加性和乘性三值噪聲激勵下周期勢系統的動力學分析1)

靳艷飛 王賀強

(北京理工大學力學系,北京 100081)

引言

隨機共振的概念是Benzi 等[1]在研究第四紀全球冰川期問題時提出的,揭示了噪聲對非線性系統的動力學行為起到的積極有序的建設性作用的一面.近40 年來,隨機共振及其相關問題的研究在理論、實驗和應用方面都取得了豐碩成果[2-6].然而,這些研究成果大多集中在經典的雙穩系統和閾值系統,對于復雜非線性多穩態系統中噪聲誘導共振的研究較少.許多實際的工程系統、電子電路、超導器件、控制器等,其基本的模型都是基于周期勢系統建立的,比如:生物馬達中的棘齒模型[7]、物理領域的約瑟夫森結[8-9]、工程力學中的單擺模型[10]等.因此,周期勢系統中噪聲誘導的共振研究成為非線性動力學關注的熱點[11-23].Fronzon 和Mannella[11]研究了傾斜的周期勢系統中由噪聲激勵的布朗粒子的傳輸問題,并搭建了鎖相環電路模型進行實驗驗證.Dan 等[13]從理論上研究了非均勻介質中質點在過阻尼周期勢系統中的運動,取適當相位差時,質點的運輸會隨著噪聲強度的變化達到隨機共振的效果.Zhang[14]在恒力加白噪聲驅動的欠阻尼單擺中研究了相干共振現象.Saikia 等[15-16]發現在驅動頻率接近最小勢阱的固有頻率時,欠阻尼的周期勢系統中存在隨機共振現象,并把平均輸入能量作為新的指標量引入到隨機共振的研究中,發現兩個穩定的動力學狀態和隨機共振的產生主要取決于系統的阻尼比和外激勵的振幅.Jin 等[17-19]研究了不同噪聲激勵下周期勢系統中的相干共振和隨機共振現象,并探討了有色噪聲對系統響應和隨機共振的影響.謝勇和陳若男[21]在弱周期信號極限下,利用Floquet 理論和非擾動展開法給出了一種非線性響應意義上的矩方法,對周期信號和高斯白噪聲共同作用下過阻尼搓板勢系統的隨機共振進行了研究.Liu 和Kang[22]主要研究了非高斯列維噪聲對欠阻尼周期勢系統隨機共振的影響,發現噪聲參數對系統共振效應具有重要影響.Lou 等[23]研究了關聯噪聲激勵下單自由度周期勢系統的首次離出時間行為并討論了系統中發生的共振激活現象.上述研究結果主要針對白噪聲激勵下的過阻尼系統展開,對欠阻尼周期勢系統的研究較少.

噪聲廣泛存在于工程實際中[24-26],為了簡化計算,常常將寬帶或記憶時間很短的激勵用高斯白噪聲表示.但事實上,真正的白噪聲是不存在的,故實際問題中的隨機激勵需要用具有非零相關時間的噪聲來描述.三值噪聲是一種隨機電報噪聲,是真實噪聲的典型模型,能更好地描述自然界中的環境波動[27-29].三值噪聲包含了二值噪聲的情形,并且在一定極限條件下能退化為高斯白噪聲或者散粒白噪聲.特別地,生態系統中總存在隨機環境擾動,如,環境(氣溫、濕度、光照等)的變化、氣候變遷,這種擾動由于其多樣性通常以三值或多值噪聲形式表示.例如:在描述N 類種群的Lotka-Volterra 隨機系統中,需要考慮隨機環境對種群數量的容納能力的影響,該隨機環境激勵以三值噪聲來刻畫[29].近年來,針對二值噪聲作用下非線性系統的隨機共振研究取得了一些成果[30-35].如:Jin 等[30-31]研究了二值和三值噪聲激勵下捕食與被捕食模型的解矩穩定性,發現相比于高斯白噪聲,三值噪聲更利于提高系統解的穩定性.Xu 等[32-33]利用數值方法研究了非對稱二值噪聲作用下雙穩系統的隨機共振和隨機分岔,發現系統響應會呈現非對稱性,且加性二值噪聲的狀態和強度能夠誘導系統產生隨機分岔現象.Fulinski[34]研究了非馬爾可夫二值噪聲作用下系統中噪聲誘導的遷移和隨機共振現象.

本文研究了加性和乘性三值噪聲及外周期信號驅動下的欠阻尼周期勢系統的概率密度演化和隨機共振.通過數值方法得到了系統的瞬態概率密度和聯合穩態概率密度函數,分析了系統參數和噪聲對概率密度演化的影響.此外,利用系統平均輸入能量來刻畫隨機共振,討論了三值噪聲強度、噪聲轉遷率、外周期信號振幅等對隨機共振的影響.

1 系統的隨機響應

1.1 動力學模型

考慮乘性和加性三值噪聲及外周期力驅動下的欠阻尼周期勢系統,其動力學方程如下

其中,γ 為阻尼系數,勢函數U(x)=?sinx?bx,b是一個偏置常數,外周期力F(t)=F0cos(ω0t),這里F0和ω0分別是其振幅和頻率.ξ(t)和η(t)是兩個獨立的三值噪聲,它們的統計特性為

其中,噪聲自相關時間τi,噪聲強度Di(i=1,2).

對于三值噪聲(2),假設ξ(t)和η(t)分別取值為{?Ai,0,Ai} (i=1,2),從±Ai到0 的轉遷率為αi,其他態之間的轉遷率為βi.對于對稱的三值噪聲,αi=βi(i=1,2).則有轉遷概率滿足[29]

1.2 隨機響應

針對系統(1),分析系統參數對隨機響應的影響.在圖2 和圖3 中,固定噪聲強度D1=0.4,D2=0.2,b=0.2,ω0=π/4,α1=α2=10.通過數值方法對方程式(1)進行數值積分,所取的初值為x0∈[?π:π/50:π],0=0,對不同初始值得到的響應軌線進行平均,給出系統響應的時間歷程圖、穩態概率密度函數.從圖2 來看,當阻尼系數和外周期力振幅均較小時,系統響應在x=1.5 附近振蕩,即系統粒子僅在一個穩態勢阱內運動,其對應的穩態概率密度是單峰結構.在圖3 中,當F0增大到0.4 時,可以看到系統粒子開始在多個穩態之間躍遷,其對應的穩態概率密度是多峰結構.上述現象可以解釋為,對于固定的噪聲強度,通過增加外周期力的振幅能夠使系統在多個勢阱間做躍遷運動.

圖2 系統響應的時間歷程圖和穩態概率密度函數Fig.2 Time history and stationary probability density function of system(1)

圖3 系統響應的時間歷程圖和穩態概率密度函數Fig.3 Time history and stationary probability density function of system(1)

下面為了研究系統的聯合概率密度函數的演化,對方程(1)采用蒙特卡洛方法進行數值模擬,令D1=0.2,D2=0.1,系統的其他參數選取如上.在計算區域{(x,):(?20,20)×(?20,20)}和{(x,):(?2π,2π)×(?2π,2π)} 上分別取200×200 組初始值,每個初始值計算組樣例,計算系統平均穩態聯合概率密度函數[36-37]和瞬態概率密度函數.圖4 和圖5 顯示了平均穩態聯合概率密度函數在外周期力作用下的演變情況.在圖4 中,對于γ=0.1,一個周期內的平均穩態聯合概率密度具有多個高度基本相等的峰.隨著F0的增大,峰之間的躍遷更加頻繁,多個峰的高度逐漸變得不相等,且隨著x由?20 增大到20,峰值逐漸增大,即粒子由于F0的增加,有更大的幾率運動到離穩定點更遠的地方,見圖4(b).圖5 中固定γ=0.9,可以看出,此時的平均穩態聯合概率密度函數呈現3 個獨立的尖峰結構,說明隨著阻尼系數的增大,勢阱之間的躍遷運動變得困難,符合物理直觀.對比圖4 和圖5,可以發現阻尼系數和外周期力振幅的變化可以引起平均穩態聯合概率密度函數的形態發生拓撲結構的變化,這種現象類似于隨機P-分岔現象.圖6 顯示了在一個周期內的不同時刻,系統瞬態聯合概率密度函數在(x,y)平面內的投影,反映了聯合概率密度函數的演化過程.可以清晰地看出,概率密度函數峰的位置之間相互連接,其界限比較模糊,隨著時間的延長,概率密度函數峰的位置逐步演化成3個相互獨立的“吸引子”,顯示了瞬態概率密度函數在一個周期內的演化過程.

圖4 系統的平均穩態聯合概率密度函數(γ=0.1)Fig.4 Average stationary joint probability density function of system(1)(γ=0.1)

圖5 系統的平均穩態聯合概率密度函數(γ=0.9)Fig.5 Average stationary joint probability density function of system(1)(γ=0.9)

圖6 一個周期內不同時刻瞬態聯合概率密度函數在(x,y)平面的投影(γ=0.6,F0=1.4)Fig.6 Projection of transient joint probability density function at different moment(γ=0.6,F0=1.4)

圖6 一個周期內不同時刻瞬態聯合概率密度函數在(x,y)平面的投影(γ=0.6,F0=1.4)(續)Fig.6 Projection of transient joint probability density function at different moment(γ=0.6,F0=1.4)(continued)

2 隨機共振

在外周期力和三值噪聲共同作用下的周期勢系統(1)中,布朗粒子存在有序的運動和無序的熱運動,系統的隨機共振體現在周期力做功隨著噪聲強度變化所表現出的非單調上[38],該方法也稱為隨機能量法.

定義外周期力在一個周期T0=2π/ω0內對系統所做的功為

將不同初始位置下的所有外加周期力輸入能量式(4)進行平均,得到系統的平均輸入能量

其中N是計算的周期數.

根據方程式(1)、式(4)和式(5),圖7 ～圖11 分別討論了加性噪聲強度、加性噪聲轉遷率和乘性噪聲轉遷率對系統的平均輸入能量的影響.在數值計算中,取γ=0.3,ω0=π/4,N=2000.圖7 和圖8 描述了系統分別在加性噪聲激勵、加性和乘性噪聲共同激勵下,隨加性三值噪聲強度D1的變化規律.在圖7中,當F0分別取0.1,0.2,0.3 時,隨D1的增大呈現非單調變化,有共振峰出現,即出現隨機共振.隨著F0的進一步增大,隨D1的增大出現單調遞減變化,此時隨機共振消失.類似地,在圖8 中固定F0=0.3,系統(1)在乘性和加性噪聲共同作用下,隨D1的增加出現共振峰,但是和最優的D1的值較圖7 變小.總之,當噪聲強度和外周期力振幅取適當值時,系統(1)會出現隨機共振現象.

圖7 僅在加性噪聲激勵下,系統的平均輸入能量隨強度D1的變化(α1=0.5,A2=α2=0.0)Fig.7 Average input energy as a function of intensity D1for the case of additive noise excitation(α1=0.5,A2=α2=0.0)

圖8 在加性和乘性噪聲共同激勵下,系統的平均輸入能量隨強度D1的變化(α1=α2=0.5,A2=2.5)Fig.8 Average input energy as a function of intensity D1for the case of both additive and multiplicative noise excitations(α1=α2=0.5,A2=2.5)

圖9 僅在加性噪聲激勵下,系統的平均輸入能量隨加性噪聲轉遷率α1的變化(A1=0.3,A2=α2=0.0)Fig.9 Average input energy as a function of transition rate of additive noise for the case of additive noise excitation(A1=0.3,A2=α2=0.0)

圖10 僅在乘性噪聲激勵下,系統的平均輸入能量隨乘性噪聲轉遷率α2的變化(A2=3.0,A1=α1=0.0)Fig.10 Average input energy as a function of transition rate of multiplicative noise for the case of multiplicative noise excitation(A2=3.0,A1=α1=0.0)

圖11 在加性和乘性噪聲共同激勵下,系統的平均輸入能量隨加性噪聲轉遷率α1的變化(A1=3.0,α2=0.5,A2=2.5)Fig.11 Average input energy as a function of transition rate of additive noise α1for the case of both additive and multiplicative noise excitations(A1=3.0,α2=0.5,A2=2.5)

3 結論

本文主要研究了由加性和乘性三值噪聲激勵下,二階欠阻尼周期勢系統中的非線性隨機動力學.通過計算系統的聯合穩態概率密度函數和瞬態概率密度函數,討論了系統參數和外周期力振幅對聯合概率密度函數的影響,顯示了瞬態概率密度函數在一個周期內的演化過程.利用隨機能量法研究了周期力和噪聲對系統的平均輸入能量的影響,揭示了系統的隨機共振現象,發現存在適當的噪聲強度和外周期力振幅使得平均輸入能量曲線存在極大值,導致系統出現隨機共振現象.在平均輸入能量隨加性噪聲轉遷率的變化規律中發現當周期力幅值較小時,出現了抑制共振的現象;平均輸入能量隨乘性噪聲轉遷率的變化中也出現了隨機共振現象,但相比于加性噪聲轉遷率,未見抑制共振現象,說明乘性三值噪聲和加性三值噪聲對系統隨機共振的影響是不同的.