三維Helmholtz 類方程柯西問題的一種基于修正核的數值解

何尚琴 馮秀芳?

(1. 北方民族大學數學與信息科學學院，銀川 750021; 2. 寧夏大學數學統計學院，銀川 750021)

0 引言

近幾十年來，偏微分方程不適定問題的研究受到越來越多的關注，歸因于受其他學科和眾多工程技術領域的廣泛應用所驅動。例如，腦電圖影像、電阻抗斷層、光斷層掃描、煉鋼爐中腐蝕面的估計等方面的應用[1]。求解不適定問題的普遍方法是：用一族與原不適定問題相“鄰近”的適定問題的解去逼近原問題的解，這種方法稱為正則化方法。如何建立有效的正則化方法是反問題領域中不適定問題研究的重要內容。通常的正則化方法有基于變分原理的Tikhonov 正則化方法、各種迭代方法以及其它的一些正則化方法和改進方法，這些方法都是求解不適定問題的有效方法，在各類反問題的研究中被廣泛運用，并得到深入研究[2]。

對于正波數的Helmholtz 方程△u+k2u=0, k ＞0 的數值解已有許多研究方法和成果[3]。純虛波數的Helmholtz 方程△u-k2u= 0, k ＞0 稱為修正的Helmholtz 方程(又稱Yukawa 方程)，通常出現在半隱式時間離散的熱方程中，也用來描述波的彌散、擴散問題等物理現象，國內外已有許多研究結果[4–5]。修正的Helmholtz 方程問題是一類嚴重的不適定問題[6]。針對此類方程Cauchy 問題的求解，目前有BEM 法[7]、Fourier 正則化方法[8]以及截斷法[9]等方法。

軟化方法也是求解不適定問題的一種方法，此方法用來求解不適定問題的關鍵是構造軟化算子，很多利用軟化法解決柯西問題的研究都是利用選定的核函數和測量數據做卷積，把不適定問題轉化為適定問題進而求解。但是核函數的選取并不唯一，每一類核函數都有其自身的優勢和特點。Manselli 和Miller[10]以及Murio[11–12]用Weierstrass 核來構造軟化算子解決了熱傳導方程的一些不適定問題。H`ao[13]分別用de la Vall′ee Poussin 核與Dirichlet 核構造軟化算子解決了一些經典的不適定問題。Murio 在文獻[14]中用Gaussian 核構造軟化算子解決了數值微分和逆熱傳導問題。文獻[15–17]也用Gaussian 核研究了幾類橢圓方程的柯西問題。文獻[18]利用修正核的方法研究了二維熱傳導方程的柯西問題。本文受文獻[18]啟發，研究修正的Helmholtz 方程的柯西問題。在原有柯西問題解的基礎上，構造修正算子，將不適定問題轉化為適定問題。并在正則參數的選取之下得到了逼近解和精確解之間的L2-誤差估計和Hs-誤差估計。最后用數值算例驗證了所提出方法的有效性和穩定性。

本文考慮如下的Cauchy 問題

1 問題不適定性分析

設?φ(w,η,z)表示函數φ(x,y,z)關于變量r=(x,y)∈R2的Fourier 變換[13]

2 修正算子及正則化解

3 誤差估計

3.1 L2-估計

3.2 Hs-估計

引入比(2)、(3)式更強的先驗界

4 數值實驗

上節從理論上證明了修正核方法的收斂性和穩定性(在合適的正則參數選取下)。下面將用數值算例加以驗證理論結果。所有計算在Matlab 2017b 中實現。數值例子中，考慮離散區間[-10,10]×[-10,10]，為了產生測量數據fδ(x,y)，方差為?正態分布的隨機擾動被加到數據f上，即

為了檢驗所給出算法的穩定性和有效性，檢驗了波數k，固定位置z以及噪音擾動δ取不同值時對應精確解與正則逼近解之間的相對誤差。表1 和表2 分別列出了z=0.2 和z=0.8，波數k=0.5 與k=10 時，不同噪音擾動對應的正則解和精確解之間的相對誤差。表3 和表4 列出了邊界z= 1 處p分別取p= 3 和p= 12 對應波數k= 0.5, k=10 時不同δ對應的正則解和精確解之間的相對誤差。

表1 z =0.2 時不同δ 和波數下的相對誤差

表2 z =0.8 時不同δ 和波數下的相對誤差

表3 z =1, p=3 時不同δ 和波數下的相對誤差

表4 z =1, p=12 時不同δ 和波數下的相對誤差

圖1 和圖2 分別給出了在z= 0.3 處k= 1, δ= 10-4和k= 20, δ= 10-4的比較圖。圖3 展示了圖1 和圖2 對應下精確解與逼近解之間的誤差。圖4 和圖5 分別展示了邊界z= 1 處，δ= 10-10當k= 6, p= 3 和k= 6, p= 25 時精確解和逼近解比較圖。圖6 為圖4 和圖5 中精確解與近似解之間的誤差。

圖1 當k =1, z =0.3, δ =10-4 時，對應的精確解和近似解

圖2 當k =20, z =0.3, δ =10-4 時，對應的精確解和近似解

圖3 精確解與逼近解之間的誤差

圖4 當k =6, p=3, δ =10-10 時，邊界z =1 處的精確解和逼近解

圖5 當k =6, p=25, δ =10-10 時，邊界z =1 處的精確解和逼近解

圖6 邊界z =1 處精確解與逼近解之間的誤差

由表1 至表4 以及圖1 至圖6 可知，精確解與逼近解之間的逼近度，不僅與波數k有關還與噪音擾動δ有關。特別是邊界處，由于先驗界由Sobolev 范數決定，所以在邊界處精確解與逼近解之間的逼近程度除了與波數k，噪音擾動δ有關，還與p有關。總體來說，δ越小，逼近效果越好。也就是說，隨著δ的減小，數值解越來越穩定。因此，本文所采用的修正核方法對于處理Helmholtz 類方程柯西問題是非常有效并且穩定的。

5 結論

本文考慮修正的Helmholtz 方程的Cauchy 問題。通過將原有精確解的核進行修正，得到正則近似解，用其逼近原問題的精確解。采用先驗選取規則計算正則參數，得到了正則近似解與精確解之間的L2-型和Hs-型誤差估計。數值算例驗證了所采用軟化正則化方法的有效性和穩定性。關于三維Helmholtz 方程的Cauchy 問題，亦可用本文方法解決，我們將在另文中給出。