極點加權模態分解及其在故障診斷中的應用

童靳于，鄭近德，潘海洋，包家漢，劉慶運

（1.液壓振動與控制教育部工程研究中心，安徽 馬鞍山243032；2.安徽工業大學 機械工程學院，安徽 馬鞍山243032）

機械振動信號包含了豐富的敏感故障特征信息，因此，機械故障診斷的關鍵是從振動信號中提取與故障有關的特征信息。由于負載、摩擦和轉速波動等因素的影響，振動信號往往呈現非線性和非平穩特性[1]。以經驗模態分解（Empirical mode decomposition，EMD）為代表[2-3]及在其基礎上發展的局部均值分解(Local mean decomposition，LMD)[4]和局部特征尺度分解(Local characteristic-scale decomposition，LCD)等自適應信號處理方法[5]，能夠同時提供這類信號的時域和頻域局部信息，且分解不依賴于參數和基函數，因此，在機械故障診斷領域得到了廣泛應用。如文獻[3]中研究了EMD 在機械故障診斷中的應用，并針對EMD 存在的理論問題，提出了一系列改進方法；文獻[6]中研究了LMD 在齒輪故障檢測和行星齒輪箱故障診斷中的應用；文獻[7]中研究了LCD 在轉子碰摩及滾動軸承故障診斷中的應用等，都取得了一系列可喜的成果。

EMD 能夠自適應地將一個復雜信號分解為若干個內稟模態函數(Intrinsic mode function，IMF)之和，再對得到的每一個IMF分量做希爾伯特變換(Hilbert Transform，HT)，得到其瞬時幅值、瞬時相位和瞬時頻率信息，進而可得到原始信號的完整時頻分布，其均值曲線定義為信號上、下兩包絡線的均值，而上、下包絡線是通過對數據的極值點進行三次樣條插值得到的[2]。EMD在使用過程中會產生過包絡、欠包絡、頻率混淆、端點效應、端點能量泄漏和無法解釋的負頻率等問題。LMD是為了克服EMD的缺陷而被提出的另一種自適應時頻分解方法。LMD 假設復雜的非平穩信號被分解為若干個具有物理意義的乘積函數（Product Function，PF）之和[4]，其均值曲線是通過滑動平均方式定義的，避免了EMD方法中三次樣條函數擬合所產生的誤差、過包絡、欠包絡以及由HT 產生的負頻率等問題，但LMD 本身也存在迭代計算量大、端點效應、模態混疊等問題。LCD方法作為EMD方法的改進，是近年來提出的一種自適應時頻分析新方法，LCD 能夠自適應地將復雜的非平穩信號分解為若干個內稟尺度分量（Intrinsic Scale Component，ISC）之和，從而得到原始信號的完整時頻分布，其均值曲線的插值點是由連接兩相鄰同類極值點的連線計算產生[4]。相對于EMD，LCD 減小了迭代計算量，提高了分解精度，但是由于均值曲線插值點的屬性主要由相鄰兩同類極值點的屬性決定，不能很好地體現數據的整體變化趨勢，從而可能導致分解精度降低，因此仍有待進一步改進。EMD、LMD 和LCD 等這類基于篩分的自適應信號分析方法有共同的分解思路，即首先定義具有物理意義的單分量信號，如IMF、PF、ISC等，在此基礎上，定義一種基于均值曲線的篩分過程；篩分過程中，相對高頻的分量不斷被從原始信號中分離出來。因此，定義合理的均值曲線是這類基于篩分的信號分解方法的核心所在，均值曲線的定義優劣直接決定了方法的有效性和精確性[2]。

為了克服現有自適應信號分解方法的缺陷，文中提出一種新的自適應信號處理方法—極點加權模態分解(Extreme-point weighted mode decomposition，簡稱EPWMD)方法，首先定義具有物理意義的單分量信號（仍稱為IMF），在此基礎上構建均值曲線，最后通過迭代和篩分，實現信號的自適應分解。將所提EPWMD 方法與現有EMD 和LCD 等方法通過仿真信號、滾動軸承信號和轉子碰摩故障信號分別進行對比分析，結果表明，文中所提方法不僅能夠有效診斷故障，而且診斷精度更高。

1 極點加權模態分解

EPWMD方法假設任何一個復雜的非平穩信號X(t)可以被分解為若干個IMF分量之和，

EPWMD方法的步驟如下：

(1)設置初始參數α(p)=0.8+plα，步長lα=0.005，p=0；

(2)確定X(t)所有的局部極值點(τi,Xi)，i=1，2，…，K；定義Mk、θ和Ak分別為

其中：k=1，2，…，K-1，θ1=0.05 稱為極點加權因子，θ2=10θ1表示取整。為了抑制端點效應，采用端點延拓方法[2]，得到兩端端點β=0.05和A0、Am。

(3) 采用三次樣條函數對所有的(τk,Mk)和(τk,Ak)(k=0，1，2，…，m)分別進行插值，得到兩組均值函數M1(α,t)和M2(α,t)，兩組包絡函數A1(α,t)和A2(α,t)。定義均值曲線為

包絡曲線定義為

(4)若M(α,t)滿足IMF的條件，那么M(α,t)就是IMF1。如果不滿足，則重復以上步驟，直到其滿足條件時，令其為IMF1；

采用三閾值準則[8]作為IMF 判據，定義均值函數與包絡函數的比值：

三閾值準則中閾值(θ1,θ2,ε)的意義是：確保θ僅在局部較小時間段內存在較大的變動，在余下時間段內變動很小，即在ε時間段內θ(t)＜θ1，余下的(1-ε)時間段內θ1≤θ(t)＜θ2，根據參考文獻[9]，一般取θ1=0.05，θ2=10θ1，β=0.05，具體數值根據實際情況選取。

(5)令R1(t)=X(t)-IMF1，將R1(t)視為原始數據X(t)。重復上述步驟(1)至步驟(4)得到IMF2、IMF3、…、IMFn，直至剩余信號Rn(t)=X(t)-IMF1-IMF2-…-IMFn是一個單調或極值點個數不超過3個的函數（稱為信號的趨勢項）。

(6)p=p+1，如果α(p)≤1.3，繼續執行上述步驟(1)至步驟(5)，以正交性指標最小作為目標函數，選擇正交性指標最小分解結果作為最終分解結果。最終，原始信號X(t)被分解若干個IMF分量和一個趨勢項之和，即：

EPWMD方法的創新之處在于引入了極點加權因子，通過其實現對均值構造的調節。EPWMD是以正交性指標最小作為目標函數，選擇正交性指標最小分解結果作為最終分解結果，其本質是從所有的篩分結果選擇最優，其在正交性框架下是整體最優的。

2 仿真信號對比分析

為了證明所提EPWMD 方法的有效性和優越性，首先利用仿真信號將其分別與EMD 和LCD 進行對比。假設仿真信號x(t)由兩個調幅信號和一個余弦信號構成：

其中：x1(t)=[1+0.3sin(8πt)]cos(160πt)，x2(t)=(1+0.3t)cos(70πt)，x3(t)=cos(30πt)，采樣頻率Fs=5 000 Hz。x(t)及其3個構成信號的時域波形如圖1所示。

圖1 x(t)及其構成成分的時域波形

首先，為了讀取x(t)的各個模態信息，分別采用EMD、LCD和EPWMD3種方法對其進行分解，根據3種方法得到的前3個IMF分量如圖2所示，其中3種方法的IMF判據一致，均為上述三閾值準則，并限定最大迭代次數為500；EPWMD方法中α優化結果為1.275；圖中Real表示真實分量，即與IMF1、IMF2和IMF3分別對應的x1(t)、x2(t)和x3(t)。由圖中可以看出，根據3種方法分解得到的前3個IMF分量都與真實分量比較接近，吻合度較高。

為了對比根據3種方法分解得到的IMF分量的精確性，圖3給出了相應IMF分量與對應真實值之差的絕對值，即由圖中可以看出，由EMD和LCD方法得到的3個IMF分量的絕對誤差的幅值較大，分別約為0.06，0.12和0.1左右；由EPWMD 方法得到的3個IMF分量的絕對誤差的幅值最小，分別約為0.03、0.06和0.05。

圖2 根據3種方法分解的IMF分量結果對比

圖3 根據3種方法分解的IMF分量與真實值的絕對誤差

此外，為了更精確評價根據3種方法得到的IMF分量的精度，考慮如下評價指標：正交性IO、相關系數R和誤差能量比E。正交性為零表示各個IMF 互相獨立；相關系數表示IMF分量與真實分量之間的相關性，相關系數為1表示兩者線性相關；誤差能量比Ei定義為

其中：i=1,2,3

3種分解方法上述指標如表1所示。

由表1可以看出，EPWMD 方法正交性指標最小，3個分量與真實值的相關系數最大，絕對誤差能量比最小，EMD和LCD分解結果的各項指標則比較接近，相差較小。因此，以上分析結果表明，對于例1這類信號，EPWMD 方法在正交性和分解精確性等方面具有一定的優越性。

為了進一步驗證所提方法的優越性，不失一般地，再考慮式（8）所示頻率分布比較接近的若干時變模態構成的疊加信號y(t)：

表1 信號x(t)3種分解方法評價指標對比

3個模態的瞬時頻率分別為70+10t、40和20+8tHz，3個模態的低頻與高頻之比約為0.5左右。y(t)及其3個構成成分的時域波形如圖4所示。

圖4 y(t)及其構成成分的時域波形

分別采用EMD、LCD 和EPWMD 3種方法對y(t)進行分解，分解結果的前3個IMF分量及其與真實值的絕對誤差分別如圖5和圖6所示。其中EPWMD 方法中α優化結果為α=1。從圖5中可以看出，由3種方法得到的第一個IMF分量IMF1與真實分量y1(t)吻合，而由EMD 和LCD得到的第2個和第3個IMF分量IMF2、IMF3與真實分量y2(t)和y3(t)的誤差較大。從圖6可以進一步看出，根據EMD 和LCD得到的IMF1與y1(t)的絕對誤差幅值約為0.25左右，根據EPWMD得到的IMF1與y1(t)的誤差約為0.05左右。根據EMD 和LCD得到的第2個和第3個IMF分量IMF2和IMF3與真實分量y2(t)和y3(t)的絕對誤差在t=0.8至1時刻幅值達到1.8左右，而根據EPWMD得到的IMF1與y1(t)的誤差約為0.2左右。

表2 信號y(t)3種分解方法的評價指標對比

圖5 根據3種方法分解y(t)的IMF分量結果對比

圖6 根據3種方法分解y(t)的IMF分量與真實值絕對誤差

再考慮3種分解方法的正交性、相關系數和誤差能量比，結果如表2所示。

由表2可以看出，根據EPWMD 所得分解結果的正交性指標為0.024 5，小于EMD 和LCD的正交性指標（0.047 3 和0.028 4）；此外，根據EPWMD 方法得到的3個IMF分量與真實值的相關系數分別為0.999 8，0.993 8和0.988 3，分別大于EMD的0.996 6、0.878 5 和0.880 3以 及LCD的0.996 4、0.943 8 和0.947 3。根據EPWMD 方法得到的3個IMF分量與真實值的絕對誤差能量比分別為0.024 7、0.015 1和4.627 5×10-4，分別小于EMD的0.241 3、0.246 1 和0.006 7以及LCD的0.112 6、0.110 1 和0.007 7。因此，上述分析結果表明，對于式（4）所示的這類時變模態疊加的信號，與EMD 和LCD 相比，EPWMD 也能夠在正交性和精確性等方面有一定的優越性。

3 實測信號分析

為了驗證EPWMD 方法的有效性，首先將其應用于轉子碰摩故障徑向位移信號分析。試驗時轉速為3 000 r/min，轉頻fr=50 Hz，采樣頻率為2 048 Hz，采樣時間0.5 s，采集得到轉子碰摩故障信號時域波形如圖7所示。實驗詳細工況表述參見文獻[6]。

圖7 轉子碰摩故障信號時域波形

首先，為了提取與碰摩故障有關的故障特征信息及便于對比，分別采用EPWMD和EMD方法對上述轉子碰摩故障信號進行分解，分解得到的前4個IMF分量如圖8所示。限于篇幅，不再與LCD 方法對比。從時域波形圖上看，根據兩種分解方法得到的對應的IMF分量十分接近，無明顯區別。

其次，從時域波形可以看出，第1個IMF分量具有明顯的調幅特征，包含了與碰摩故障相關的特征信息。接下來，分別計算基于兩種方法得到的第1個IMF分量的包絡譜以及前3個IMF分量的頻譜，結果如圖9所示。首先，從圖第2至第4列根據EMD和EPWMD 方法得到的IMF分量頻譜中可以看出，第1個IMF分量具有調幅特征，邊頻帶比較明顯，主要成分為150 Hz 及其以上的高頻成分；而通過圖9第1列包絡譜可以看出，調制頻率為轉頻fr（50 Hz），這是由于轉子每轉動一周，動件和靜件就碰摩一次所造成的。第2個IMF分量為3倍頻，第3個IMF分量為轉頻成分。兩種方法得到的分量的包絡譜和頻譜是一致的，結果也非常接近，但是，仔細觀察發現，根據EMD得到的第1個IMF分量的包絡譜中除了轉頻外，還有較嚴重的低頻干擾；而根據EPWMD得到的第1個IMF分量的包絡譜中低頻干擾較小，轉頻及其二倍頻峰值更加突出；而且根據EMD得到的第2個分量IMF2不僅含有三倍頻，而且還有高頻成分干擾，而根據EPWMD得到的IMF2高頻干擾較小。因此，綜上分析，采用EPWMD不僅能夠得到和EMD 一致的診斷結果，而且分析效果優于EMD方法。

接下來，再將所提EWPMD 方法應用于外圈具有單點故障的滾動軸承振動信號分析。滾動軸承型號為6205 2RS SKF，故障大小為0.177 8 mm，負載約為1 492 W，轉速為1 750 r/min，采樣頻率為12 kHz，采樣時長0.5 s。計算得轉頻fr=29.17 Hz，外圈故障特征頻率fo=104.6 Hz，故障信號時域波形如圖10所示。實驗數據參見文獻[11-12]。

圖8 基于EMD和EPWMD轉子碰摩故障信號分解結果

圖9 從上到下依次為IMF1分量的包絡譜及前3個IMF分量的頻譜

為了對比，分別采用EMD和EPWMD對圖10所示信號進行分解，前5個IMF分量結果如圖11所示。

從時域波形上看，兩者的分解效果很接近，無明顯差別。再分別計算它們前3個IMF分量的包絡譜，結果如圖12所示。由圖12可以看出，根據EMD和EPWMD分解得到的前兩個IMF分量的包絡譜也非常接近，有明顯的外圈故障特征頻率fo及其倍頻2fo和3fo，根據EMD得到的第3個IMF的包絡譜則無明顯譜線，但是，根據EPWMD得到的第3個IMF分量的包絡譜中在故障特征頻率fo及轉頻fr處仍有明顯的譜線，即仍包含與故障有關的特征信息，因此，這在一定程度上說明了EPWMD的有效性和相較于EMD的優越性。

圖10 具有外圈故障滾動軸承振動信號時域波形

圖11 EMD和EPWMD分解結果

圖12 基于EMD和EPWMD分解所得前3個IMF分量的包絡譜

4 結語

本文提出了一種新的自適應信號分解方法—極點加權模態分解（EPWMD）。事實上，EPWMD的意義不僅僅在于提出一種信號分解新方法，更重要的在于，對EMD 這類自適應信號分解方法，它提供了一種提高分解精度的思路，即如何恰當地引入參數來提供分解的精度和性能。通過仿真和實測信號分析，得到如下結論。

（1）將提出的EPWMD 方法與EMD 和LCD 等方法通過仿真信號進行了對比，結果表明，與EMD和LCD 等方法相比，EPWMD 方法在分解正交性和精確性等方面有一定的優越性。

（2）將提出的EPWMD 方法應用于轉子碰摩和滾動軸承故障信號分析，并與EMD 方法進行了對比，結果表明，提出的EPWMD不僅能夠有效地識別轉子碰摩和滾動軸承局部故障，而且診斷效果優于EMD方法。

綜上，仿真和實測信號分析結果表明，所提出的EPWMD 方法和EMD 相比有一定的優越性。當然其也存在不足，如計算比EMD 耗時等，仍需要對其進一步研究。