小學數學教學借助幾何直觀培養學生數學思維的策略探究

潘婷婷

[摘? 要] 數學是思維的科學，小學生的思維發展經歷著從具體形象思維到抽象思維的逐步過渡，仍具有很大的具體性。教師應重視學生幾何直觀學習能力的培養，引入現代教學要素，從而提高學生的數學核心素養。文章從新時期的角度，對如何借助幾何直觀教學培養學生數學思維的策略進行了研究和分析。

[關鍵詞] 小學數學;幾何直觀;思維發展;教學策略

《義務教育數學課程標準（2011年版）》的課程目標明確提出了“四基”。“四基”的提出不僅關注學生對數學知識本身的理解和掌握，更強調對學生發現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力的培養。幾何直觀可以幫助學生更好地發現問題、提出問題，進而更加深入地分析數學問題，深刻理解數學本質，從而使學生的數學思維具備深刻性、靈活性及創新性等良好的品質。

■一、幾何直觀的內涵

直觀化既是數學學習的一種策略，也是可視化的一種統稱。從廣義上講，數學直觀的形成是一個直觀的信息處理過程，是以數學直觀符號為基本元素的一種認知方式，具有形象性、圖式性、靜態性、動態性、外部性和特定性等特點。另外，直觀的背景材料，如對象模型、圖標插圖等直觀的教具，也包含現實世界中的情境問題，包括學生頭腦中的“數學現實”，概念圖、思維圖的外化，以及數學模型都被視為直觀的。

數學直觀運用數學語言將抽象意義從形象意義中提煉。數學直觀的核心是直觀推理，直觀的學習要從圖形元素的整體結構把握，直觀的推理是對“平衡”的直觀判斷。它依賴于學生平時在數學活動中積累的經驗認識數學，最初是感知和猜想。

從功能角度層面，幾何直觀是教學工具。在加、減、乘、除運算算理，平面圖形和立體圖形的認識，圖形的運動、統計圖等一系列數與代數、圖形與幾何、統計與概率知識領域中，幾何直觀貫穿整個小學數學課程體系。由此可見，培養學生幾何直觀素養對其數學思維發展有著重大影響。

■二、小學幾何直觀教學的現狀及問題

1. 從教師的角度出發

根據義務教育課程標準，具備必備的知識、教學技能和良好的教師素養是教師在從事教育的過程中的必要條件。在新課標中，幾何直觀作為十大核心關鍵詞之一，對學生的數學學習和思維發展具有重要的作用。在對小學數學教師的訪談和實際的教學走訪中發現，部分教師在教學過程中忽略了幾何直觀對數學思維發展的重要積極作用，把二者分割開來認識，直接影響其教學方式的選擇。在課堂上，教師直接向學生提出問題，隨后出示教具學具，看似采用了具體形象演示，實則是一帶而過，沒有從本質上構建幾何直觀與思維發展之間的聯系，學生的數學思維不能得以積極發展。

教師是教學的實施者，在教學中起著主導作用。倘若教師對幾何直觀教學的理解不夠全面深入，就會使教師實際教學有所偏頗。在人教版小學數學教材四年級下冊的“植樹問題”教學中，教師首先呈現問題情境并出示數學問題，使學生嘗試獨立思考，動手擺一擺，然后進行小組交流，最后歸納總結：植樹有三種情況——兩邊都栽，兩邊都不栽，只栽一邊。如果把擺學具看作是幾何直觀的培養，但是割裂了樹的棵數與間隔數之間的關系，忽視了“一一對應”的圖示作用，那么學生很難通過探究歸納出植樹棵數與間隔數之間的關系，數學思維自然難以得到發展。

2. 從學生的角度出發

在小學階段的數學學習過程中，學生一定程度上積累了借助幾何直觀來解決問題的活動經驗，但遷移運用的能力有待提升。一是部分學生不能將已知數學信息及問題轉化為通過數形結合、動態演示、實驗操作等方式來探究的一般問題。二是本身缺乏幾何直觀數學素養，原有知識水平和活動經驗缺乏，使其對于問題解決束手無策。

在小學數學中，學生隨著年級的遞增，對幾何直觀越來越抵觸。一方面是由年齡增長帶來的認知規律變化決定的，另一方面則是教師傳統的教育理念和教學方式導致的。少數教師認為在教學過程中，引導學生解決問題時借助幾何直觀很困難，于是采用放任自流的態度。課堂上，學生沒有在教師的引導下親近幾何直觀，致使素養缺失，遇到問題時難以自主選擇用形象直觀的方法來分析和解決問題，從而形成惡性循環。

■三、小學數學幾何直觀對培養數學思維能力的作用

1. 借助幾何直觀激發興趣，培養學生數學思維

高度抽象和嚴格邏輯是數學的主要特征之一。教學時如果忽視了不同階段兒童認知發展規律，容易使其對數學學習產生恐懼感和厭煩感，從而產生認知障礙。有效地運用幾何直觀可以使數學思維過程變得生動有趣。例如，學生通常對直觀的事物感興趣。在教學“角的分類”時，教師首先讓學生觀看挖掘機工作的視頻。挖掘機斗桿在工作時，彎曲、拉直，形成不同的角度。讓學生在觀看過程中不僅自主判斷出已認識過的銳角、直角和鈍角。同時提出新的疑問：“這也是一個角嗎？它叫什么名字呢？（平角）”借助直觀教學不僅使學生體會到數學有趣，更重要的是刺激學生的內在驅動力，積極主動思考，激活數學思維的獨創性和批判性。

2. 借助幾何直觀理解算理，培養抽象數學思維

瑞士心理學家皮亞杰在其兒童認知發展理論中將兒童認知發展分為四個階段，其中小學階段的兒童主要處于具體運算階段和形式運算階段前期。這一階段的兒童對于圖形有著天生的敏銳和依賴。將抽象復雜的數學概念及數量關系直觀、形象、簡化，能有效地幫助其分析和解決問題。例如，在教學“分數除以整數”時，涉及的計算方法相對簡單：“分數除以整數（0除外），等于分數乘以這個數的倒數。”算法雖易，算理卻難。如“■÷4”，可以讓學生通過嘗試畫圖的方式理解，■即把單位“1”平均分成7份，取其中的6份，而后再把6份平均分成4份，每一份就是這6份中的■，也就是單位“1”的■。通過數形結合進行分析，將一個抽象的計算方法具體化、可視化，豐富了學生對分數除以整數的直觀理解，構建起從算理到算法的抽象思維發展。

3. 借助幾何直觀分析、優化問題，培養邏輯推理數學思維

幾何直觀不僅可以將復雜的數學問題簡單化和可視化，還可以幫助學生進一步分析問題中的數量關系，理清解題思路，預測結果，從而發展學生的邏輯推理能力。例如，教師在教學“對策問題”時讓學生用連線的方法把田忌獲勝的策略表示出來。

教師接著問：“你認為在他（田忌）獲勝的策略中最關鍵的是哪一場？說說你的理由。”學生回答：“最關鍵的是田忌用自己最弱的一匹馬去對齊王最強的一匹馬這一場。”隨即教師用描紅的方式強化這一關鍵局。學生接著說：“雖然田忌輸了一場，但齊王剩下的兩匹馬實力相對較弱;相反，田忌剩下的兩匹馬實力相對較強，就保證了后面兩場的勝利。”

借助清晰簡潔的連線圖展示田忌獲勝的策略，利用多元表征將學生思維外顯;讓抽象思維符號化，為學生邏輯思維的發展起到橋梁作用。

4.借助動態幾何直觀探究體積計算，培養數學直覺思維

幾何直觀對于培養學生的直覺思維同樣具有重要作用。在平時教學中，不斷滲透幾何直觀的思維方式，逐步讓學生形成整體觀察，快速識別和判斷已知條件和隱含數量關系的能力，進而能夠大膽猜測、合理假設，初步得出結論。例如，在教學“圓錐的體積”時，發現學生對于單一的立體圖形——圓錐體積的計算方法探究難以入手。如果教師同時出示等底等高的圓柱和圓錐兩個立體圖形，學生通過觀察就能大膽猜測兩者之間的體積倍數關系，得出初步結論。猜測之后，接下來是動態直觀驗證猜想，學生用教師提供的學具進行實驗。“在圓錐中注滿水，倒入圓柱中。這樣倒3次，正好將圓柱裝滿。”動態操作讓學生充分理解圓柱與圓錐之間的體積關系，大膽推理圓錐體積的計算公式，有助學生對規律探索的直觀想象。

5.借助幾何直觀分析數量關系，培養發散數學思維

發散思維是重要的數學思維方式之一。啟發學生從不同的角度思考和解決問題，有利于發展學生的主動性和創造性，幾何直觀對此提供了幫助。比如，在“雞兔同籠”問題中，學生既可以借助數形結合的方法給圖形“添腳或去腳”讓復雜的邏輯關系變得一目了然，還可以借助多媒體課件動態演示“吹哨法”等解題思路，通過一系列形象直觀的展示，促進學生數學思維的靈活性，打開“一題多解”的思路，不僅提高學生的解題能力，更重要的是培養學生的發散思維。

■四、幾何直觀教學建議

1. 運用恰當的教學形式激發學生學習內驅力

幾何直觀具有形象性、圖式性、靜態性、動態性、外部性和特定性等特點，由此它的呈現形式也是多樣化的。在新時期教學背景下，教師教學時要善于創設與學生生活緊密相關的具體問題情境，激發學習興趣，啟發探究的自主愿望，對現有問題提出大膽質疑。同時，教師可以根據教學內容科學合理地選擇呈現方式，充分借助現代教學多媒體信息技術，實現抽象問題形象化、抽象思維具體化，培養學生形成思維的批判性和創新性。

2. 注重學生幾何直觀思維方式的培養

通過長期觀察發現，小學低年級學生喜歡借助直觀圖形分析和表達數學問題。這不僅符合該階段學生認知發展規律，同時，有利于學生對圖形的認識、圖形的識別，以及圖形特征的把握起到積極促進作用。教師在日常教學中應用心呵護學生對于畫圖分析問題的這份熱情，課堂教學中運用幾何直觀思維方式選擇合適的教學手段和方式，引導學生掌握必備的作圖解題技巧。通過畫圖訓練，使學生養成積極動腦的思維習慣，善于動手操作的分析問題的能力，培養學生形成思維的深刻性和靈活性。

3. 用直觀想象構建幾何直觀與數學思維的聯系

幾何直觀能力的培養和數學思維的發展有著非常緊密的聯系，不能將二者孤立開來研究。例如，在“20以內進位加法”的教學時，教師往往會借助小棒讓學生通過擺一擺理解“湊十法”算理。通過實驗研究發現，少數孩子能擺能說，卻無法利用“湊十法”來達到進位加法計算的自動化。這時，教師需要引導個體在動手擺小棒的基礎上，運用直觀想象在頭腦中重現擺小棒和移小棒的過程，激活運算思維，建立起整個小學階段加法運算的算理體系，從而培養學生思維的靈敏性和系統性。