基于量子衍生理論和Grabcut的圖像分割方法

席亮

（上海開放大學(xué)普陀分校信息工程系 上海市 200062）

1 引言

近年來(lái)量子信息處理技術(shù)得到了較多關(guān)注，將量子力學(xué)理論中的假設(shè)和基本思想作為一種數(shù)學(xué)工具，引入到經(jīng)典計(jì)算機(jī)中與現(xiàn)有算法相結(jié)合，可在特定領(lǐng)域中提供一種嶄新的解決方案，稱之為量子衍生算法。例如文獻(xiàn)[1]提出了量子衍生神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、文獻(xiàn)[2]介紹了量子遺傳算法。Eldar 等率先提出了量子衍生信號(hào)處理算法[3]，Tseng 等將量子衍生理論用于數(shù)字圖像處理領(lǐng)域，設(shè)計(jì)了圖像邊緣檢測(cè)、圖像加密等量子衍生圖像處理算法[4]。文獻(xiàn)[5]-[6]介紹了用量子比特來(lái)表示數(shù)字圖像的方法，并基于此設(shè)計(jì)了量子衍生自適應(yīng)中值濾波和圖像邊緣檢測(cè)等算法，本文作者在文獻(xiàn)[7]-[9]中實(shí)現(xiàn)了量子衍生圖像融合以及量子半色調(diào)算法。

圖像分割是數(shù)字圖像處理學(xué)科研究的一個(gè)重要問(wèn)題，目前圖像分割技術(shù)被廣泛應(yīng)用于衛(wèi)星遙感圖[10]、醫(yī)學(xué)影像分析[11]、道路交通監(jiān)控等領(lǐng)域?；趫D論的圖像分割方法是近年來(lái)圖像分割領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，基本思想是把數(shù)字圖像轉(zhuǎn)化為圖，然后用圖的最小割算法實(shí)現(xiàn)圖像的分割。Boykov 等人提出了著名的圖割算法（GraphCut）[12]，Rother 等人對(duì)GraphCut 算法做出改進(jìn)，提出了GrabCut 算法[13]，取得了較好的分割效果。本文基于量子衍生圖像處理方法和Grabcut 算法，設(shè)計(jì)了一種新的圖像分割方法，仿真實(shí)驗(yàn)表明該方法在沒有人工控制的情況下，能夠?qū)崿F(xiàn)圖像的有效分割，且耗時(shí)較少。

2 圖像的量子表示及關(guān)聯(lián)分解

2.1 圖像的量子表示

傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)是建立在比特的概念之上，每一個(gè)比特位都處于0 或1 的狀態(tài)，量子計(jì)算則是建立在量子比特概念之上。量子比特也是一個(gè)狀態(tài)，但它是由兩個(gè)基態(tài)|0〉和|1〉的線性組合構(gòu)成，可稱之為量子線性疊加態(tài)。一個(gè)量子比特|ψ〉可表示為如下形式，其中|〉稱為狄拉克符號(hào)：

式(1)中的a 和b 是兩個(gè)復(fù)數(shù)，分別是基態(tài)|0〉和|1〉的概率幅。如果對(duì)量子比特|ψ〉進(jìn)行測(cè)量，那么得到狀態(tài)|0〉的概率為|a|2，得到狀態(tài)|1〉的概率為|b|2，并且滿足歸一化|a|2+|b|2=1。

可以用如下方法將數(shù)字圖像表示成量子比特的形式：先將一幅灰度圖像f(m,n)做歸一化處理，f(m,n)∈[0,1]表示圖像在(m,n)處的灰度值，假設(shè)f(m,n)為點(diǎn)(m,n)處灰度值為1 的概率，1-f(m,n)為點(diǎn)(m,n)處灰度值為0 的概率，可以利用量子信息理論中的|0〉和|1〉對(duì)應(yīng)數(shù)字圖像的灰度值0 和1，即數(shù)字圖像中的黑和白。由此可將一幅灰度圖像表示成量子比特的形式：

2.2 量子關(guān)聯(lián)分解

量子力學(xué)中的復(fù)合量子系統(tǒng)理論為數(shù)字圖像處理提供了一種新的思路，由于復(fù)合量子系統(tǒng)遵循量子態(tài)疊加的規(guī)律，若干個(gè)量子比特疊加組成了一個(gè)復(fù)合量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，基于此量子疊加態(tài)，數(shù)字圖像f(m,n)中(m,n-1)，(m,n)，(m,n+1)三點(diǎn)的灰度值可表示成f(m,n-1)，f(m,n)，f(m,n+1)，也可簡(jiǎn)記成fm,n-1,fm,n,fm,n+1，圖像中這三個(gè)相鄰的像素形成了一個(gè)小鄰域灰度關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，可看作是由三個(gè)量子比特構(gòu)成的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，其狀態(tài)可由張量積表示：

其中ωi是態(tài)矢量|i〉的概率幅，它的平方是每一個(gè)可能狀態(tài)的概率，并滿足以下等式以ω2為例，對(duì)應(yīng)的態(tài)矢量為|010〉，代表(m,n-1)，(m,n)，(m,n+1)三個(gè)相鄰點(diǎn)的灰度值出現(xiàn)黑、白、黑的概率，ω6對(duì)應(yīng)態(tài)矢量|110〉，代表三個(gè)相鄰點(diǎn)的灰度值出現(xiàn)白、白、黑的概率，其它可類推?？梢哉J(rèn)為此復(fù)合量子系統(tǒng)表示了相鄰像素點(diǎn)之間的灰度關(guān)聯(lián)。式（4）可稱為量子比特圖像的關(guān)聯(lián)分解，其中八個(gè)態(tài)矢量系數(shù)的平方就是八個(gè)子圖的灰度值。

根據(jù)量子力學(xué)中的測(cè)量及坍縮理論，對(duì)公式（4）中表示的三量子位關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的第二個(gè)量子位，即中間量子位進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得為1 的概率為并且測(cè)量后這個(gè)三量子位關(guān)聯(lián)系統(tǒng)坍縮為一個(gè)新的狀態(tài)：

顯然經(jīng)過(guò)測(cè)量后，八個(gè)子圖坍縮為四個(gè)子圖，設(shè)為f1(m,n)、f2(m,n)、f3(m,n)、f4(m,n)，這四個(gè)特征子圖的灰度值分別為|010〉、|011〉、|110〉、|111〉四項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)的平方，具體可以寫為：

經(jīng)過(guò)關(guān)聯(lián)分解和測(cè)量坍縮后形成的四個(gè)子圖，均有特定意義。第一個(gè)子圖的灰度值是|010〉項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)的平方，可看作(m,n-1)，(m,n)，(m,n+1)三個(gè)相鄰像素出現(xiàn)黑白黑的可能性。第二個(gè)子圖對(duì)應(yīng)|011〉項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)的平方，可看作(m,n-1)，(m,n)，(m,n+1)三個(gè)相鄰像素出現(xiàn)黑白白的可能性，可體現(xiàn)出圖像在(m,n)點(diǎn)產(chǎn)生灰度正跳變的程度，同理第三個(gè)子圖表示三個(gè)相鄰像素出現(xiàn)白白黑的概率，可反映在(m,n)處出現(xiàn)灰度負(fù)跳變的程度。因此上述三個(gè)子圖均表示在(m,n)處發(fā)生灰度跳變的程度，也就是圖像的邊緣信息。而第四個(gè)子圖可看作(m,n-1)，(m,n)，(m,n+1)三個(gè)相鄰像素出現(xiàn)白白白的可能性，反映的是圖像灰度局域分布的情況。

3 Grabcut算法

Grabcut 算法是對(duì)Graphcut 方法的改進(jìn)，先將數(shù)字圖像表示成圖的形式，V 是指所有頂點(diǎn)的集合，E 是指所有邊的集合。圖像中的每一個(gè)像素點(diǎn)均是該圖的一個(gè)頂點(diǎn)，任意兩個(gè)相鄰的像素點(diǎn)相連接對(duì)應(yīng)一條邊，記作n-links。然后再增加了兩個(gè)特殊的頂點(diǎn)S 和T，圖像中的每一個(gè)像素點(diǎn)均與它們連接也構(gòu)成邊，這種邊稱為t-links。

如圖1所示，實(shí)線的邊是n-links，虛線的邊是t-links，分別表示普通頂點(diǎn)連接的邊和普通頂點(diǎn)與新增頂點(diǎn)S、T 相連接的邊，邊的權(quán)值可以看成是分割的代價(jià)。將圖中的一部分邊斷開，圖的頂點(diǎn)劃分為兩個(gè)不相交的子集s 和t（s∪t=V），即完成了圖像的分割。這個(gè)子集就是一個(gè)割，若分割后所有的邊權(quán)值之和最小，就是圖的最小割?？赏ㄟ^(guò)構(gòu)建能量函數(shù)來(lái)確定邊的權(quán)值。圖1中的實(shí)線邊之權(quán)值是邊界平滑能量項(xiàng)，虛線邊是區(qū)域能量項(xiàng)。對(duì)背景與目標(biāo)都采用包含K 個(gè)高斯分量的混合高斯模型構(gòu)建能量函數(shù)，使用一個(gè)向量記錄每個(gè)像素采用哪個(gè)高斯分量。整個(gè)圖像的能量可記為區(qū)域能量項(xiàng)與邊界能量項(xiàng)的和[14]。

區(qū)域能量項(xiàng)U 表示一個(gè)像素分配背景標(biāo)簽或目標(biāo)標(biāo)簽的懲罰，即該像素屬于標(biāo)簽0 或1 的概率。顯然若給像素分配為概率最大的標(biāo)簽，此時(shí)能量最小，所以一般取屬于背景或目標(biāo)的概率的負(fù)對(duì)數(shù)。若圖像所有像素均被正確劃分至對(duì)應(yīng)的背景區(qū)域或者目標(biāo)區(qū)域，則能量是最小值。

取負(fù)對(duì)數(shù)之后則變成：

混合高斯模型的參數(shù)θ 有三個(gè)，分別是每個(gè)高斯分量的權(quán)重π、均值向量μ 和協(xié)方差矩陣∑，背景模型和目標(biāo)模型的三個(gè)參數(shù)都需要通過(guò)學(xué)習(xí)確定。

邊界能量項(xiàng)V 表示相鄰像素之間不連續(xù)的懲罰，若兩相鄰像素差異很小，則很可能同屬于背景或目標(biāo)，反之若差異很大，則屬于背景和目標(biāo)的邊緣，即被分割的可能性很大。差異越大，能量越小。

式（15）中參數(shù)β 取決于圖像的對(duì)比度，若對(duì)比度較低則乘以一個(gè)較大的數(shù)放大差異，反之則乘以一個(gè)較小的數(shù)減小差異。經(jīng)過(guò)多次迭代，背景GMM 和目標(biāo)GMM 的參數(shù)不斷被優(yōu)化，圖像分割的效果也更好。

4 本文方法

Grab cut 算法引入了RGB 三通道的混合高斯模型（GMM），通過(guò)不斷進(jìn)行參數(shù)學(xué)習(xí)和分割估計(jì)的迭代達(dá)到目標(biāo)分割，雖然減少了人工交互，但仍然無(wú)法完全擺脫人工的干預(yù)，并且存在收斂較慢的缺點(diǎn)，本文基于量子衍生理論改進(jìn)Grabcut 算法實(shí)現(xiàn)圖像的自動(dòng)分割。

根據(jù)2.1 和2.2 的介紹，將灰度圖像歸一化后轉(zhuǎn)化為量子比特的形式，然后對(duì)其做量子關(guān)聯(lián)分解，根據(jù)量子測(cè)量和量子坍縮理論，得到四幅特征子圖。這四幅特征子圖分別具有特定的意義，第一幅子圖的灰度值表示原圖中三個(gè)相鄰像素出現(xiàn)黑白黑的概率，第二幅子圖表示原圖中三個(gè)相鄰像素出現(xiàn)黑白白的概率，第三幅子圖表示原圖中三個(gè)相鄰像素出現(xiàn)白白黑的概率。這三幅子圖反映了圖像中灰度值發(fā)生跳變的情況，記錄了圖像的邊緣信息。第四幅子圖表示相鄰像素出現(xiàn)白白白的概率，反映了圖像灰度局域分布的信息。通過(guò)這四幅特征子圖也可以還原出原圖[7]。

分別用含K 個(gè)高斯分量的全協(xié)方差混合高斯模型來(lái)對(duì)背景和目標(biāo)建模，將四幅子圖代入四通道混合高斯模型，每個(gè)高斯分量的均值向量μ 為四元素向量，協(xié)方差矩陣為4×4 矩陣。背景和目標(biāo)GMM 模型一旦有了部分樣本集后就可以得到參數(shù)的估計(jì)值，根據(jù)隸屬于某個(gè)高斯分量的像素個(gè)數(shù)與總的像素個(gè)數(shù)的比值可得到該高斯分量的權(quán)值。為減少人工干預(yù)，本文采用了文獻(xiàn)[15]的微分計(jì)盒算法生成目標(biāo)的矩形輪廓。把輪廓外的部分看作背景，輪廓內(nèi)的部分看作前景。經(jīng)過(guò)若干次迭代，計(jì)算模型的每個(gè)參數(shù)，包括權(quán)重、均值向量和協(xié)方差矩陣。然后把分割得到的背景和目標(biāo)像素再代入，訓(xùn)練優(yōu)化模型的參數(shù)。

迭代過(guò)程會(huì)使能量逐漸遞減，并趨于收斂，從而不斷優(yōu)化GMM 模型的參數(shù)和分割結(jié)果。由于經(jīng)過(guò)量子關(guān)聯(lián)分解和量子測(cè)量、坍縮的特征子圖分別反映了原始圖像中灰度跳變和局域分布的信息，從而大大提高了能量函數(shù)收斂的速度，一般通過(guò)三到四次迭代即可得到精準(zhǔn)的目標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)圖像的自動(dòng)分割。

圖1：原始圖像轉(zhuǎn)化為圖

算法的具體流程如下：

（1）將歸一化后的灰度圖像轉(zhuǎn)化為量子比特的形式，經(jīng)量子關(guān)聯(lián)分解和量子測(cè)量、坍縮后得到四幅特征子圖。

（2）運(yùn)用微分計(jì)盒算法得到目標(biāo)的精確矩形輪廓，以此作為類似graph cut 和grab cut 算法中需要手工干預(yù)的目標(biāo)框。

（3）分別建立背景和目標(biāo)的四通道混合高斯模型GMM，對(duì)每一個(gè)背景和目標(biāo)像素分配高斯分量（將像素的灰度值代入對(duì)應(yīng)的背景或目標(biāo)模型中的每一個(gè)高斯分量，選取概率最大的分量）。

（4）計(jì)算混合高斯模型的參數(shù)，得到兩類邊的權(quán)值，使用最大流/最小割算法實(shí)現(xiàn)圖像分割。

（5）重復(fù)步驟（3）和（4），直到收斂。每次迭代后，混合高斯模型的參數(shù)和分割結(jié)果都將得到優(yōu)化。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

表1：兩種方法耗時(shí)及誤差比較

為了驗(yàn)證本文提出算法的有效性，本文在公開標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集MSRA1000 中選擇了100 幅圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),并將本文方法的分割結(jié)果與普通GrabCut 算法進(jìn)行比較。仿真實(shí)驗(yàn)環(huán)境的硬件為配備Intel i5-7300U 中央處理器以及8G 內(nèi)存的普通PC 機(jī)，軟件為Matlab7.0。對(duì)于每一幅圖像,分別用本文提出的算法和普通Grab cut 算法進(jìn)行目標(biāo)分割。普通Grab cut 算法必須由人工繪制矩形框，本文提出的算法則無(wú)需人工干預(yù)。經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試，本文方法總體有效率達(dá)到97%，從主觀視覺感受上，本文方法與普通Grabcut 算法分割的結(jié)果非常接近。在100 幅圖像中僅有3 幅背景較為復(fù)雜的圖像未能達(dá)到理想的分割效果，這三幅圖像用普通Grabcut 算法分割效果也不佳。因此增強(qiáng)復(fù)雜背景下圖像分割的有效率將是后續(xù)研究的方向之一。

為了客觀評(píng)價(jià)使用本文方法進(jìn)行分割的效果，選擇了其中三幅圖像采用Photoshop 軟件進(jìn)行手動(dòng)分割作為客觀評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)圖，分別計(jì)算兩種方法分割結(jié)果的誤差。誤差的計(jì)算公式為：

I 是手動(dòng)分割后得到的標(biāo)準(zhǔn)圖，I0是使用算法自動(dòng)分割得到的結(jié)果，M×N 是圖像的像素個(gè)數(shù)[16]。圖2是三幅圖像分別用本文方法和普通Grabcut 算法分割后的結(jié)果，其中圖2(a)是原始圖像，圖2(b)是本文方法分割后的結(jié)果，圖2(c)是普通GrabCut 算法分割后的結(jié)果。

圖2

表1中的數(shù)據(jù)是兩種分割方法所花費(fèi)的時(shí)間以及利用公式（16）計(jì)算得到的誤差。表1中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示本文提出的方法行之有效，準(zhǔn)確分割出了目標(biāo)對(duì)象，在實(shí)現(xiàn)整體分割的同時(shí)，幾乎能夠留存目標(biāo)對(duì)象的全部信息。在沒有人工干預(yù)的情況下，分割效果略優(yōu)于Grab Cut 算法，且消耗的時(shí)間更少。

6 總結(jié)

本文借助量子衍生理論和Grabcut 算法，設(shè)計(jì)了一種的圖像分割方法。將灰度圖像轉(zhuǎn)化成量子比特的形式，通過(guò)量子關(guān)聯(lián)分解和量子測(cè)量、坍縮生成四幅特征子圖，分別構(gòu)建背景和目標(biāo)的四通道混合高斯模型，通過(guò)迭代不斷優(yōu)化模型參數(shù)和圖像分割的結(jié)果。該方法不需要人工干預(yù)，能夠?qū)崿F(xiàn)圖像的自動(dòng)分割，擴(kuò)大了傳統(tǒng)Grabcut 算法的使用范圍。實(shí)驗(yàn)表明該算法不僅能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)圖像的準(zhǔn)確分割，由于特征子圖反映了圖像的邊緣信息和局域分布情況，模型迭代的次數(shù)相對(duì)較少，提高了圖像分割的速度?；诹孔友苌碚摰臄?shù)字圖像處理技術(shù)屬于新興交叉學(xué)科，在邊緣檢測(cè)、圖像融合、數(shù)字半色調(diào)等方面的應(yīng)用證明了其有效性，后續(xù)研究將關(guān)注于提高復(fù)雜背景下目標(biāo)對(duì)象的分割效果以及顯著性目標(biāo)的檢測(cè)。