結構化視角下數學思想的滲透*

張晞

摘 要 數學思想是數學的靈魂，也是數學知識的一部分。基于結構化學習視角，從發現挖掘、自我建構、循環上升和整體孕育四個方面通過問題引領，探尋數學思想的滲透策略，進而在結構化學習中有效滲透數學思想方法，提升學生的數學學科素養。

關鍵詞 結構化視角 數學思想

《義務教育數學課程標準（2011版）》（下稱《標準》）指出：“數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。”在小學數學教學中，每一個知識點的背后，或者說每一種解題方法、策略教學的背后，都蘊含著相關的數學思想與之聯系。在實際教學中，教師或多或少都能關注到數學思想的滲透，但對數學知識背后蘊含的數學思想的認識多數只停留在淺層次上。數學思想方法的教學應該是一個通過長期的滲透才能夠形成的思想和方法的過程[1]。如何把數學知識的學習和數學思想的滲透有機結合起來，促進學生對數學知識內容的理解，并幫助他們形成數學思想方法，已成為教師普遍關注的熱點。

一、數學思想要在結構化教材解讀中發現挖掘

結構化學習認為良好的知識結構是學生獲得數學思想方法的基礎。《標準》把數學思想方法與知識技能同等地位地呈現出來，我們備課時應基于結構化視角對教材進行追問：本課知識點從哪里來到哪里去？重難點是什么？要解決的核心問題是什么？需要培養哪些學習能力？可以用哪些動詞來描述本節課的數學思想方法？通過問題探討幫助教師弄清楚數學本質，使得有關數學思想方法的教學目標落到實處。

以蘇教版《數學》五年級下冊“因數和倍數”這一課為例，其教學重點是讓學生認識并理解因數和倍數的概念，學會找一個數的因數和倍數，突出有序思考和對自然數相互關系的新理解。教材通過用12個小正方形拼成一個大長方形的直觀操作，借助整除的模式ma=b引出因數和倍數的概念。在具體的活動過程中借助每排的個數、排數和總個數之間的關系，讓學生感受到每排的個數和排數這兩個數量的變化過程，以及它們的對應關系。備課時，我們不僅要看到本課的教學內容遠非這幾個靜態的拼成的長方形，還要深入挖掘其豐富的內涵，要組織學生進行觀察、操作、演示、語言表達、畫圖、書寫、符號表征、思考等多種活動，讓學生在已有經驗的基礎上，逐步認識因數和倍數的概念，同時感悟不同的數學思想。在這個過程中，讓學生經歷從直觀的動手拼、動手寫中抽象出什么是一個數的因數、什么是一個數的倍數的抽象思想和數形結合思想;認識用除法成對的方法找因數、用乘法找倍數的有序思想、對應思想及函數思想;知道怎樣找一個數的因數、倍數快而全的優化思想;感受一個數的因數的個數是有限的，一個數的倍數的個數是無限的極限思想等等，這些數學思想共融于本節課的知識學習中，且彼此包容。在眾多豐富的數學思想方法中有些是一般的、普遍的，還有些是本課特有的。其中數形結合、有序思考、對應思想等等是從一年級就滲透教學的，我們應不著痕跡地進行，比如函數思想，還有些是本課重點滲透的，我們要著力進行。

二、數學思想要在結構化問學活動中自主建構

小學數學結構化學習著眼于現實世界的意義建構，從數學外部世界中的相關數學元素的提取進入數學內部的加工，成為一個整體結構的建構[2]。在結構化學習中，離開數學活動，思想方法的建構就無從談起。只有在教師引領下，組織學生積極參與教學過程，觸發新知學習的頓悟，學生才能逐步領悟、形成、掌握數學思想方法。活動引領的知識整體建構的同時可以促發學生數學思想方法的自主建構。

數學知識有一定的序結構，數學思想的滲透同樣有它的序結構。知識和思想方法的學習過程一定是學習者自我建構、感悟積累的過程，它經由一個量變到質變的過程。頓悟是結構化學習中不可跨越的一步，也是數學思想形成的重要節點。作為教師，要把握新知探究建構的生長點，每個結構之間的關聯點都要實現頓悟，數學學習才有可能真正發生。比如教師在“因數和倍數”教學中，組織兩次問題探究活動，為學生充分經歷學習過程提供活動機會。第一次，組織學生“用12個小正方形拼成一個大長方形，并用一道算式表示自己的拼法”，讓學生在動手操作的過程中感受到12個小正方形的個數即拼成的長方形大小是一個不變的量，拼成的長方形長邊變化了，寬邊也跟著變化，在變與不變的過程中體會感悟有序的方法和函數思想，同時也為下面根據乘法算式和除法算式成對有序地找一個數的因數作鋪墊。讓學生在探究討論中進一步建構兩者相互依存的關系，建立對因數和倍數概念的數學模型。在建模過程中教師有意引領和學生無意感悟促進他們對函數思想、對應思想和模型思想的感悟。第二次，通過問題引領，讓學生獨立記錄36所有的因數，并在小組里說一說“你是怎么找的？”然后集中展示典型的三種記錄方法，組織對比觀察，討論：“你有什么想說的？”學生通過小組討論發現，找36的因數如果能有序、不重復、不遺漏是最好的。這時再追問：“怎么樣做到呢？”這一問激起千層浪，輕松獲得找一個數因數的方法。因為給予學生經歷找一個數因數的方法的過程，并在比較中自主感悟和發現有序思考、成對去找的好處，使學生在找因數方法不斷優化的過程中感悟有序思考、一一對應的價值，從而建立找一個數因數的思想方法，使得有序思想、函數思想、模型思想的滲透得以自然、自主地生長。這個從無序到有序，由零散重復到不重復不遺漏這個過程正是學生自主建構數學思想方法的極好機會。

三、數學思想要在結構化應用反思中循環上升

根據認知心理學的研究，數學思想的學習應規避“功能固著”，數學新知學習后的結構化練習是數學學習形成素養的重要組成部分，這里通過問題引領的練習反思和感悟既是對數學知識、技能的鞏固，也是數學思想滲透提升的重要途徑[3]。

1.在仿例變式中鞏固循環

“因數和倍數”的新知學習后，教師設計“找一找”的數學活動，“你能找出下面各數的因數嗎？”通過問題引領仿例和變式練習，找出24的所有因數，鞏固找一個數因數的方法。找后面三個數的因數則是變式練習，是形成數學思想方法更加充實的課程資源，具有一定的挑戰性。當方框或字母不確定時，因數也是不確定的，但有些因數是肯定的，比如1和這個數本身一定是這個數的因數等等。突出在變式練習中感悟學習內容的實質，讓學生體會從變化中感悟數學思想不變的真諦。這樣的變式練習不僅鞏固了新學的因數的相關知識，而且把握了因數概念的本質。

2.在解決問題中鞏固循環

上面兩題既是鞏固知識，形成技能，更重要的是突出用表格的形式來體現變與不變的數學思想，更直觀地反映排數、每排的人數，以及乘坐人數和應付元數等兩個變量之間的數量關系。應用反思是結構化練習功能循環提升的一種策略，也是數學思想方法形成提升的策略，當學生把表格填寫完整后，教師追問：“為什么每排人數和排數都是24的因數？為什么應付的元數都是4的倍數？”通過這一思維過程，幫助學生進一步結構化理解因數和倍數的含義，鞏固有序思想、對應思想、函數思想和模型思想。

每一次探究、練習和反思都是數學思想方法學習的極好機會，在課堂上我們要適時對數學知識形成過程中的各個環節進行反思，加深對概念內涵的理解和數學思想的感悟。

四、數學思想要在結構化學習遷移中整體孕育

小學階段數學思想的滲透，不是一兩節課能達到的，要結合不同階段、不同內容的知識學習，有意識地反復孕育同一種數學思想，這一過程一定是螺旋式上升，需要經歷較長時間的認識和理解，切忌操之過急[4]。數學思想通過滲透點的理解發現、關聯點的觸發頓悟、融合點的遷移反思，體驗螺旋提升，逐步引發學生對數學思想的感悟和思考，當經驗和感悟積累到一定程度時，數學思想就能達到一種呼之欲出的境界。

雖然，數學思想方法教學比數學知識教學有難度，但仍然是有規律可循的，數學思想方法的形成一定是經過多次孕育、初步理解、簡單應用的過程。“因數和倍數”這節課的重點是有序思考和對自然數相互關系的新理解。有序的數思想方法，從一年級第一節課“數一數”就開始孕育，其間“認數”“認識圖形”“認識乘除法”“解決問題”等新知學習過程中，不斷滲透有序思想方法，經過各年級反復孕育，現在學習探索一個數的因數和倍數的方法做到有序，可以說是水到渠成。再如，抽象概括不是一節課就能學會的，學生解決問題或多或少帶有一些“試誤”的可能，有些雖然解決了問題，但對問題解決的思路、方法乃至結果的正確性沒有把握，因此，在解決問題的過程中學會反思是非常重要的。在學生已有認知中對自然數之間的關系以及對“因數”和“倍數”的名詞并不陌生，相差關系、倍比關系是他們所熟知的自然數之間的關系。學生已經知道的“因數”可能是乘法算式中的乘數，已經知道的倍數也可能是受到“倍”的影響，在學生已有認知中因數和倍數是兩個獨立的概念。但“彼因數非此因數”“彼倍數非此倍數”。在教學中，創設相關的問題情境，學生基于自己的認知經驗會對與自己認知產生沖突的兩個概念提出質疑：“這里的因數和以前學的因數是否一樣？這些倍數和今天學的倍數一樣嗎？”課堂從關聯點出發，在關鍵處慢下來，提出質疑，進行辨析，整體建立對數學概念本質的理解，進而促進學生學會抽象概括的思想方法。

參考文獻

[1] 王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014.

[2] 吳玉國.走向深度學習的小學數學結構化學習[J].江蘇教育，2017（09）：67-68.

[3] 鐘啟泉.讀懂課堂[M].上海：華東師范大學出版社，2015.

[4] 李光樹.小學數學學習論[M].北京：人民教育出版社，2014.

[責任編輯：陳國慶]