基于菲波那切數(shù)列的病毒傳播模型和在2019-nCoV 中的應(yīng)用

蔣紫蔚＊ 喻翎馨

（南京市月華路小學(xué)，江蘇 南京 210037）

0 引言

病毒傳播模型能夠描述傳染病的流行和發(fā)展規(guī)律，有助于制定最優(yōu)的防治策略。 2003 年非典以來(lái)，相繼出現(xiàn)了禽流感、甲型H1N1 流感、H7N9 流感等一系列傳染病爆發(fā)事件。 最近還爆發(fā)了2019-nCOV 病毒。自2019 年12 月在武漢發(fā)現(xiàn)第一批新型冠狀病毒感染者以來(lái)，該病毒在短時(shí)間內(nèi)在武漢以及國(guó)內(nèi)其他省份中快速傳播，并且在國(guó)外也很快出現(xiàn)了較多感染者。病毒的發(fā)展已經(jīng)嚴(yán)重影響到了人們的日常工作與生活。 給全球經(jīng)濟(jì)和政治造成了巨大的沖擊。 因而如何建立簡(jiǎn)單有效的病毒傳播模型逐步進(jìn)入公眾視野，成為公共事件領(lǐng)域一個(gè)重要的研究課題。現(xiàn)存的傳染病預(yù)[1-3]測(cè)模型主要包括SEIR 模型、時(shí)間序列模型、灰度預(yù)測(cè)模型、線性回歸模型等。這些模型相對(duì)復(fù)雜，需要數(shù)學(xué)工具較多，并且除了SEIR 模型外，大多數(shù)模型并沒(méi)有內(nèi)在的預(yù)測(cè)邏輯。 菲波那切數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列，由數(shù)學(xué)家萊昂納多·菲波那切（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，菲波那切數(shù)列都有直接的應(yīng)用。病毒的傳播也可以看作是一個(gè)病毒繁殖的過(guò)程。一個(gè)有趣的問(wèn)題是，能否借助菲波那切數(shù)列的生成原理來(lái)構(gòu)建一種簡(jiǎn)單有效的病毒傳播模型？ 目前為止，還未發(fā)現(xiàn)有人做過(guò)此項(xiàng)研究。本文希望基于菲波那切數(shù)列的構(gòu)成機(jī)制，建立一種病毒傳播預(yù)測(cè)模型。

1 菲波那切數(shù)列與病毒傳播模型

菲波那切數(shù)列以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。 數(shù)列的生成原理基于如下假設(shè)：

（1）第一個(gè)月初有一對(duì)剛誕生的兔子。

（2）第二個(gè)月之后（第三個(gè)月初）它們可以生育。

（3）每月每對(duì)可生育的兔子會(huì)誕生下一對(duì)新兔子。

（4）兔子永不死去。

這 樣 形 成 一 個(gè) 數(shù) 列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。 數(shù)列的后一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和。 病毒的傳播也可以看成是病毒繁殖過(guò)程。 與“生兔子”類似，我們對(duì)病毒傳播規(guī)律做如下假定：

（1）最初有n 例感染者。

（2） 新的感染者在感染初期不具備傳染能力，在經(jīng)過(guò)m 天后出現(xiàn)感染能力。 m 稱為感染間隔天數(shù)。

（3） 每位感染者可以使k 位健康者變成感染者。k 稱為感染再生數(shù)。

（4）最后只統(tǒng)計(jì)總的感染人數(shù)，不關(guān)心感染者死亡或者治愈。

基于上述假定即可建立病毒傳播模型。 模型中，n、m、k 由實(shí)際情況確定。 需要指出：m 和k 反應(yīng)的是一種統(tǒng)計(jì)平均效應(yīng)，分別描述了病毒潛伏能力和感染能力。顯然，n=1，m=1，k=1 時(shí)，模型預(yù)測(cè)的病毒感染總?cè)藬?shù)隨天數(shù)的變化，就成為一個(gè)菲波那切數(shù)列。

2 數(shù)值結(jié)果

接下來(lái)， 將把我國(guó)2019-nCoV 確診人數(shù)數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。官方從2020 年1 月11 日開(kāi)始公布數(shù)據(jù)， 為41 人 （參看http://www.nhc.gov.cn/;http://www.dxy.cn/）。 因此，本文選擇初始感染人數(shù)m=41，為了計(jì)算方便，選取m=1，k=1。因此，除了初始“兔子數(shù)”不相同，模型的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律和菲波那切數(shù)列完全相同，即后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和。 官方檢測(cè)數(shù)據(jù)在初期的幾天變化并不明顯，甚至在前四天確診人數(shù)均沒(méi)有變化 （參看http://www.nhc.gov.cn/; http://www.dxy.cn/），這可能是由于初期病毒檢測(cè)存在延遲，以及檢測(cè)面涉及不廣的原因。 因此，前幾日的官方數(shù)據(jù)可能并未體現(xiàn)病毒傳播規(guī)律。 文章選擇2020 年1月16 日的數(shù)據(jù)作為研究起點(diǎn)。模型也從2020 年1 月16 日開(kāi)始計(jì)算， 官方公布數(shù)據(jù)和模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)表格如表1 所示。

表1 官方公布的實(shí)際確診人數(shù)和模型預(yù)測(cè)人數(shù)比較

從表中可以看到， 在2020 年1 月25 日之前，預(yù)測(cè)人數(shù)和實(shí)際確診人數(shù)基本重合，這說(shuō)明在病毒傳播初期， 模型預(yù)測(cè)和病毒實(shí)際發(fā)展趨勢(shì)符合較好。 從2020 年1 月26 日起，數(shù)據(jù)開(kāi)始出現(xiàn)較大偏差。 這說(shuō)明病毒傳播趨勢(shì)開(kāi)始脫離原有發(fā)展軌道。 主要原因是，隨著政府的管制加強(qiáng)、民眾對(duì)病毒的認(rèn)識(shí)加深，更多的民眾選擇佩戴口罩、防護(hù)設(shè)備以及選擇居家少外出，這使得病毒感染趨勢(shì)開(kāi)始減緩。可以看到，如果按照病毒初期演變趨勢(shì)，在2020 年1 月31 日，感染人數(shù)將達(dá)到40 827，而實(shí)際感染人數(shù)才11 791。 這也說(shuō)明，我國(guó)采取的行政措施是及時(shí)有效的。

3 結(jié)論

文章基于菲波那切數(shù)列的生成原理構(gòu)建了一種病毒傳播模型。 在給出初始感染人數(shù)、感染間隔天數(shù)和感染再生數(shù)后，模型能夠預(yù)測(cè)總的感染人數(shù)隨時(shí)間的變化。 與2019-nCoV 的確診數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)該模型在病毒傳播初期的預(yù)測(cè)具有較高的準(zhǔn)確性。模型的預(yù)測(cè)結(jié)果還表明我國(guó)在抗疫初期便采用了及時(shí)有效的行政干預(yù)，使得病毒傳播趨勢(shì)顯著減緩。

菲波那切數(shù)列因?yàn)樘N(yùn)含了普適的自然規(guī)律而被廣泛應(yīng)用于各學(xué)科領(lǐng)域。文章首次將菲波那切數(shù)列引入病毒傳播領(lǐng)域，建立了一種簡(jiǎn)單有效的病毒傳播模型。 由于引入的數(shù)學(xué)工具有限，該模型功能也較為有限， 暫時(shí)只能用于描述總的感染人數(shù)隨時(shí)間的變化。然而，在病毒發(fā)展初期，醫(yī)療手段和資源有限，總的感染人數(shù)對(duì)于流行病毒評(píng)估具有重要意義。由于模型只引入了加法規(guī)律，該模型還為低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一份拓展案例。