基于嶺估計的GPS高程擬合方法研究
——以華北理工大學曹妃甸校區為例

韋子豪，楊久東

(華北理工大學 礦業工程學院，河北 唐山 063210)

在GPS測量工作中，得到的大地高應借助似大地水準面轉換為實際工作中要求的正常高[1]。一般當測量區域地勢比較平緩、范圍比較小時，一般采用多項式曲面擬合的模型來計算水準，因其計算較為簡單且可以滿足精度的要求。由于實際大地水準面具有復雜的特性，所以在擬合時需要更多的參數，而參數的增加可能會導致擬合系數出現嚴重的復重共線性問題，即設計矩陣病態。例如已知點布局合適，其中涉及到轉化點，則擬合精度基本可以達到相應要求；若超過已知點的范疇，則擬合結果無法達到要求。在以往運用的二次曲面法進行高程擬合中，如高程異常擬合[2]，則存在法方程病態的問題。嶺估計是引入一個偏參數來減小由復共線性引起的估量誤差，可以用來解決設計矩陣病態的問題。該研究將嶺估計的方法應用到傳統二次曲面法的高程擬合模型中，利用MATLAB結合實測數據，驗證嶺估計法用于GPS高程擬合的可行性以及求解的穩定性與有效性。

1二次曲面模型

在GPS測量中產生的大地高屬于WGS-84坐標[3]，不過正常高則借助似大地水準面作為高程的運算基礎，具體聯系為：

H=Hr+ζ

(1)

其中：H代表大地高，Hr代表正常高，ζ代表高程異常。圖1所示為收集GPS點內高程面的異常數據，應該把大地高調整成正常高，參考完成水準評估的GPS點，結合運算產生的高程異常值，將似大地水準面擬合建立為可知的數學曲面[4]。

圖1 大地高及正常高示意圖

當測量區域地勢比較平緩、范圍比較小時，常見的是使用二次曲面模型來表示測區高程異常，所以多項式的曲面擬合可以表示為：

ζ(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2

(2)

由于：

ζ(i)=Hi-hi,i=1,2,3,4,5,…m

(3)

按照平差原理，可列出 個誤差方程式：

(4)

式(4)中各項矩陣的表達式為：

(5)

根據最小二乘當中平差機制，能夠運算擬合系數評估值：

(6)

以上模型具有復共線性產生的缺陷，即出現協因數陣N=BTPB秩虧，或者其中存在一個過于接近0的特征根，基于此，協因數陣難以逆運算，即使能夠運算結果，精確上也難以保證。在實際的測量數據處理當中，一般運用嶺估計的方式應對這一系列"秩虧現象"。

2嶺估計

嶺估計屬于就最小二乘估計優化的一種有偏估計方式，參數為X嶺估計是：

(7)

式子(7)中：k>0代表任意常數，又稱其為嶺參數或者偏參數。尤其是，如果k=0，便屬于普通最小二乘法；則N=BTPB。

根據嶺估計的特征能夠發現，其屬于從最小二乘法前提下實施的優化，而其最重要的改善就是通過加入了嶺參數k，通過消除最小二乘法的無偏性，以失掉部分數據并減少精確度來打破系數陣B的嚴重復共線性，對病態數據的容差性遠高于最小二乘法，所以使用嶺估計最重要的就是確定嶺參數k，因此統計學家做了大量的工作來進行探索，提出了很多方法來確定k值，當前，相對常用的2類方式包含嶺跡法和雙h公式法。

2.1 嶺跡法

2.2 雙h公式法

(8)

2.3 嶺估計用于高程擬合的處理流程

圖2所示為嶺估計高程擬合的處理流程圖。

圖2 數據處理流程圖

3應用實例

3.1 數據選取

為驗證嶺估計法在GPS高程擬合計算中消除法方程病態的可行性，該項研究選取唐山市曹妃甸區華北理工大學實測數據，校區占地面積為4 500畝，建筑面積約為103.6萬平方米，采用1985國家高程基準為高程系統。測區地形相對平緩，其中，GPS控制網由17個不同的點組成，就所有控制點開展水準聯測，點位布局以圖3為準。

圖3 已知點與檢核點的分布圖

選取測區內gps1、gps2、gps3、gps4、gps5、gps7、da48、da51、DA06這9個GPS水準點作為已知點進行多項式擬合，其余da04、da17、da30、da32、da39、da54、db08、DA43這8個點作為檢核點，已知點數據見表1，借助MATLAB編程針對擬合結果展開運算，見表2所示。

表1 已知點坐標信息

3.2 數據對比分析

表2所示為不同方法GPS高程轉換對比。

表2 不同方法GPS高程轉換對比

由表2可發現，嶺估計的擬合結果比最小二乘法有明顯提高，嶺估計法得到的殘差值相比于最小二乘法得到的殘差值最多可提高約73%，總體優于最小二乘擬合結果。

圖4所示為2種方法擬合結果對比。

圖4 2種方法擬合結果對比

圖5所示為2種方法殘差值對比(取絕對值)。

圖5 2種方法殘差值對比(取絕對值)

根據圖4及圖5可發現，嶺估計法相比于最小二乘法得到的殘差值更小，最小二乘法的精確性有待提升。通過對比嶺估計的方法，最小二乘法所得到的數據殘差較高，原因是在基于二次曲面模型來計算GPS高程轉換時，出現了法方程病態的問題，因而降低了參數求解穩定性，導致轉換后的計算結果不穩定。基于此，該研究可以降低方程病態的干擾，最終的精確性有明顯提升。因此，將嶺估計方法應用于GPS高程轉換中能減少法方程的病態性，并且提升擬合轉換后的穩定性。

4結論

當測區地勢相對平坦時，確立點位分布較為穩定、布局合理的控制點，并著重提升GPS大地高及正常高的測量精度，將嶺估計的計算方法，應用至多項式曲面擬合環節，在一定程度上能夠減少法方程病態所帶來的影響，使最后高程擬合的精度得到提高，證明了嶺估計方法應用于二次曲面模型在高程擬合計算當中存在優勢，表明應用雙h公式法求嶺參數k，不僅在二次曲面模型的高程擬合中有效解決法方程病態的情況，而且效果顯著，高程擬合的精度也有所提高。