HPM視角下的函數概念教學設計

鐘志華 周美玲 郝蕊

[摘? 要] 作為一種重要的教學方法，發生教學法——通常所說的HPM（數學史與數學教育關系）視角下的數學教學方法，不僅可以讓學生更好地了解數學知識發展歷史和數學家的探索過程，并在這一過程中激發數學學習興趣、體會數學研究的一般方法，而且還可以為函數這一新知識的學習準確找到認知起點，可以從函數概念產生與發展源頭中找到理解函數概念的金鑰匙.

[關鍵詞] HPM;函數概念;教學設計

■教材的地位與作用

函數是高中階段基礎而又重要的概念，高中數學中的絕大部分知識都與函數存在密切的關系.如數列、解析幾何、統計與概率等知識在某種意義上說，研究的就是函數. 可以說，學好函數是學好整個高中數學的前提.函數這個概念雖然在義務教育八年級（上）就已經學過，但當時對函數的認識主要以直觀感性認識為主，函數學習中涉及的諸多相關概念如定義域、值域、對應法則、函數的單調性、奇偶性等都只給予了形象的描述或籠統的介紹，并沒有給出嚴格的定義，甚至連表示這些概念的名詞（如表示對應關系符號“f”等）也沒有出現.在初中階段，教材為了便于學生直觀理解函數，從運動變化觀點出發采用“變量”來定義函數，這對當時的學生來說是合理的.但到了高中階段，許多函數問題仍然采用“變量”觀點來進行研究則會帶來許多不便，比如無法對函數的單調性、奇偶性等概念從定量角度進行深入刻畫，再比如對一些常值函數、自變量與因變量之間沒有明顯關系的特殊函數的理解存在困難，等等.另外，從數學知識本身的發展來看，采用“變量”觀點研究函數也無法建立嚴格的數學理論體系.眾所周知，現代數學大廈是建立在集合理論基礎之上的，函數理論作為現代數學的基礎概念之一也不例外.高中數學第一節課就是學習集合，然后馬上就學習函數概念，其用意非常明顯，就是要在高中階段向學生逐步滲透集合思想，讓學生學會用集合觀點來研究數學問題.

分析依據：教材地位分析的本質就是要通過揭示新舊知識之間的聯系并為新知識的學習找到恰當的認知起點.而數學史作為教材分析的一個可靠坐標系，它不僅可以為分析者準確了解學習者的認知結構在數學史中所處的地位提供參照，而且可以為教學設計指明方向. 就本節課而言，如果從深入分析函數概念的發展歷史來看，就會發現宜將初中所學的“變量定義”作為高中函數概念的認知起點.

■學情分析

從學生生理特點和心理特點來看，高一學生思維活躍、好勝心強、求知欲旺盛，特別是剛剛進入新的群體，對一切都充滿了好奇，這是教師教學中可資利用的有利因素;從學生的思維特點來看，這時的學生正處在從形象思維向抽象思維過渡的階段，學生雖然具有一定的抽象思維能力，但畢竟高中思維方式與初中存在較大差別，許多概念仍然需要借助一定的感性直觀才能理解，這是教師在教學中需要引起注意的地方，千萬不要過高地估計學生;從學生的知識基礎來看，此前學生已在初中階段學習了函數的有關概念，對函數概念已經有了比較深入的了解，但初中函數研究采用的是變量觀點，研究方法主要借助于直觀和文字語言，研究對象基本上是簡單的代數函數，這一方面為高中函數學習奠定了良好的基礎，但另一方面可能會對高中函數概念學習產生負遷移. 在教學中，教師需要揚長避短、因勢利導.

分析依據：HPM可以為學情分析提供參照.重演論認為，個體數學理解過程與數學歷史發展過程具有相似性.學生的錯誤和認知障礙與數學史上的錯誤和認知障礙是有關聯的，了解歷史上的重要時刻可以為教師提供預測學生認知障礙的工具[1]. 雖然了解學生的學情有很多方法，但HPM是一個不可或缺的方法.翻開函數概念發展歷史就會發現“對應”定義的產生曾經經歷了相當長的一段時間，這說明函數概念發展的艱巨性，如果教師在進行函數概念教學時能深入研究函數概念發展的這段歷史，那么就可以在對學生進行學情分析時真正做到心中有數[2].

■教學目標設計

（1）經歷用“集合”語言對初中函數概念中的有關術語進行重新描述的過程，理解用“集合”與“對應”語言刻畫函數概念及附屬概念.

（2）理解初高中函數概念的區別與聯系.

（3）經歷從“變量”觀點認識函數向“集合”與“對應”觀點認識函數的轉變過程，學會從不同角度來認識同一事物，培養多角度看問題的習慣.

設計意圖：HPM方法不僅可以為教學目標的設計指明方向，而且可以為判斷教學目標的合理性提供可靠的標準. 初中主要用文字語言對函數進行定性描述，而高中則采用符號語言對函數進行定量描述;初中函數概念的概括程度低，高中函數概念的概括程度高. 但初中函數概念比較具體、容易理解，而高中函數概念比較抽象、難以理解. 所以在設計教學目標時，教師應將經歷用“集合”與“對應”觀點認識函數并用相應的語言刻畫函數概念及附屬概念的過程作為首要教學目標;而初高中函數概念之間的區別與聯系直接關系到學生對高中函數概念的理解與否，因此應將該目標作為本節課必須達到的重要目標;目標三雖然不是這一堂課就能實現的，但由于這一目標在本節課中體現得比較充分，它不僅有助于學生更好地了解函數概念的來龍去脈，而且對學生將來的發展也具有深遠影響，因此在教學中應給予足夠重視.

■教學的重難點

（1）教學重點：學會用“集合”與“對應”觀點認識函數并用相應的語言刻畫函數[3].

設計意圖：從HPM視角來看，教學重點往往是在數學發展歷史中具有重要地位的那些知識. 高中函數概念學習中學生存在的最大疑惑是：既然初中已經學過函數，為什么高中還要再學函數？初高中函數概念之間到底存在什么區別與聯系？只有把這兩個問題真正搞清楚以后，學生才能避免初中函數概念對高中函數概念的負遷移，才能真正理解高中函數概念的本質. 從數學發展歷史來看，集合概念的產生不僅使函數概念完全擺脫了經驗和直觀，而且使函數及建立在函數概念基礎上的微積分終于有了堅實的基礎. 數學發展歷史充分證明了用集合語言刻畫函數概念的重要性. 從學生思維發展來看，學會運用“集合”與“對應”觀點刻畫函數概念不僅有利于學生實現從具象思維向抽象思維的躍遷，而且有利于提升學生的數學抽象等核心素養. 因此，在教學時要把教學重點放在如何引導學生學會用“集合”與“對應”觀點認識函數并用相應語言刻畫函數，然后在此基礎上進一步弄清初高中函數概念之間的區別與聯系.

（2）教學難點：如何適應從“變量”觀點認識函數向“集合”與“對應”觀點認識函數的轉變. 具體來說，就是如何用集合語言對初中階段所學的函數概念中的有關術語進行改造.

設計意圖：蘇霍姆林斯基認為：“真正能駕馭教學過程的高手，是用學生的眼光來讀教科書的.”因此，分析教學難點必須站在學生的角度并以學生的眼光去解讀. 而了解學生的難點一方面可以對學生進行調查. 我們曾經通過調查發現，很多高中學生剛學函數時的最大困惑就是“既然初中已經學過函數，為什么高中還要再學函數？”之所以會出現這種現象，是因為初中函數概念在學生頭腦中已經根深蒂固，這種思維定式不僅很容易造成對高中函數概念學習的抵制，而且也很容易與高中函數概念產生混淆. 另一方面可以從函數概念的發展歷史中去把握.重演論認為，個體數學理解過程與數學歷史發展過程具有相似性. 學生的認識論障礙也出現于概念的歷史中，故歷史不僅有助于確定這些障礙，還有助于克服這些障礙[4]. 從函數概念與集合理論的發展歷史來看，函數概念從一開始萊布尼茨把函數看作是隨曲線變化而改變的幾何量到狄利克雷等人首次提出函數的變量定義，其間經歷了一百多年的曲折變化;而集合理論的產生則更加艱辛，不僅產生較晚而且一開始還沒有得到人們的認可.因此，如何讓學生真正經歷用集合語言對初中階段所學的函數概念中的有關術語進行改造，并在此基礎上實現從“變量”觀點認識函數向“集合”與“對應”觀點認識函數進行轉變是本節課的難點.

■教法學法設計

本節課主要采用發生教學法和問題解決教學法.

設計意圖：能在數學史上占據一定地位并能流傳下來的往往是精品，選擇教法、學法可以從HPM中獲得啟示. 本節課之所以采用發生教學法，主要是考慮到本節課的教學重點是讓學生學會用“集合”與“對應”觀點認識函數，但為什么以及如何從“變量”觀點認識函數向“集合”與“對應”觀點認識函數進行轉變是學生最感困惑的地方. 采用發生教學法不僅可以讓學生在充分了解函數概念產生與演變過程的基礎上自然而然地解開以上困惑;而且可以讓學生充分感受數學家的研究歷程，了解數學研究的一般方法，破除對數學研究的神秘感;同時，還可以讓學生深刻認識數學研究的艱巨性和數學發展道路的曲折性，激發學生對數學家的崇敬之情和對數學的探索熱情.

在函數概念的探究過程中，教師既要引導學生在回溯函數概念發展歷史的基礎上意識到初中函數概念的不完善并進而對初中函數概念進行改進，又要引導學生通過初高中函數概念的對比弄清彼此之間的區別與聯系，這些都需要教師通過精心設計的“問題串”來循循善誘、步步深入地去探索，而采用問題解決教學法可以很好地實現這一目標.

■教學過程設計

1. 創設情境，引入課題

教師首先通過PPT呈現恩格斯的語錄：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數.有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學.”然后在黑板上板書課題——函數的概念，引出課題并同時提出：

問題1：看到同學們一個個驚訝的表情，你們是不是想說：以前初中學過函數，為什么高中還要學？是不是老師搞錯了？

設計意圖：HPM不僅可以充分揭示數學知識的來龍去脈，為新知識的生成找到恰當的認知起點，而且可以觸發情境創設的靈感. 目前的課本一般是從實際生活來引入函數概念的，但這種引入方法與初中函數概念的引入過程如出一轍，這不僅難以充分激發學生的學習積極性，而且會導致教學偏離本節課的教學重點;李大潛院士認為，數學的發展并不完全依靠實際需求來推動，數學有其自身的能動性，如果一味地強調數學來源于生活，簡單地在所有的概念或命題前都機械地裝上應用的實例，那么數學教學就會變得庸俗，學生所學的數學知識就會變成用實際生活實例包裝的支離破碎的大雜燴. 數學知識之間的來龍去脈和數學美將蕩然無存，數學將會變成沒有靈魂的僵尸[5]. 事實上，函數概念從其產生與發展歷史來看，主要是來自數學自身發展的需要，而不是實際的需要. 因此，通過還原函數概念發展的本來面貌，揭示函數概念產生與演變過程中的內在矛盾來創設教學情境，不僅可以充分激發學生的探究熱情，而且可以讓學生在經歷函數概念演變與發展過程中更好地理解函數概念的來龍去脈及本質屬性，提升學生的探究能力.

正是基于以上考慮，在教學時先板書課題“函數的概念”，讓學生產生高中怎么又要學習函數概念的疑惑，然后順勢拋出問題1，點出學生心中的困惑，引發學生強烈的好奇心. 當學生將信將疑、急于知其所以然之際，再趁勢提出：

問題2：為什么初中學了函數概念高中還要再學？高中學習的函數概念到底與初中學習的函數概念有什么區別與聯系？

設計意圖：“為什么初中學了函數概念高中還要再學？”“高中學習的函數概念到底與初中學習的函數概念有什么區別與聯系？”等問題一直是纏繞學生的心結，也是高中函數教學中無法回避的大問題. 但由于種種原因，很多教師在進行函數概念教學時或渾然不知，或視而不見，或刻意回避，其結果只能“以其昏昏，使人昭昭”，只能靠對概念咬文嚼字的解讀和大量的機械訓練來彌補這方面的不足，這不僅于事無補，反而會加重學生的負擔. 而提出這一問題不僅可以充分揭示學生思維的困惑，找到新知識的生長點，而且可以真正抓住這節課的主要矛盾和教學重點.筆者曾經做了一個簡單的調查，在2019年寒假結束前隨機抽取了某重點中學高一兩個班的學生分別說出（口答）、寫出初高中函數的定義，結果每個班約有八成的學生既說不出也寫不完整函數的定義，至于說出初高中函數概念之間的區別與聯系就更談不上了，然而有關函數的題目卻照做不誤.

提出問題2后，教師不要馬上給予回答，因為在學生對函數概念發展歷史毫無了解的情況下進行解釋只能越描越黑. 這里不妨先給學生賣個關子，如通過“如果知道了函數概念的發展歷史，你們就可以知道這個問題的答案了”這樣懸念巧妙的一句話將學生的興奮點引導到對函數概念發展史的介紹上來.

研究表明，許多學生之所以對數學存在畏懼，很重要的原因是教師在教學時沒有找準學生的認知起點[6]. 美國著名的教育家D.P.奧蘇伯爾在其名著《教育心理學——認知觀點》的扉頁上寫道：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學習的唯一重要的因素，就是學習者已經知道了什么. 要探明這一點，并應據此進行教學.”楊玉東博士曾經提出：“要以本原性問題來推動數學教學.”數學史是數學知識的根，沒有數學史根基的知識往往是蒼白的、沒有生命力的. 數學史不僅可以充分揭示數學知識的來龍去脈，而且可以為數學知識的探究指明方向. 引領學生共同探究函數概念發展歷史可以讓學生回歸函數概念產生與發展這一認知起點，并從函數概念產生與發展的源頭里找到理解函數概念的金鑰匙.

對函數概念演變與發展歷史的探究既可以采用教師介紹的形式，也可以在教師的指導下讓學生檢索有關文獻自己去發現. 對自主學習能力強的學生可以采用后一種方法. 函數概念演變與發展歷史的探索可以緊扣以下歷史線索來展開：1694年，萊布尼茨最先從幾何角度提出“函數”這一名稱來表示那些隨曲線的變化而改變的幾何量，如曲線上點的坐標、曲線的切線斜率、曲線的曲率半徑等;1718年，約翰·伯努利把函數歸結為由一個變量和一些常數構成的任何總表達式，雖然對函數的認識還比較局限，但函數概念開始擺脫對幾何和直觀的依賴而進入了代數，使得利用代數方法處理函數問題成為可能. 此后，歐拉進一步把函數推廣到變量和常數的任何方程或公式，使得函數基本上涵蓋了初等函數，如大家在初中所學的那些函數. 雖然數學家們已經知道了許多各種各樣的具體函數，但函數到底是什么呢？為了回答這個問題，狄利克雷等人深入研究后提出了函數的變量定義：“變量是表示一組數中任何一個數的符號;如果x和y兩個變量如此地相關聯：只要給x一個值，則依某種規則或對應，自動地規定給y一個值，則我們稱y是x的（單值）函數.” 這基本上就是我們在初中階段所學的函數定義[7].

研究表明，個體的數學學習過程與數學發展之間存在共軛現象. 引領學生穿越數學歷史時空，與數學家進行對話，像數學家那樣去思考、探究并從中挖掘數學發展過程中的本原性問題，不僅可以培養學生的探究能力與科研素養，而且可以讓學生充分感受數學發展脈動，經歷數學文化熏陶，這是HPM的靈魂所在.

問題3：還記得初中函數概念是怎樣定義的嗎？

設計意圖：通過數學史引出初中函數概念，由此檢驗學生對初中函數概念的掌握情況.一般情況下，大部分學生都會記得函數概念，若不記得，教師可以幫學生先復習一下.

雖然，利用變量來定義函數使函數有了統一的定義，但這樣的定義存在很多問題，如過于依賴直觀和定性認識，無法采用符號語言對函數的單調性、奇偶性等概念進行定量刻畫，理論體系不嚴密，等等.

2. 啟發引導，探究新知

問題4：你覺得初中的函數概念嚴謹嗎？如果不嚴謹，那不嚴謹在什么地方？假如你是數學家，你會怎么辦？？搖？搖？搖

設計意圖：由于初中的函數概念太過形象化，教師告知學生這一概念存在問題，讓學生自己思考哪里有問題，這樣學生才會印象深刻. 而讓學生對初中的函數概念提出質疑，一方面可以更自然地引出高中的函數概念，另一方面則可以培養學生善于思考、善于質疑的良好思維品質.當然，對于這一問題，學生回答是存在一定困難的，但這一問題確實是學生想了解的，因此這個問題問得還是很有價值的. 如果學生能有所發現，教師可以在此基礎通過下面的問題5至問題7作進一步引導.

基于函數概念演變與發展過程中的矛盾來設計問題，用本原性問題來推動數學教學有利于學生在對函數概念的建構過程中更好地把握函數概念的本質.

問題5：“在某一變化過程中”是指怎樣的變化過程？x，y的變化范圍在這里有沒有指明？

問題6：x→y的對應關系有沒有交代出來呢？

問題7：什么叫y隨x的變化而變化？你能用更精確的數學語言描述嗎？

設計意圖：問題5至問題7是問題4的具體化，目的是引導學生去探索初中的函數概念到底有哪些地方陳述模糊、不夠嚴謹. 這三個問題可以同時提出，也可以根據學生的回答情況漸次展開.由于問題比較具體、方向比較明確，學生應該會產生想法或共鳴. 在這里，學生如果能夠提出自己的想法甚至解決辦法固然很好，如果沒有想法也很正常. 這時教師可以進一步提出以下問題.

問題8：那么我們怎么解決以上的問題呢？有沒有什么想法？

設計意圖：提出這一問題的目的是希望學生能借助上節課剛學的集合概念來對這些比較模糊的術語進行描述，讓學生認識到不僅自變量和函數值的變化范圍都可以用集合來進行表示，而且x→y的對應關系也可以用數學符號來表示，然后自然而然地引出函數的定義域、值域和對應法則這三個基本要素. 如果學生不能用集合來描述，教師可以啟發學生試著聯想上節課剛學的集合概念，探索運用集合語言描述x，y變化范圍的可能性和優越性. 當學生經過這樣的探索以后，教師可以通過“同學們，想不想看看數學家是怎樣用集合和對應觀點來定義函數的？”來引出函數的概念.

問題9：看了數學家給出的函數概念之后，同學們來比較一下，有哪些地方你們已經想到了，有哪些地方你們還沒有想到.

設計意圖：將自己的研究成果與數學家的研究進行對比，對學生而言，一方面可以讓學生更好地了解自己探索過程中存在的優缺點;另一方面可以讓學生更好地了解數學家的研究過程和研究方法;同時還可以讓學生充分體驗探究的樂趣和成功的喜悅，經歷數學文化和數學精神的陶冶，激發學生進一步探究的積極性. 對教師而言，可以從數學發展歷史中找到解決數學矛盾、突破教學難點的方法.

3. 引申拓廣，鞏固新知

提出下列問題并讓學生分組討論.

問題10：同學們再來比較一下初高中函數概念之間有什么區別與聯系.

設計意圖：俗話說，有比較才有鑒別.高中學生學習函數概念遇到的最大困難是難以搞清初高中函數概念之間到底有何區別與聯系，這是導致許多函數錯題的根源所在. 通過比較不僅可以加深對函數概念的理解，而且還可以優化認知結構.

小組討論以后，先請每個小組派出代表發言，然后教師總結，列出表1.

4. 課堂小結，梳理新知

先提出問題11：本節課有怎樣的收獲？

然后引導學生從函數的發展歷史、數學家研究函數的方法、函數的三要素、初高中函數概念之間的異同點等方面對本節課所學的知識進行反思總結.

設計意圖：提出“你有怎樣的收獲？”這一問題，不僅可以讓學生系統回顧函數發展歷史及本節課研究函數的思路，而且可以讓學生系統掌握本節課的數學知識，同時還有助于學生了解聯系、比較等科學研究的一般方法，培養從不同角度看問題的習慣.

參考文獻：

[1]? 汪曉勤. HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2018.

[2]? 歐幾里得. 幾何原本[M]. 北京：人民日報出版社，2005.

[3]? 人民教育出版社等. 數學必修1，教師教學用書[M]. 北京：人民教育出版社，2012.

[4]? 汪曉勤. HPM：數學史與數學教育[M]. 北京：科學出版社，2018.

[5]? 李大潛. 關于數學基礎教育課程改革的一些建議（征求意見稿）[M]. 內部資料，2017.

[6]? 汪曉勤. HPM：數學史與數學教育[M]. 北京：科學出版社，2018.

[7]? [美]霍華德·伊夫斯著. 數學史概論[M]. 歐陽絳譯. 太原：山西經濟出版社，1993.