梁結構振動支承約束反力控制

田 瑞，王 棟

（1.中國飛機強度研究所，西安710065； 2.西北工業大學 航空學院，西安710072）

梁是工程結構中一種最基本的構件，其動力學性能對結構或系統的整體性能有著至關重要的影響。因此，梁的動力學問題也得到了研究人員的廣泛關注，并發表了許多研究成果。Akesson 等[1]研究指出，存在一個最小的支承剛度可以使得懸臂梁的第1階固有頻率達到最大。Wang[2]研究了內部含有附加彈性支承的梁結構的振動問題，求得將梁的基頻達到最大化時需要的最小支承剛度,還研究了軸力對梁的固有頻率的影響。Wang 等[3-5]研究了附加支承剛度和位置的優化問題，推導了梁的固有頻率對支承位置和剛度的靈敏度公式，并從理論上計算了將梁的第1階固有頻率提高到第2階時的最小支承剛度。Chang 等[6]分析了內部含有鉸支承的梁結構在隨機激勵下的動力學響應。Aydin[7]研究了梁的動響應優化問題，通過優化支承位置和剛度來最小化懸臂梁的動響應。Xiao等[8]分析了受軸向載荷作用的梁結構在支承激勵下的動響應。

上述諸多研究成果多是關于梁結構固有頻率和動響應的計算及優化問題，這是由于固有頻率對于梁結構的振動性能十分關鍵，提高低階固有頻率可以避免結構在較低的外激勵頻率下就發生共振，從而避免了由于共振導致的破壞或失效。但是，在實際工程中，梁結構的破壞并不完全由于共振引起。許多情況下，即使結構沒有發生共振也可能被破壞，而且往往是從支承或接頭處開始的。例如，飛機上經常出現的管道卡箍斷裂問題。梁結構通常是通過支承或連接結構固定到基礎上的，所以必然會承受基礎通過支承傳遞過來外激勵。梁在外激勵作用下處于強迫振動時，支承將外載荷傳遞到基礎，因此必然會承受外載荷的作用。若支承位置及剛度設計不合理，就極有可能導致某些支承因承受過大載荷或產生過度變形而發生破壞。這將導致結構約束的減少，在外激勵作用下其振動將更加劇烈，進而導致其余支承因承受載荷過大而相繼破壞，最終引起整個結構或系統的破壞或失效，甚至引發災難性事故。因此，在設計梁的支承時，必須考慮支承承受的載荷情況。特別是當支承承受的載荷過大時，必須對支承載荷進行優化或控制。

學者們已經運用各種方法研究了含附加支承的梁結構的動力學問題。例如，理論法[3]、格林函數法[9]、瑞利-里茲法[10]等。雖然上述幾種方法都可以用于計算支承的動態約束反力，但是需要求解的未知量比較多。尤其是當梁結構內含多個附加支承時，計算量非常大。因此，文中引入一種十分便捷的計算方法—微分變換法(Differential Transformation Method，DTM)。微分變換法最初是由趙家奎[11]提出用于求解線性和非線性的電路分析中初值問題的。基于泰勒級數展開，DTM提供了一種有效的求解線性和非線性微分方程的簡單方法。林彬等[12]用DTM來解非線性微分方程，通過求解生物學方面的非線性微分方程模型的幾個實例來驗證這個方法的準確性和有效性。Chen等[13]使用這種方法來研究了Timoshenko 梁橫向振動時，在軸向載荷作用下產生的扭曲響應。該方法也適用于內部含附加支承的梁結構的支承約束反力的計算及優化，當將支承點處的連續性和協調性條件運用到該方法中時，還可以推導出支承約束反力及其對附加支承剛度和位置靈敏度的表達式，這將大大提高支承約束反力的優化設計效率。

1 微分變換法

基于泰勒級數展開的微分變換方法提供了一種簡單的方法來求解高階泰勒展開式系數。一般的微分方程可以轉化為代數方程，從而很容易得到一個封閉的級數解。

解析函數w(x)的第k個微分變換定義為[14]

則w(x)可以表示為

由式(2)可知，解析函數w(x)是由泰勒級數展開得到的。當截取項數N足夠大時，w(x)=的值非常小。因此解析函數w(x)可以表示為

實際應用中N的取值由精度ε確定。

表1為微分變換法中常用的基本數學運算[14]：

表1 微分變換法中基本數學運算

2 微分變換法在梁結構中的應用

2.1 梁結構模型

如圖1所示，假設梁結構受到基礎加速度激勵。

圖1 附加一個中間支承的彈性邊界梁結構模型

假設基礎位移為wg(t)，梁相對基礎的位移為wr(x，t)，絕對位移w(x，t)，即：

基于Euler-Bernoulli 梁模型，圖1中梁的彎曲振動的運動微分方程可寫成如下形式[5]：

式中：EI為抗彎剛度，m為單位長度梁質量，c為結構阻尼系數。wg(t)即為基礎加速度a(t)，不妨假設梁結構受到的是簡諧的基礎加速度激勵，即：

則式（5）可寫成如下形式：

為了便于推導，需要把各參數無量綱化，即：

將式(8)代入式(7)得：

由于外激勵具有簡諧形式，所以式(9)的解可以表示為

代入式(9)中：

2.2 振動微分方程的微分變換

對式(11)按照式(1)進行微分變換得：

式(11)兩邊同時對ξ求k+1(k=0，1，…)階導數，并進行微分變換得：

顯然，當K≥4時，W(K)均可由W(0)、W(1)、W(2)、W(3)的線性組合表示。

由于位移響應的表達式分為兩段，因此需要在附加支承兩側分別選取一點進行微分變換。為了計算簡便，通常可以選取梁兩端點，即ξ0=0 和1。所以將產生8個未知量W1(0)、W1(1)、W1(2)、W1(3)；W2(0)、W2(1)、W2(2)、W2(3)。不妨設其為A1、…、A8。這8個未知量的求解需要應用兩個約束端的邊界條件以及附加支承點處的協調條件。

2.3 邊界條件和附加支承點處協調條件

(1)左邊界：

(2)右邊界：

據此可知，需求解的未知量為：A1、A2、A5、A6，而這4個未知量可由附加支承點處的協調條件確定。

(2)協調條件：

由于位移響應表達式(10)又可以表示為

代入式(16)，得：

由式(18)即可得到如下形式的齊次線性方程組：

其中：B是關于b、γs、γ1、γ2、λf的4階方陣；

A=[A1，A2，A5，A6]T；

F是式(19)中常數項組成的列陣，由外激勵幅值a0確定。

2.4 支承約束反力計算

由式(19)即可求解未知量組A，從而可以得到邊界及附加支承的約束反力。

(1)邊界約束反力：

(2)附加支承約束反力：

將式(21)至式(23)乘以EI/L2，即可得到有量綱的約束反力。

對于無附加支承的簡單梁結構，未知量的求解只需由邊界條件即可確定，推導方法與此類似。

采用微分變換法計算梁結構的固有頻率時，只需再刪去振動微分方程中的阻尼項和外激勵項，重復上述微分方程的求解過程，最后由未知系數有非零解的條件|B|=0求解各階固有頻率。

2.5 靈敏度計算

由式(21)至式(23)還可以計算支承約束反力對附加支承位置和剛度的靈敏度。

(1)約束反力對附加支承位置的靈敏度：

可發現上述靈敏度表達式都間接轉換成了求A對附加支承位置b的導數。由式(20)可知，A對b的導數可表示為

(2)約束反力對附加支承剛度的靈敏度：

同理，A對γs的導數可表示為

通過靈敏度可以快速確定設計變量的優化方向，提高優化效率。

3 目標函數

優化梁結構支承約束反力時，若梁本身無法再更改，此時通過優化支承位置和剛度同樣可以實現對支承承受載荷的控制。優化過程中，可以把支承的位置s和剛度k作為設計變量，以各支承約束反力幅值的均方根誤差(root-mean-square-error，RMSE)為優化目標函數，構建如下數學模型：

其中：

n為約束反力總個數。

4 數值算例

以圖1所示的梁結構為例，梁跨度L=1.0 m，直徑D=0.05 m，彈性模量為E=68.6 GPa，密度為ρ=2 800 kg/m3；阻尼系數c=0.05 N·s/m；兩端約束剛度k1=2k2=50 kN/m；激勵幅值a0=10 g，g=9.8 m/s2。

4.1 跨中不含附加支承(ks=0)

表2為分別用微分變換法（DTM）和有限元法(FEM)計算所得的前4階固有頻率。DTM中取前20項，FEM 中將梁離散為20個均勻單元。顯然，這兩種方法計算的固有頻率幾乎相同，僅第4階固有頻率的有較小誤差。

表2 結構固有頻率/Hz

表3為3種典型外激勵頻率作用下兩個約束端的約束反力。由表3中數據可知，兩端的約束反力很不平衡。右端約束剛度小于左端，反而承受了更大的約束載荷。特別是當外激勵頻率為1.5ω1時，右端約束反力是左端的近8倍，這非常不利于支承的安全性。還可以看出，當結構發生共振時，不僅是結構本身位移響應大，支承約束反力也非常大。

4.2 跨中含一個附加彈性支承

通過增加附加支承不僅可以實現對支承約束反力的均衡，同時還可以提高結構固有頻率，避開共振。下面給出了兩種不同優化目標下的優化結果。

（1）優化目標：R1=Rk=R2

圖2為3種不同外激勵頻率下約束反力均方根誤差（RMSE）隨附加支承位置和剛度的變化情況。觀察可知，3種不同外激勵頻率下，均方根誤差都只有唯一最小值點，其所對應的附加支承位置和剛度即為最優結果。

表4為3種典型外激勵頻率工況下的最優附加支承位置和剛度。顯然，使均方根誤差最小的附加支承位置和剛度條件即為實現各支承約束反力近似等值設計所需的附加支承條件，滿足此條件即可達到均衡各支承約束反力的目的。而且，隨外激勵頻率的增大，最優附加支承剛度值在逐漸減小，而最優支承位置將逐漸向右端點靠近。同時，由于結構固有頻率得到增大，因此與表3對比可知，在外激勵為ω1的工況下，兩個約束端的約束反力大幅減小，有效避開了共振的影響。

表3 端點約束反力

（2）優化目標：R1=2R2

由表4可知，雖然兩個約束端剛度k1=2k2，但是左側約束端的約束反力卻小于右端約束反力，這將不利于弱支承的安全性。下文將通過附加支承位置和剛度的優化，使得約束反力R1=2R2，即兩個約束端承受的載荷按剛度比分配，實現保護弱約束支承及等強度支承設計目的。

由圖3可知，3種典型外激勵頻率下均方根誤差（RMSE）的極值點均不唯一，因為存在多組剛度和位置匹配條件均可滿足R1=2R2的優化目標。但是，它們有共同且最小的附加支承剛度條件ks=25 kN/m，此時附加支承必須位于右端點。同時，隨附加支承剛度的增大，滿足要求的附加支承位置將逐漸向左端點移動。

表4 優化結果

表5列出了最小附加支承剛度條件及支承約束反力。由于此時附加支承位置在右端點，而實際工程中有時在結構接頭處增加附加支承并不容易實現。此時需要適當增大支承剛度，而將支承位置向梁跨中移動。

表6給出了附加支承剛度增加到50 kN/m時，滿足優化目標的附加支承位置條件及支承約束反力。但是當外激勵頻率增大1.5ω1時，支承約束反力比較大，這是由于此時結構的第1階固有頻率增大到與外激勵頻率較接近，所以導致約束反力較大。

因此實際中還需考慮共振的影響，要在避免共振的前提條件下，盡可能平衡各支承約束反力。

表5 最小支承剛度條件

圖2 R1、R2、Rk的均方根誤差（RMSE）

圖3 R1、R2的均方根誤差（RMSE）

表6 中間附加支承條件

5 結語

本文將微分變換法拓展應用于跨中含附加支承的梁結構支承約束反力的計算及優化問題。推導了約束反力及其對附加支承位置和剛度的靈敏度的表達式。從而可以快速確定附加支承剛度和位置的變化對這些連接構件約束反力的影響。

研究表明，梁結構振動過程中各支承所承受的載荷往往不均衡，通過合理設計附加支承剛度和位置可以實現對支承約束反力的控制，從而實現對結構系統振動性能的改善及結構疲勞使用壽命的提高。