一類脈沖隨機(jī)微積分方程解的穩(wěn)定性分析

孫志強(qiáng)

（河南藝術(shù)職業(yè)學(xué)院，河南鄭州 450000）

1 隨機(jī)微積分系統(tǒng)研究的背景、研究意義及現(xiàn)狀

穩(wěn)定性理論解決的是當(dāng)t→∞時，微分方程的解x（t，t0）的極限狀態(tài)如何?極限狀態(tài)和初值x0的關(guān)系如何?在經(jīng)典控制理論中，主要限于研究線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要方法有奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和根軌跡法。它們根據(jù)控制系統(tǒng)的開環(huán)特性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這些方法不僅適用于單變量系統(tǒng)，而且在經(jīng)過推廣之后也可用于多變量系統(tǒng)。

Lakshmikantham 等于1989年在《脈沖微分方程理論》中總結(jié)了他們對脈沖系統(tǒng)的研究成果，1892年俄國數(shù)學(xué)家和力學(xué)家A.M.李雅普諾夫在論文《運動穩(wěn)定性的一般問題》中完成了關(guān)于運動穩(wěn)定性理論的奠基性工作的，又經(jīng)過這幾十年的研究，脈沖微分方程的理論被不斷提出，逐漸形成了一個較為完整的體系。

脈沖系統(tǒng)目前廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、電子信息等，小到一個具體的控制系統(tǒng)，大至一個金融系統(tǒng)、社會系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)，這些系統(tǒng)總是在各種偶然的或持續(xù)的干擾下運行的，承受這種干擾之后，能否保持預(yù)定的工作狀態(tài)運行，而不至于失控至關(guān)重要。

較早研究脈沖隨機(jī)微積分的是Caro 和Rao，他們研究了以下脈沖隨機(jī)微積分系統(tǒng)：

他們擴(kuò)展了脈沖隨機(jī)微積分穩(wěn)定性的概念，用Lyapunov函數(shù)和微分不等式的技巧，得出上述系統(tǒng)的兩測度穩(wěn)定性的充分條件。隨后，Liu 研究了如下隨機(jī)微積分系統(tǒng)：

然后利用脈沖隨機(jī)系統(tǒng)的比較原理，得到了下列比較系統(tǒng)最后再利用微分不等式，獲得脈沖隨即微積分方程解的唯一性和穩(wěn)定性，并應(yīng)用所得解的穩(wěn)定性結(jié)果研究了其系統(tǒng)的脈沖鎮(zhèn)定問題。SaKthivel 和Luo 通過研究以下系統(tǒng)得到了帶有脈沖的非線性隨機(jī)微分方程解的穩(wěn)定性：

在脈沖隨機(jī)微分方程解的穩(wěn)定性的研究過程中，一般采用泛函微分系統(tǒng)的Lyapunov 泛函和Razumikhin 技巧。例如Cheng 等利用Lyapunov 泛函和Razumikhin 技巧，研究出了脈沖隨機(jī)微分方程的指數(shù)穩(wěn)定性以及漸近穩(wěn)定性。

最近幾年，許多學(xué)者開始研究對脈沖無窮時延遲微分方程、脈沖延遲積分方程、脈沖延遲混沌方程，雖然眾多學(xué)者在脈沖隨機(jī)系統(tǒng)方程解的穩(wěn)定性研究已經(jīng)取得了大量的成果，但由于時間較短，還有大量問題有待學(xué)者們研究解決。

2 帶有時滯脈沖的隨機(jī)泛函微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

2.1 預(yù)備知識

本文研究時滯性隨機(jī)微分系統(tǒng)：

令PC（[-τ，0]；Rn）表示逐段右連續(xù)函數(shù)φ∈[-τ，0]→Rn的集合，令‖φ‖=sup-τ≤s≤0｜φ（s）｜，則{PC（[-τ，0]；Rn），‖φ‖｝表示線性賦范空間，且sup-τ≤θ≤0E ｜φ（θ）｜＜∞，其中，E 表示對于給定的概率預(yù)測度P 的數(shù)學(xué)期望。

2.2 主要結(jié)果

系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一般采用Razumikhin 技巧和Lyapunov函數(shù)來建立系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

定理：若存在一函數(shù)a ∈VK，b ∈CK，V ∈ν0和一正常數(shù)p 使得

證明結(jié)束。

3 結(jié)束語

在很多情況下，脈沖延遲微分方程與隨機(jī)延遲微分方程是難于得到解的顯式表達(dá)式的。有時候需要對脈沖延遲微分方程或隨機(jī)延遲微分方程進(jìn)行數(shù)值模擬或者需要定量研究，這就需要相應(yīng)的數(shù)值方法。對脈沖微分方程數(shù)值方法的研究，目前只有少量的工作，并且都只是考慮了無延遲的情況。

本文討論了一類隨機(jī)延時脈沖微積分系統(tǒng)的階矩穩(wěn)定性，利用一些不等式及其他脈沖微分不等式的性質(zhì)，采用Razumikhin 技巧和構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)的方法得出其系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件，研究出其穩(wěn)定性，雖然脈沖延遲微分方程理論近些年來已經(jīng)得到了充分的發(fā)展，但還有許多問題等待我們研究。