橫向連續性保持的自適應經驗小波變換算法研究

楊 超

（成都理工大學，四川 成都 610000）

0 引 言

時頻分析一直是非平穩信號分析與處理的有效手段。D.Gabor于1946年提出了一種同時用時間和頻率表示信號的方法，即Gabor展開，代表著時頻分析方法的產生。COHEN L在分析語音信號時，提出了短時傅里葉變換[1]。短時傅里葉變換利用加窗的方式實現了對信號的時頻局部化分析，而小波變換則采用可變的窗口實現了對信號特征的多尺度刻畫，這些方法雖然在一定程度上實現了信號局部特性的分析，但仍具有一定的局限性[2,3]。

經驗小波變換（Empirical Wavelet Transform，EWT）是在小波變換的基礎上提出來的，該方法通過對信號的傅里葉譜進行自適應劃分，然后建立相應的小波濾波器組進行濾波來提取不同的IMF分量，具有完全的自適應性[4-7]。由于經驗小波變換計算方便，不存在模態混疊問題，因此該方法被廣泛應用于各個領域。

傳統的經驗小波變換是基于極大-極小值的方法來檢測傅里葉譜的邊界，在實際工作中受噪聲干擾容易產生過分割或欠分割等問題[8-10]。基于此，本文提出了一種基于經驗小波變換和數學形態學相結合的方法。首先通過形態學濾波來獲得信號的包絡，其次在此基礎上進行頻譜劃分，降低了頻譜劃分錯誤率，并提高了信號的分解效果。

1 數學形態學理論基礎

經驗小波變換具有良好的自適應性，但是實際信號復雜的頻譜會導致分割邊界難以確定，而數學形態學能夠很好地保留信號頻譜中的形狀信息，并將不重要的部分去掉，具有良好的去噪效果，因此將兩種方法結合用于信號分析。

數學形態學基本運算主要包括腐蝕、膨脹、開運算與閉運算。腐蝕與膨脹基本定義為：

式中，f表示原始信號；b表示結構元素；Df與Db分別是f與b的定義域。

開運算是利用相同的結構元素對信號先膨脹再腐蝕，閉運算則是先腐蝕再膨脹。兩者的定義分別為：

2 改進的經驗小波變換

經驗小波變換的實質是建立了一組帶通濾波器，通過提取信號中不同頻率段的分量來分離不同的模式。經驗小波變換的原理如下文所述。

步驟一：對于實信號f(t)，將信號的頻譜分為N個連續區間對經驗尺度函數和經驗小波函數分別定義為：

其中，函數β(x)是在x∈[0,1]上滿足如下條件的任意連續函數：

步驟三：通過信號和經驗小波函數與經驗尺度函數的內積獲得細節系數與近似系數。計算公式為：

分解公式為：

3 實際數據測試

利用已有的地震資料來對改進方法的效果進行分析。為了簡便，選取其中一道地震信號，其時域圖如圖1所示。

圖1 地震信號時域圖

首先，通過傅里葉變換得到信號的頻譜。圖2（a）展示了信號的頻譜及經驗小波變換邊界檢測結果。從中可以看出，由于噪聲干擾，在主頻處的極值點較多，并且相鄰的極大值或極小值間隔較小，而經驗小波變換是基于頻譜極大值來檢測分割邊界，因此產生了許多不必要的分割，分離了從屬于同一模式的成分。圖2（b）中，經過形態學濾波后，地震信號的頻譜包絡被正確的勾勒出來，隨機噪聲被濾除形態濾波。與經驗小波變換相比，改進方法不僅檢測出了不同的模式，而且邊界之間有明顯的間隔，其效果有了明顯提升。

圖2 檢測結果

其次，為驗證同時處理多道地震的效果，每隔60道信號選取一道地震信號。從不同地震信號的頻譜圖（圖3）與邊界檢測結果（圖4）可以看出，各道地震信號的包絡都表現出先升后降的趨勢，但主頻的寬度有所不同。此外，噪聲干擾也使信號在主頻處表現出不同的振蕩行為，如第4道信號在主頻處包含了明顯的低谷部分。盡管如此，改進方法仍然檢測出了不同的IMFs分量，且不同的信號具有一致的邊界分割點，證明了改進方法的有效性。

圖3 不同地震信號的頻譜圖

圖4 不同地震信號邊界檢測結果

最后，將改進的EWT算法用于分析其他道的地震信號。獲取原始剖面圖（圖5）后，提取不同IMFs分量剖面（圖6）。與原始剖面相比，大部分地震信號信息都包含在圖6的剖面（b）中，不同的剖面也有較大差異，說明改進方法成功分離了地震信號中的不同分量。

圖5 原始地震信號的剖面圖

圖6 不同IMFs分量的剖面圖

4 結 論

將經驗小波變換與數學形態學相結合，先通過形態學濾波來獲得信號頻譜包絡，然后在此基礎上進行邊界檢測，解決了經驗小波變換方法在處理復雜頻譜時存在的過分割問題，有效降低了頻譜劃分錯誤率。在多道地震信號的處理中，該方法得到了一致的邊界分割結果，對橫向連續性進行了證實。此外，將此方法運用于所有地震信號，最終得到了分離良好的IMFs分量剖面，進一步證明了其實際應用效果。