從“定點問題”談解析幾何備考思路

廣東 薛新建

“定點問題”是高考解析幾何中的基本問題類型，能夠非常好地考查解析幾何的基礎知識和基本方法，也為知識面開闊的學生提供了展示高觀點知識的舞臺，本文通過對題目求解思路的仔細對比研究，形成解決“定點問題”的基本方法結構，為解析幾何的備考提供了模板和思路.

一、試題呈現

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)證明：直線CD過定點.

二、解法探究

思路1：由C,D坐標求直線CD方程，借助直線系結論反求定點.

【思路點評】思路1屬于解析幾何定點問題的常規思路，從問題出發，問什么求什么，對邏輯推理核心素養要求低，該思路幾乎所有學生都能理解并付諸運算，但對數學運算核心素養要求高，從詳細過程來看，“直線CD的斜率化簡”和“直線CD的方程常數項化簡”兩步中對分式的通分和因式分解構成了該解法數學運算難度的制高點，學生需要在綜合的情境中把數學問題轉化為運算問題，在既定運算思路下，為達到整理化簡的目的去選擇恰當的運算方法，需要達到數學運算核心素養水平三才能完成求解，很多學生因這兩步計算過于繁雜望而卻步.

思路2：直接設直線CD方程，再尋求參數關系反求定點.

解法2：由(Ⅰ)知A(-3,0),B(3,0).設點P(6,m)，C(x1,y1),D(x2,y2)，設直線CD方程為lCD:x=ty+n，由對稱性知直線CD所過定點位于x軸上，下證n為定值.

兩式相除消去m得2ty1y2+(3n-9)y1-(n+3)y2=0(式2.1)，

即2ty1y2+(3n-9)(y1+y2)-(4n-6)y2=0，

【思路點評】思路2抓住問題中直線CD這一主要幾何元素尋找突破，借助對稱性將定點鎖定在x軸上，利用直線在x軸上的截距式將問題進一步歸結為n為定值，在等量關系中構造定值n的恒等式，從而求出定點.這一解法對邏輯推理與數學運算兩種核心素養要求都較高，先要通過分析，將問題不斷轉化與化歸，又要通過計算，將轉化的問題求解、變形、整理，從中提取出定值關系式.其中“韋達定理代入整理”和“恒等式因式分解”是該思路得以實施的關鍵，也構成該解法數學運算難度的制高點.

解析幾何問題一般是以直線與圓錐曲線為載體，綜合運用直線與圓錐曲線性質及位置關系進行論證求解，解法1和2都體現了解決解析幾何問題的基本方法，即從幾何分析入手制定問題解決思路，再通過代數運算論證求解，兩種方法各有優劣，但共同點都是，運算量大，這也是很多學生在解析幾何學習過程中碰到的主要問題，如何使證明求解中的運算簡化是解析幾何學習中必須積累的經驗.

特例法是數學研究中非常重要的思想方法，通過對特殊值、特殊元素、特殊函數、特殊圖形、特殊位置等的研究，使問題思考方向明朗，證明求解過程大幅簡化.在本題中如果能“猜”到定點，證明難度將大大降低.

思路3：特例法猜出定點，再證明點在線上.

思路4：借助二次曲線系方程，求解定點坐標.

思路5：借助極點極線知識背景，求解定點坐標.

【思路點評】對比前三種解法，曲線系方程和極點極線兩種高觀點的方法靈活運用運算法則，大幅降低運算量，體現數學思想方法，展示學生知識層面，鍛煉學生思維能力，提升學生解題效率，對于學生學好高中解析幾何，提升數學學習興趣并為將來高等數學的進一步學習打下基礎，非常值得推廣.

三、方法提煉

結合上述思考，對“定點問題”的解決方法做如下總結：

梳理發現，解析幾何“定點問題”在初等數學中主要依賴直線系方程知識進行求解，其中特例法對降低運算強度效果明顯，也是非常重要的數學思維.曲線系和極點極線屬于高觀點數學知識，運算強度低，需要學生知識面廣.

四、反思教學

通過對2020年全國卷Ⅰ理科第20題“定點問題”的思路探索和提煉，對高三高考備考教學提出如下三點建議：

1.注重基礎知識、基本方法的落實和基本思想的提煉

解析幾何中“設而不求”的思想方法，在歷年高考中都是必考內容，但很多學生聯立方程消元的過程總是不過關；“韋達定理”總是會出現符號錯誤；分式通分，因式分解，十字相乘法等基礎運算仍然不準確，教師反復強調易錯點不如真正把問題落實到位，或面批指導，或隨機抽測，或直接拿課堂時間落實某一項運算，補齊學生運算知識和習慣上的漏洞，這樣學生的數學運算素養才能真正得到提升.只有平時多注重數學思想方法的提煉，學生才能將數學思想與數學問題相結合，進而用數學思想指導解題，只有思想方法與數學情境真正結合，才能形成數學活動經驗.

2.加強備考中一題多解和多題一解的訓練

一題多解的目的是形成知識和方法框架，借助題目搭建起數學知識結構，串聯起數學知識網絡并梳理清楚數學知識的維度，既是對已學知識的整理與重建，也是對將學知識的預學與奠基，為學生數學學習的進一步發展奠定基礎；多題一解的目的是對問題和情境歸類，將紛繁復雜的數學問題整合歸一，形成問題類和通性通法，將所學知識標簽化，提高復習效率.

3.注重高觀點知識的適度普及及運用