一種高效魯棒的低階迭代通量線方法求解高壓直流輸電線路離子流場

張建功 萬保權(quán) 程啟問 鄒 軍

一種高效魯棒的低階迭代通量線方法求解高壓直流輸電線路離子流場

張建功1萬保權(quán)1程啟問2鄒 軍2

（1. 中國電力科學(xué)研究院有限公司電網(wǎng)環(huán)境保護國家重點實驗室 武漢 430074 2. 電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點實驗室（清華大學(xué)電機系） 北京 100084）

迭代通量線方法是一種被廣泛應(yīng)用于求解高壓直流輸電線路下離子流問題的方法，在每根流線上需要求解一個多變量的最小二乘優(yōu)化問題。該文從迭代通量線方法出發(fā)，結(jié)合遞推格式將每根流線上問題簡化為單變量優(yōu)化問題，從而使得通量線方法的計算規(guī)模被大大減小。實驗表明，該文所提方法能夠有效提高求解效率和在不同初值下的魯棒性。該文提出的低階迭代通量線方法能夠有效應(yīng)用于具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的離子流模型。

離子流 合成電場 高壓直流輸電線路 迭代通量線法

0 引言

電暈放電是一種極不均勻場中的自持放電現(xiàn)象，當(dāng)局部電場超過起暈電場時，電極附近空氣將發(fā)生電離，形成電暈。對電暈放電現(xiàn)象進行建模時，考慮到光電子的運動速度遠大于正負離子，因此將全空間分解為環(huán)繞電極的一層電離區(qū)以及電離區(qū)以外的傳導(dǎo)區(qū)分別建模。將電離區(qū)內(nèi)復(fù)雜的復(fù)合、吸附、電離等物理過程的模型稱為電暈流體模型；在此基礎(chǔ)上將電離層完全忽略，僅考慮傳導(dǎo)區(qū)內(nèi)正負離子在電場作用下作定向移動的簡化模型稱為離子流模型[1]。離子流模型在高壓直流輸電線路的電磁環(huán)境仿真中得到廣泛應(yīng)用[2-6]。

離子流模型對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式為泊松方程-連續(xù)性方程耦合系統(tǒng)，其中連續(xù)性方程描述了空間離子流分布，而泊松方程描述了空間電荷與導(dǎo)線產(chǎn)生的合成電場分布。整個計算區(qū)域內(nèi)外邊界上電位分布以及Kapzov假設(shè)為泊松方程-連續(xù)性方程耦合系統(tǒng)提供了必要的定解條件。

通量線方法是一種被廣泛用于求解合成電場和空間離子流分布的方法，該方法最開始被用于求解經(jīng)Deutsch假設(shè)簡化后的一維問題。在此基礎(chǔ)上，提出一種消除Deustch假設(shè)的迭代通量線方法，該方法通過迭代修正通量線方向，逐步移除Deustch假設(shè)帶來的影響[7-8]。通量線方法可以分為兩類：①M. P. Sarma等提出的積分方程方法[9-10]；②喬驥等提出的有限差分方法[11-12]。本文從基于有限差分的迭代通量線方法出發(fā)，將待求解的常微分方程組離散為差分方程組，利用非線性最小二乘優(yōu)化算法搜索滿足邊界條件并使得差分方程組殘差最小的解。這種方法具有較好的普適性，同時適用于單極性和雙極性模型。由于待優(yōu)化變量個數(shù)正比于差分節(jié)點數(shù)，隨著差值節(jié)點增多，相應(yīng)的計算時長將顯著增加；同時多變量優(yōu)化問題對初值敏感，求解過程中容易失穩(wěn)。本文從基于有限差分的通量線方法出發(fā)，結(jié)合遞推格式，將多變量優(yōu)化問題簡化成單變量優(yōu)化問題，從而提升原方法的效率和魯棒性。

1 離子流模型

高壓直流輸電線路下的離子流模型基于如下三個基本假設(shè)[13]：

（1）電離層對傳導(dǎo)區(qū)的影響忽略不計。

（2）離子的擴散效應(yīng)忽略不記。

（3）離子遷移率恒為一個常數(shù)。

傳導(dǎo)區(qū)內(nèi)空間電荷分布和電場分布對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型[14]為

2 低階通量線方法

2.1 一維離子流計算模型

Deutsch假設(shè)認為空間電場強度和標稱電場具有相同的方向，即

式中，為標稱電場矢量。標稱場滿足Poisson方程為

根據(jù)通量線起點和終點的位置，需要施加不同的邊界條件，具體如下：

（1）起始于正極性導(dǎo)線，終止于負極性導(dǎo)線的通量線上邊界條件式（5）、式（6）簡化為

（2）起始于正極性導(dǎo)線，終止于地面的通量線上邊界條件式（5）、式（6）簡化為

（3）起始于地面，終止于負極性導(dǎo)線的通量線上邊界條件式（5）、式（6）簡化為

從上述邊界條件可以看到，在起點或終點位于地面的通量線上，只需要考慮一種極性的空間電荷，稱這樣的模型為單極性模型；在起點和終點同時位于正負極導(dǎo)線表面的通量線上，則需要考慮兩種極性的空間電荷，這樣的模型被稱為雙極性模型。接下來將分別介紹如何處理這兩類問題的方法。

2.2 單極性模型

采用Crank-Nicolson差分格式將方程式（10）離散為代數(shù)方程組為

2.2.1 傳統(tǒng)迭代通量線方法

文獻[7]中提出的迭代通量線方法處理單極性模型的具體步驟如下。

根據(jù)差分方程組式（16）可定義長度為3(1)的殘差序列為

邊界條件式（13）也改寫成殘差形式為

2.2.2 低階通量線方法

將差分方程式（16）改寫為遞推格式為

其中，各個系數(shù)的具體表達式如下

式中，F為標稱電場矢量在第個節(jié)點處的幅值。

2.3 雙極性模型

雙極性模型指的是同時存在正極性和負極性空間電荷的離子流模型。采用Crank-Nicolson差分格式將常微分方程組式（10）離散為代數(shù)方程組，有

2.3.1 傳統(tǒng)迭代通量線方法

文獻[7]中提出的迭代通量線方法處理雙極性模型的方式和單極性類似：差分方程組式（22）對應(yīng)著4-4項殘差，邊界條件式（12）對應(yīng)著另外4項殘差。在流線上的邊值問題被轉(zhuǎn)化為4個變量的最小二乘優(yōu)化問題[11]。

2.3.2 低階通量線方法

雙極性模型與單極性模型的不同在于流線上同時出現(xiàn)正負電荷，同時還需要考慮正負電荷相互復(fù)合。本文結(jié)合不動點迭代，在求解過程中將這兩種電荷完全解耦：迭代過程中，每一步固定一種極性電荷，將原問題簡化為單極性問題處理。具體流程如下：

重復(fù)上述兩個步驟，直到最終計算結(jié)果收斂。

2.4 對比與分析

改進后迭代通量線方法的基本計算流程如圖2所示。

圖2 迭代通量線方法計算流程

和文獻[7]提出的傳統(tǒng)迭代通量線方法相比，本文方法主要改進“單極性模型求解”和“雙極性模型求解”這兩個環(huán)節(jié)。文獻[7]中方法在處理單根通量線上的邊值問題時，同時求解全部差值節(jié)點上的未知量：單極性模型對應(yīng)3個未知量的最小二乘優(yōu)化問題，雙極性模型對應(yīng)4個未知量的最小二乘優(yōu)化問題。隨著差分節(jié)點數(shù)增加，計算時間會顯著增長；同時作為多目標優(yōu)化問題，對初值敏感，為使迭代穩(wěn)定快速收斂，傳統(tǒng)的迭代通量線方法需要估計沿線電荷密度，并以此作為迭代初值[16]。相較而言，本文方法利用遞推公式使未知量簡化為流入邊界處的電荷密度：這樣單極性模型被轉(zhuǎn)化為一個單變量的優(yōu)化問題；雙極性模型則被轉(zhuǎn)化為一個雙變量優(yōu)化問題。本文方法有效地減小了優(yōu)化問題規(guī)模，未知數(shù)個數(shù)從34減小為1；同時算法的魯棒性也得到顯著提升，在不同的初值選取下都可以取得較好的收斂效果。

3 數(shù)值驗證

3.1 雙極性單分裂模型

在圖3所示的±300kV高壓直流輸電線路模型中分別選取兩條通量線：一條起始于正極導(dǎo)線，終止于負極導(dǎo)線；另一條起始于正極導(dǎo)線，終止于地面。這兩條通量線分別對應(yīng)雙極性模型和僅考慮正極性空間電荷的單極性模型。

圖3 ±300kV高壓直流輸電線路結(jié)構(gòu)

表1中比較了在不同差分點數(shù)下兩種方法得到的正極性導(dǎo)線表面的電荷密度。可以看到，在單極性模型中，不同差分點數(shù)下文獻[7]方法和本文提出的方法得到的結(jié)果完全相同。

圖4 單極性模型下文獻[7]方法和低階通量線方法計算時間對比

表1 單極性模型下文獻[7]方法和低階通量線方法正極性導(dǎo)線表面電荷密度對比

Tab.1 Comparison of the ion density on the conductor surface between the existing method of Ref.[7] and the proposed low-order flux tracing method under the unipolar model

表2中分別對比了不同方法得到的雙極性模型中正極性導(dǎo)線表面的正電荷密度和負極性導(dǎo)線表面的負電荷密度。由于引入了不動點迭代，在沿線的差分點數(shù)為40時，兩種方法得到的電荷密度存在3%的相對誤差，然而隨著點數(shù)增加，電荷密度趨于穩(wěn)定，兩種方法獲得的結(jié)果差別越來越小，點數(shù)為160時，相對誤差小于0.5%，即本文提出的低階方法具有和文獻[7]方法相同的精度。

圖5 雙極性模型下文獻[7]方法和低階通量線方法計算時間對比

表2 雙極性模型下文獻[7]方法和低階通量線方法導(dǎo)線表面正負電荷密度對比

Tab.2 Comparison of the positive and negative ion density on the conductor surface between the existing method of Ref.[7] and the proposed low-order flux tracing method under the bipolar model

3.2 雙極性六分裂模型

本節(jié)在幾何結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的±800kV六分裂高壓直流輸電線路模型中對比了低階通量線方法和傳統(tǒng)通量線方法，線路幾何參數(shù)參見文獻[17]。每根子導(dǎo)線表面等間距繪制16根流線，每根流線上差分點數(shù)為300。外循環(huán)迭代兩次后計算結(jié)果趨于穩(wěn)定，文獻[7]方法耗時4 200s，而本文提出的低階方法耗時620s，僅為傳統(tǒng)方法的14.76%。

圖6和圖7分別比較了兩種方法得到的地面上場量和實際測量結(jié)果[17]。可以看到，文獻[7]方法和低階方法得到的地面上電場強度和離子流密度完全相同，且和測量結(jié)果吻合性良好，即驗證本文方法在具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)模型下的正確性。

圖6 ±800kV高壓直流輸電線路地面電場強度對比

圖7 ±800kV高壓直流輸電線路地面離子流密度對比

4 結(jié)論

本文提出一種基于遞推格式的低階通量線方法用于計算高壓直流輸電線路空間離子流場及合成電場，將傳統(tǒng)方法中涉及34個未知數(shù)的優(yōu)化問題簡化為單變量優(yōu)化問題，顯著減小問題規(guī)模，進而提高計算效率，同時使得問題對初值的魯棒性大大提升。本文方法使得低階通量線方法在具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的模型中的應(yīng)用成為可能。

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An Efficient and Robust Low-Order Iterative Flux Tracing Method for Calculating Ion Flow Field of HVDC Transmission Lines

1122

（1.State Key Laboratory of Power Grid Environmental Protection China Electric Power Research Institue Wuhan 430074 China 2. State Key Lab of Control and Simulation of Power Systems and Generation Equipment Department of Electrical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China）

The flux tracing method is widely applied to solve the ion-flow field problem of the HVDC transmission line model, which transforms the original boundary value problem into the least square problem along the flux line. In this paper, an improved flux tracing method is proposed. The multi-objective optimization problem in the original method has been simplified to a single-objective optimization problem by applying the recursion scheme. Numerical experiments show that the proposed method has significantly improved the efficient and stability, which can be effectively applied to ion-flow models with complex geometry structures.

Ion-flow field, total electric field, HVDC transmission lines, iterative flux tracing method

TM15

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200081

國家自然科學(xué)基金（52077111）和電網(wǎng)環(huán)境保護國家重點實驗室開放基金（GYW51201901089）資助項目。

2020-01-20

2020-05-05

張建功 男，1975年生，高級工程師，主要研究方向為電力系統(tǒng)電磁兼容和電磁環(huán)境。E-mail: zhangjiangong@epri.sgcc.com.cn

鄒 軍 男，1971年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為電磁場理論及應(yīng)用。E-mail: zoujun@tsinghua.edu.cn（通信作者）

（編輯 陳 誠）