部分的交點(diǎn)為，則該幾何體對(duì)應(yīng)平面的截面是一個(gè)圓，面積為，這個(gè)截面的面積等于一個(gè)大圓半徑為2，小圓半徑為的圓環(huán)的面積。

由祖暅原理，可以構(gòu)造一個(gè)幾何體，即從一個(gè)圓柱中間挖去一個(gè)倒立的圓錐，經(jīng)計(jì)算該幾何體（橢球）的體積為。

課后練習(xí)：已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將此雙曲線在 -2 ≤ y ≤ 2 的部分繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周后，得到一雙曲面，求其體積（解法略）。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在研究和理解球的體積公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)利用祖暅原理解決一些新的幾何體的體積。并讓有興趣的學(xué)生課后進(jìn)行后續(xù)應(yīng)用。

4? ?總結(jié)與反思

有教師認(rèn)為“祖暅原理”是一個(gè)探究性問(wèn)題，只要能應(yīng)用它求體積就可以了，且高考題中與球相關(guān)的內(nèi)容涉及得非常少，但筆者認(rèn)為這背離了教材的編寫(xiě)目的。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡“數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)文化應(yīng)盡可能地有機(jī)結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，選擇介紹一些對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有重大作用的歷史史實(shí)和人物”，所以教師應(yīng)該多嘗試借鑒歷史、重構(gòu)歷史。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].北京：科學(xué)出版社，2017.

[3]葉秀云，葉雪梅.“祖暅原理”及其教學(xué)探究[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（4）.