基于自適應濾波的鋰電池隔膜卷繞系統張力估計

周亞林，王恒升,2

（1.中南大學 機電工程學院，長沙410083；2.高性能復雜制造國家重點實驗室（中南大學），長沙410083）

在新能源領域鋰電池占有重要地位，而鋰電池隔膜是其關鍵的內層組件之一。在卷繞過程中隔膜張力及傳送速度是達到預期產品質量的兩個關鍵因素[1]，而放卷部分作為卷繞裝置的核心部分，其主要目標之一是達到預期的隔膜傳送速度，同時將隔膜張力的跟蹤誤差保持在一定范圍內。一般的卷繞工業設備通常配有張力傳感器，通過張力傳感器測量卷繞物之間的張力大小，然后反饋到控制器形成閉環。這種控制方法具有較高的控制精度和響應速度，此外，張力傳感器不僅信號容易受到外部影響，而且在一些特殊場合不便安裝。

近年來，工業中的卷繞系統普遍使用重力傳感器或浮動輥測量卷繞物的張力，在對鋰電池隔膜卷繞系統的運行狀態進行監測的時候，張力是一個非常重要的評價指標。同時，這些張力測量元件價格一般都比較昂貴，在使用中需要定期維修、校準甚至更換，給使用帶來很大不便[2]。另一方面，它們都需要增加額外的輥軸直接與卷繞物進行接觸式測量，不僅降低系統的可靠性，還增加系統的復雜度和控制的難度。張力觀測器為張力測量問題提供了一種劃算而實用的解決方法。為解決上述問題而提出的無傳感器測量技術，已經成為近年來的研究熱點。Abjadi 等[3]在文獻的基礎上設計了無張力傳感器的分散滑?？刂破?，仿真實驗結果表明即使存在參數不確定時，該控制方法都具有較高的跟蹤精度；瞿成明等[4]采用專家推理策略給出了一種在線多模態狀態觀測和參數修正的智能張力觀測器，并用張力觀測值對控制系統進行前饋補償，取得的控制效果滿足了工藝要求。文獻[5-6]利用相鄰兩個電機驅動軸上的光電編碼器信號，獲取放卷輥上隔膜的卷徑和線速度信號，進而利用放卷線速度與進給線速度信號獲取張力的觀測信號，這種方法無需張力傳感器就可以在穩態狀態下很好地觀測張力；文獻[7-8]提出了一種不需要傳感器的V-F 協調控制策略，并通過實驗驗證了方案的可行性。

在隔膜卷繞過程中，隔膜的卷徑與轉動慣量隨時間變化，加之摩擦力、輥軸布局等其它不確定因素的影響，使得鋰電池隔膜卷繞系統成為集多輸入、多輸出、強耦合、非線性等為一體的復雜機電系統[9]。對隔膜張力進行控制的時候，若用帶有較大噪聲的數據進行計算會造成控制量計算的抖動，影響控制效果；而如果用一般的低通濾波處理，會造成較大的滯后，影響控制系統的穩定性和精度。由于很難建立鋰電池隔膜卷繞系統精確模型及系統噪聲、測量噪聲的統計特性具有不確定性，采用一般的Sage-Husa濾波算法，存在既不能同時估計噪聲特性又不能確保濾波以及跟蹤精度甚至可能出現濾波發散的缺點[10]。

根據鋰電池隔膜卷繞系統以及隔膜的動力學模型，建立了系統狀態方程和測量方程，其次利用限定記憶濾波法改變預先規定的記憶長度，再結合以協方差匹配為濾波發散判據的技術，進而提出了一種基于改進型Sage-Husa自適應濾波的張力估計方法。最后通過實驗表明，基于轉變后的模型，在估計鋰電池隔膜卷繞系統中的放卷張力時，實現了噪聲協方差陣的自適應變化。同時，所提出的方法比傳統的擴展卡爾曼濾波相比，不僅減小了系統控制量張力的滯后性，還提高了估計精度，而且穩定性和實時性也得到了顯著提升。

1 系統建模

一個完整的系統主要由放卷輥1、牽引輥2、主輥3、收卷輥4、若干個過輥、張力檢測裝置、控制器和其他輔助裝置等組成。放卷輥1、牽引輥2、主輥3和收卷輥4是卷繞系統的重要組成部分，隔膜從放卷輥1 釋放，經過一系列處理后由收卷輥4 收集，因此，隨著隔膜的釋放和收集，放卷輥1 和收卷輥4的半徑和轉動慣量不斷變化。牽引輥2為整個卷繞系統設置參考速度，它一般為緊鄰放卷輥的第一個輥，其作用為調節系統速度與帶動隔膜。主輥3調節隔膜的張力。收卷輥4 無電機驅動，進行被動表面收卷，依靠主輥產生的摩擦力對卷繞物進行驅動，作用在主輥上的線速度不受卷材直徑變化的影響，通過調節主輥的轉矩和速度，便可獲得不同要求的卷材。張力檢測裝置測力傳感器輥（Load Cell Roller）主要用于檢測隔膜張力的大小，然后將檢測的張力值反饋給控制器。

圖1 鋰電池隔膜卷繞系統的簡化結構圖

鋰電池隔膜卷繞系統的動態特性可以通過將兩個連續輥軸間的隔膜張力模型和每個輥軸速度模型結合起來進行描述。通常將兩個連續的驅動輥之間看成一個張力區，以張力區為界可以將整個卷繞系統分成多個子系統，如圖1所示，將張力區域分別劃分為放卷端L1、牽引端L2、收卷端L33個張力區。

1.1 輥軸的運動方程

在卷繞過程中，假設卷繞物和輥軸之間沒有相對滑動，卷繞物的線速度等于輥軸表面的線速度。根據圖1中輥軸的受力分析，第k(k=1,2,3)個驅動輥軸的轉矩平衡方程為

假設認為放卷輥半徑變化是連續的且不考慮隔膜中空氣間隙等因素對隔膜厚度的影響，設隔膜為致密隔膜，則在卷繞過程中放卷輥上隔膜的半徑變化率為

式中：h是隔膜的厚度?？紤]動態過程的任意t時刻，放卷部分折算到放卷電機軸上的轉動慣量為

式中：Jm為驅動部分的轉動慣量（常量），包括電機電樞、聯軸器等部件；H為隔膜的寬度；ρ為隔膜密度；r1是放卷輥的初始半徑；Jc是放卷輥（芯軸）的轉動慣量（常量）；Jω1為放卷輥上隔膜的實時轉動慣量。

1.2 隔膜的張力方程

隔膜的張力產生是由于隔膜在長度方向上存在速度差使隔膜本身發生形變而產生的一種內應力[11]；由圖1所示，假定隔膜受到拉伸的形變為彈性形變，忽略其塑性形變，根據胡克定理、庫倫定理和質量守恒定理可以建立隔膜張力的動態模型。

（1）胡克(Hooke)定理：在一定的彈性形變范圍內，隔膜受到拉伸產生的彈性應力T與隔膜的形變率成正比。

式中：E為隔膜的彈性模量；A為隔膜的橫截面積；ε為隔膜的形變率；L和L0分別為隔膜的自然長度和受張力作用拉伸后的長度。

（2）庫倫(Coulomb)定理：隔膜與輥軸之間發生摩擦時兩個輥軸間隔膜張力變化情況可以被認為是兩個物體之間的摩擦。

（3）質量守恒定理：隔膜在有張力和無張力狀態下質量是保持不變的。根據前面的假設認為隔膜在拉伸前后橫截面積保持不變。因此，兩個驅動輥軸間的隔膜質量的變化率等于質量的流入量減去質量的流出量[12]：

一般情況下形變率εi很小，可認為則式（5）兩邊同乘以EA，在放卷端張力區，可得：

式中：v1為放卷輥展開隔膜的線速度；v2為牽引輥的線速度；T0為卷繞在放卷輥上隔膜的初始張力。由式（6）可以看出，放卷張力與放卷輥的線速度、牽引輥的線速度是相互耦合的，放卷輥的線速度與牽引輥的線速度的濾波估計的好壞決定了放卷張力估計值的精度。

2 改進的自適應濾波的張力估計

卡爾曼濾波算法作為基于最小方差估計理論的數據處理算法，利用系統的狀態方程和測量方程，通過與被估計信號有關的觀測量，估計出要估計的狀態變量。在系統的模型噪聲和測量噪聲的統計特性已知的情況下，卡爾曼濾波能使估計均方誤差最小，但在噪聲的統計特性不能準確獲取的情況下，卡爾曼濾波的估計性能就會下降，而且很可能會發散[13]。在鋰電池隔膜卷繞系統的應用環境中，隔膜的厚度不均、零部件之間的共振、建模誤差等多種因素會造成系統噪聲和測量噪聲特性發生變化，使得初始的先驗值不能代表實際系統工作時的噪聲情況，使得本系統存在張力估計值發散的問題，而傳統的卡爾曼濾波難以解決此問題。因此，本文提出了一種適用于鋰電池隔膜卷繞系統的基于改進型Sage-Husa自適應濾波的張力估計。

2.1 常規的Sage-Husa自適應濾波算法

為解決上述存在的問題，常采用自適應濾波的方法，通過在線估計修正模型參數。國外學者Sage和Husa[14]提出的自適應卡爾曼濾波算法以其原理簡單、實時性好等優點在許多領域得到了廣泛的應用；這是基于極大后驗準則來估計統計特性的方法，該方法利用過去的信息的平均來估計當前的系統噪聲和測量噪聲，再借助卡爾曼濾波框架進行濾波解算，從而獲得系統狀態的最優解。

針對鋰電池隔膜卷繞系統以及隔膜的動力學模型，定義狀態變量為：

在狀態變量中，隔膜放卷端張力傳感器的張力T1、放卷輥的線速度v1、牽引輥的線速度v2屬于易測量的狀態量，隔膜放卷端張力T1、放卷輥的線速度v1和牽引輥的線速度v2屬于待估計狀態。則定義測量方程的真實值為

根據鋰電池隔膜的動力學模型以及系統速度公式可得到系統的狀態方程和測量方程，最后經線性化之后離散形式可寫成：

其中：

式中：f(X(k-1),U(k-1))為狀態轉移函數；為控制輸入量；Z(k)為系統實際可測的量；h(X(k-1),k-1)為測量函數；W(k-1)為系統過程噪聲序列，是均值為qk、協方差為Qk-1的高斯白噪聲；V(k)為測量噪聲序列，是均值為rk、協方差為Rk-1的高斯白噪聲；Ts為采樣時間；φ(k-1)為狀態轉移函數的雅可比矩陣，通過求狀態轉移函數關于自變量的偏導數得到；C為測量方程的雅可比矩陣，通過求測量函數關于自變量的偏導數得到。

對上述鋰電池隔膜卷繞系統，有遞推形式的簡化Sage-Husa自適應濾波算法可描述為

（1）狀態預測

（2）狀態校正

（3）噪聲統計特性的估計

式中：γk為新息序列，指測量變量的實際值與預測值之間的誤差；dk為指數加權系數，指數加權的作用是通過給予陳舊測量的數據和新近測量數據不同的系數，使得新近數據在估計中發揮主要作用，而使陳舊數據逐漸被遺忘[15]；s為遺忘因子[16]，通常s的范圍為0.95 ＜s＜0.99，采用遺忘因子s可以限制濾波器濾波估計的記憶長度，s越大就越加重新測量數據對當前實時估計的作用；從式（21）得出等號右邊的第一項代表在k時刻之前的所有的測量噪聲協方差信息的總和，第二項代表新近測量噪聲協方差信息。

2.2 改進的Sage-Husa自適應濾波算法

由于常規的Sage-Husa 自適應濾波（SHAEKF）算法需要根據對系統噪聲和測量噪聲的統計特性進行自適應調整，這不僅易造成求解計算時計算量過大，而且求解結果對于初值變得較為敏感，濾波不穩定，易增加濾波發散的概率[17]；因此，本文加入基于“協方差匹配”技術的濾波發散判據，目的是對測量信息是否異常做出判斷，并以此判據為基準對自適應卡爾曼濾波的過程進行干預，來提高濾波器解算的實時性。

協方差匹配技術的基本思想是：實際的余項應和它的理論特性“相匹配”，即在濾波估計的同時檢驗實際的余項，來判斷它是否是相容，如果不相容即濾波出現異常，當實際的余項在原假設Rk-1、Qk-1下不相容時，則對Rk、Qk進行噪聲估計來代替原假設的Rk-1、Qk-1。

根據文獻[18]，來判斷濾波異常的判據是：

式中：λ為可調系數，λ＞1；Tr表示對矩陣求跡；E是對矩陣求均值；式（24）的左邊表示新息的平方和，反映了系統實際估計誤差的新息；右邊與新息序列的協方差陣的跡有關，反映了理論預測誤差的新息。如果式（24）成立，表示此刻的實際誤差超過理論的λ倍，濾波異常。λ=1則為最嚴格的收斂判據條件。假設Rk=Rk-1，則有：

因此，由式（24）、式（25）可推出濾波異常的判據為

在濾波過程中，利用式（26）對此時濾波的狀態進行判斷，若式（26）成立，則說明出現濾波異常，應采用加重當前測量數據的權重方法來使其適應系統模型變化對濾波產生的影響，需要對Rk、Qk進行估計，使其適應當前的濾波；反之，式（26）不成立，說明濾波解算無異常，不需要估計Rk、Qk，即在進行第k次濾波時，利用γk對Rk、Qk進行檢驗。若式（26）成立，則認為實際的余項與原假設Rk=Rk-1、Qk=Qk-1是不相容的，此時由式（21）、式（22）分別計算Rk、Qk代替Rk-1、Qk-1；相反，若式（26）不成立，則省去式（21）、式（22）的計算，則Rk=Rk-1、Qk=Qk-1，從而分別實現了對Rk、Qk的自適應估計。

由式（21）、式（22）得知，隨著濾波次數k的不斷增加，s(k+1)會接近于0，自適應濾波的權重會逐漸趨于1-s，并會保持不變。同時，測量噪聲的協方差初始值R0對Rk的分配權重會逐漸衰減，并會慢慢趨于0。上述原因造成噪聲估計器的自適應度降低，濾波的估計精度也會隨之降低，考慮到鋰電池隔膜卷繞系統的生產環境是多變的，這種情況是不能滿足常規應用的。因此，為提高算法的穩定性，需對Sage-Husa自適應濾波進行相應的改進，使其在推導過程中能夠一直保持正定，從而使濾波估計的穩定性得到改善[19]。

當s選擇為0.95至0.99之間的數值時，分別進行500次和1000次的濾波估計時，會有：

由上述分析可知，大概在經歷500次至1000次濾波后，大約在濾波解算的100 s至200 s時，濾波的初始值基本上不會對濾波解算產生影響了，而系統信息和測量信息在濾波中的權重會不斷加大，直至穩定到最后的1-s。如圖2所示，指數加權系數dk=(1-s)/(1-sk+1)的衰減是很快的。

圖2 權值dk的衰減情況

由圖2可知，當遺忘因子s在0.95至0.99范圍內取值時，權值dk衰減很快，大概在200 s左右便衰減到穩定值1-s。因此，新近的系統信息與測量信息對濾波估計的貢獻值在固定，同時濾波的自適應度也在隨之快速下降，通過采取相應的改進策略進行干預顯得尤為重要[20]。

針對上述出現濾波自適應度降低的問題，對判據的應用方法進行如下的干預改進措施：選擇限定記憶濾波次數k=β（β是一個較大的整數），當濾波估計次數累積達到β時，在計算dk時，便將k重新置為0，讓濾波估計從初始值處再開始計算權值，然后，重新進行系統噪聲和過程噪聲協方差陣的估計，虛線方框是改進后的Sage-Husa 自適應濾波，如圖3所示。

3 實驗分析與驗證

本實驗基于鋰電池隔膜卷繞系統的實驗平臺進行，實驗設備有伺服電機（Beckhoff，AM-8042）、伺服驅動器（Beckhoff，AX-5103）、PLC 控制器（Beckhoff，CX-3E80AE）、張力傳感器和若干組輥，主站、從站與PC之間的通訊通過EtherCAT總線實現。其中實驗設置的采樣時間為0.005 s，實驗平臺如圖4所示。

在本次實驗中，設置的放卷張力期望值為T1set=10 N，鋰電池隔膜卷繞系統的運行狀態如圖5所示，實驗參數分別為：r1=0.04615 m ；j1=2；E=2.098 2×107N/m2；T0=0 N ；H=0.33m ；h=0.000 12 m ；b1=0.008 4 ；Md1=0.42 ；s=0.989 ；ρ=798.787 9 kg/m3；β=1000 ；L1=0.56 m ；J0=

在ISHAEKF算法和EKF算法中，初值選擇如下：

圖3 改進型Sage-Husa自適應濾波的流程圖

圖4 鋰電池隔膜卷繞系統的實驗平臺

圖5 鋰電池隔膜卷繞系統狀態估計算法的輸入信號

對于基于改進的自適應濾波的判據應用的方法所涉及的濾波估計次數β，將取不同的值進行實驗驗證，其放卷張力的估計值的變化趨勢如圖6所示，經過4次對比實驗發現，當β=200時，曲線的誤差較大，這是在濾波200次時便將k重新置為0，使得濾波權值調整的次數太多導致過分加重現時的數據，導致放卷張力的濾波的動態誤差、穩態誤差都比較大；當β=1000時，濾波的效果趨于變好；當β=2 000時，比β=1000的濾波的誤差要差一些。綜上所述，當β=1000左右時的濾波效果最好。

圖6 放卷張力的誤差曲線

圖7（a）、圖7（b）、圖7（c）給出了基于ISHAEKF與EKF 不同觀測量的估計結果比較，雖然通過人工給定了最優先驗參數，但是ISHAEKF算法不僅實現了噪聲統計參數的自適應，而且更好抑制了濾波發散。在加速階段的時候，圖7（a）中EKF放卷張力明顯脫離真實值，而ISHAEKF算法能更好跟蹤真實值。在濾波估計過程中，ISHAEKF算法通過自適應實時修正和估計系統噪聲協方差陣Q和觀測噪聲協方差陣R，對系統模型線性化誤差進行了補償，使得濾波估計值T1、v1、v2能較快收斂于真實值。

為了進一步分析ISHAEKF算法的估計效果，對基于ISHAEKF 和EKF算法的估計結果穩態精度進行比較，表1給出了基于EKF和ISHAEKF的穩態估計精度比較結果，表中en為測量值與狀態估計值的平均偏差，eRMS是狀態估計誤差的均方根值，定義為

圖7 基于ISHAEKF與EKF兩種算法的狀態量對比

從表1中可以看出，與EKF算法相比，ISHAEKF算法有較高的估計精度。當測量噪聲偏離真實統計特性時，估計精度會降低。說明EKF算法對測量噪聲協方差陣初值非常敏感，這也是造成EKF 在實際應用中很難保證估計精度的原因。

為了驗證ISHAEKF算法的估計結果不受Q和R的初值影響，分別隨機產生兩組Q和R的初值Q0和R0，如表2所示。

表1 狀態量估計誤差結果分析

表2 不同Q0和R0組合

圖8給出了不同Q0和R0下的估計結果比較，ISHAEKF算法中序號1為第一組Q0和R0的估計結果，ISHAEKF算法中序號2為第二組Q0和R0的估計結果，從圖中可以看出，不同的Q0和R0對估計結果的影響較小。

表3給出了在不同的噪聲協方差陣初值下放卷張力T1、線速度v1和線速度v2估計值的平均偏差和均方根值。表3中的數據表明估計結果受噪聲協方差陣初值的影響程度較小。

圖8 不同Q0和R0的ISHAEKF結果比較

表3 狀態量估計誤差結果分析

綜上所述，可驗證改進型Sage-Husa自適應濾波算法在濾波精度、收斂速度、易用性等方面均體現出不錯的效果。

在實驗數據中，由張力傳感器所得的放卷張力T1、放卷輥的線速度v1、牽引輥的線速度v2、放卷輥的隔膜卷徑R1帶有高斯白噪聲，而且與張力估計值相關的系統參數E、H、h的波動會帶來張力估計值的波動。根據式（6）可得出，采用ISHAEKF算法估計放卷輥的線速度v1和牽引輥的線速度v2后，放卷張力估計的精度明顯比張力傳感器的更好。從細節上看，采用基于改進型Sage-Husa 自適應濾波算法（ISHAEKF）估計的放卷張力雖然有毛刺，但這主要是由于張力觀測值是通過計算得到的，任何相關參數的細微變化都會導致張力的波動。

4 結語

本文著重研究了一種基于改進型Sage-Husa 自適應濾波的張力估計方法，并將其應用在鋰電池隔膜卷繞系統中。在常規的Sage-Husa 自適應濾波的基礎上，對指數加權表達式中的濾波次數進行限定記憶并結合協方差匹配為濾波發散判據。該方法不僅濾波估計精度高，計算量較小，而且能夠克服傳統EKF估計結果受噪聲協方差陣初值影響較大以及易濾波發散的問題。實驗結果表明，將ISHAEKF與EKF的估計結果相比，ISHAEKF算法能以較高的精度同時估計出張力和速度；接下來比較選取不同噪聲協方差陣Q0和R0的估計結果，可知所提的方法克服了EKF算法估計結果受噪聲協方差陣影響較大的問題，不同的Q0和R0條件下均能以較高的精度估計出張力。

本文估計出的張力是通過計算得到的，實際系統中的相關參數沒有通過嚴格的實驗得出，而參數的細微變化會導致張力估計值的波動。在今后的工作中，可考慮通過系統參數辨識的方法來提高張力估計的精度。