指向數學抽象素養培養的課堂教學研究

蔣智東

[摘? 要] 發展學生的數學抽象素養是數學知識教學的關鍵，以數學知識的教學為著力點，重視數學抽象的培養，設計符合學生認知水平的數學情境和問題，讓學生經歷完整的數學抽象過程，熟悉和理解數學抽象的基本過程，獲得數學抽象的基本活動體驗. 通過“問題鏈”，引導學生從特殊到一般、從猜想到論證逐級抽象概括，提升了學生的數學抽象水平. 通過自主嘗試、猜想、歸納、體驗、驗證，充分發展數學抽象素養.

[關鍵詞] 數學抽象;核心素養;課堂教學;案例

“我們要從立德樹人的高度來認識和理解數學教學的意義，在數學教學中，通過培養學生的數學學科素養，使核心素養得到進一步的提升，從而更好地落實立德樹人的根本任務”[1]. 因此，理解數學核心素養的內涵，以數學知識的教學為著力點，在數學學科核心素養視角下設計數學教學活動來發展學生的數學核心素養，已經成為數學教育改革實踐的重要內容.

■發展學生的數學抽象素養是數學知識教學的關鍵

數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養.主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學語言予以表征[2]. 數學抽象素養位于六大數學核心素養之首，是學生學習數學知識的前提和基礎.

學生數學抽象素養的培養應建立在數學知識的學習理解之上，要落實到具體的教學實踐活動中.數學知識的學習過程，體現了數學抽象素養的思維活動過程.教師要結合數學知識產生、發展、應用的邏輯線索，結合學生的認知特點，個性化地設計教學活動，圍繞知識形成和數學思維兩條主線，通過數學探究引導學生經歷獲得知識、理解知識、應用知識的過程. 在這過程之中既可以體現數學抽象的認知活動，也可以體現數學抽象素養的發展，使得學生真正學會“用數學的眼光觀察世界”.

■基于數學抽象素養培養的課堂教學案例呈現

《普通高中數學課程標準（2017年）》中指出，“獲得數學概念和規則”是數學抽象的主要表現之一. “兩角差的余弦公式”是高中數學教材中公式推導及應用的經典案例，是數學抽象素養培養的絕佳載體. 2019年度江蘇省教育科學規劃精品課題推進會——精品課題進課堂活動，筆者就上述課題進行了一次教學嘗試.

1. 教學情境設計

回顧兩個誘導公式：cos（π-α）= -cosα ①，cos■-α=sinα ②.

問題1：分析、思考化簡后①式中π和②式中■的三角函數值的變化，并嘗試把它們找回來.

把誘導公式中兩角差的余弦形式作為任意兩角差的余弦展開式的特殊情形，并試圖通過找回特殊角的三角函數值的方式，還原得到展開式的原型.學生以①式右邊的負號為切入點，分析想象到的三角函數值在化簡過程中被算出來了，于是有cos（π-α）=cosπcosα ③，類比得到cos■-α=sin■sinα ④.

問題2：對上述兩個式子左邊的結構特征進行觀察、分析，然后對右邊的展開式結構進行想象、歸納，作出初步判斷.

教師對上面兩個式子的結構特征進行引導，左邊都是一個特殊角與角α的差的余弦，結構相同;右邊一個是兩個角的余弦之積，一個是兩個角的正弦之積，要求學生對右邊是否有相同形式的展開式從直觀上作出判斷.教師可以通過“sinπ=0”“cos■=0”進行提示，在相互交流的基礎上讓學生得到：cos（π-α）=cosπcosα+sinπsinα，cos■-α=cos■·cosα+sin■sinα.

2. 語言概括，符號表達

問題3：用語言概括描述上面兩式的結構.

利用特殊到一般的方法得到：這兩個角的差的余弦等于它們余弦之積與正弦之積的和. 在此基礎上讓學生進一步體驗：cosα-■π=____，cos■-■=____.

問題4：對上面的結論進行概括推廣.

文字描述：任意兩個角的差的余弦等于這兩個角的余弦之積與這兩個角的正弦之積的和.

問題5：對結論進行數學化表示，構建模型.

用符號表示：設α，β是任意角，則有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

3. 公式證明

從結構上看，這個式子具有對稱性，比較和諧，可信度較大，但這仍僅僅是猜想，最終還需要進行嚴謹的證明.

問題6：公式證明方法的獲取.

從公式的原型，即誘導公式的證明方法——“單位圓法”入手，引導學生探究公式的證明. 以②式為例進行方法回顧：如圖1，設角α，■-α的終邊與單位圓的交點分別為P1，P2，則P1（cosα，sinα），P2cos■-α，sin■-α. 由Rt△OP■Q■≌Rt△P■OQ■，得到點P1，P2坐標之間的關系，如cos■-α=sinα，這樣就得到了角α與■-α的三角函數之間的關系.

問題7：用“單位圓法”證明公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

學生思考、嘗試、交流：如圖2，設P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），這樣等式右邊就是向量■和向量■的數量積■·■. 教師此時在圖2中標出向量■和向量■以及角α和β，引導學生繼續觀察圖3：等式左邊是向量■和向量■夾角的余弦.

根據兩個向量的夾角余弦公式cosθ=■（其中θ是向量■和向量■的夾角），有cos（α-β）=■，而■=■=1，所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

也有學生是這樣考慮的：由于■=■=1，所以cos（α-β）=■■·cos（α-β）=■·■=cosαcosβ+sinαsinβ.

教師充分肯定學生的認識，概括一下第二種方法：左邊是從圖形角度運用數量積定義來計算，右邊是從數量的角度運用坐標來計算，對同一對象從不同角度計算兩次，體現出了向量的工具作用.

問題8：公式證明的完備性.

引導學生對上面的認識從相關概念的角度進行核查，發現由于α，β都是任意角，而兩個向量的夾角在區間[0，π]內，因此α-β有可能不是向量■和向量■的夾角.

問題9：α-β∈[0，π]，探究cos（α-β）的含義.

教師不能急于拋出自己的解決方案，一定要讓學生進行“痛苦”地思考. 當α-β∈[0，π]，由前面證明的cosθ=■和cos（α-β）=■，實際上只需說明cos（α-β）=cosθ就可以了. 引導學生不要在α-β是不是向量■和向量■的夾角的層面上糾結，而應跳出來從函數的角度思考：α-β∈[0，π]時，cos（α-β）=cosθ！

問題10：設α和β都是任意角，證明cos（α-β）=cosθ.

由于α和β都是任意角，問題非常抽象，學生百思不得其解. 教師加以引導：α和β都是任意角，不容易把握，我們可以分兩步使角的范圍從“大”到“小”.

第一步，設α=2k■π+α■，β=2k■π+β■，其中，k■，k■是整數，0≤α0，β0<2π，則cos（α-β）=cos[2（k■-k■）π+（α■-β■）]=cos（α■-β■）. 下面只需證明：cos（α■-β■）=cosθ.

第二步，不妨先設0≤β0≤■，如圖4.

①當0≤α0≤β0時，θ=β0-α0，cosθ=cos（β0-α0）=cos（α-β）.

②當β0<α0≤π+β0時，θ=α0-β0，cosθ=cos（α0-β0）=cos（α-β）.

③當π+β0<α0<2π時，θ=2π-（α0-β0），cosθ=cos[2π-（α0-β0）]=cos（α0-β0）=cos（α-β）.

綜上，當0≤β0≤■時，都有cos（α-β）=cosθ.

對于β0的終邊在其他位置的情形，仍可以引導學生用類似的分析方法得到cos（α-β）=cosθ. 至此，對于任意角α和β，都有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

結合余弦函數的周期性，運用化歸與轉化的方法，將cos（α-β）變為cos（α0-β0），進一步，將β0的終邊固定在區間0，■內，讓α0轉起來，結合圖形，將α0-β0與θ終邊的關系可視化.

4. 理解應用

例1：利用兩角差的余弦公式，求cos15°的值.

意圖：cos15°=cos（45°-30°），讓學生體會從一般到特殊、用已知表示未知的化歸與轉化的思想和方法，明確公式的本質：用單角的三角函數值表示差角的三角函數值.

例2：化簡：（1）cos95°cos35°+sin95°·sin35°;（2）■sin15°+cos15°.

意圖：通過逆向思考，培養學生化歸與轉化以及運用公式的模型化思想.

上述教學設計的核心，是將公式形成過程設計為若干個能夠揭示問題本質、具有一定邏輯關聯的探究問題.如問題2是在知識形成的“關鍵點”上設置問題;問題6是在形成解決問題策略的“關節點”上設置問題;問題7到問題9是在數學知識之間聯系的“聯結點”上設置問題，等等. 通過合理、恰適的問題，使學生始終保持一定水平的思維活動，驅動學生思考，引領學生主動學習.

■基于數學抽象素養培養的課堂教學案例分析

在數學公式的教學中，重視數學抽象的培養，最切實的是抓住其形成過程的教學，設計符合學生認知水平的數學情境和問題，讓學生經歷完整的數學抽象過程，熟悉和理解數學抽象的基本過程，獲得數學抽象的基本活動體驗，在公式的教學中學會逐級抽象，發展數學抽象素養[3].

從前面所述的數學抽象的內涵中，我們認識到數學抽象呈現出層次性.根據抽象程度的不同，史寧中教授將數學抽象過程分為了三個階段：一是簡約階段，把握事物本質，把復雜問題簡單化并條理清晰地表達;二是符號階段，去掉事物的具體內容，利用符號和關系術語等表達已簡約化的事物;三是普適階段，通過假設和推理，建立法則或者模型，能在一般意義上描述具體事物的特征或規律[4].？搖

因此，我們提出數學公式教學中逐級抽象的基本過程框架：辨別（刺激模式）→分化（各種特征）→類化（共同特征）→抽象（本質特征）→概括（形成公式）→形式（符號表達）→系統（完善公式）→運用（理解體會）. 其中，從“辨別”到“抽象”為簡約階段，抽離事物本質;從“概括”到“形式”為符號階段，完成符號表達;從“系統”到“運用”為普適階段，形成模型并運用到具體情境.

以下將基于上述教學中數學探究活動的設置，分析教學是如何與數學抽象過程的基本過程框架相對應，從而讓學生經歷兩角差余弦公式完整的抽象過程.

1. 結構直觀，抽離本質

問題1達到了數學抽象過程中的“辨別（刺激模式）”和“分化（各種特征）”兩個步驟. 觀察①②兩式，從學生已有的認知出發，通過對“π和■的三角函數值”這些具體數學對象的分析考察，得到③④兩式，這是從同一角度分別對兩式形式的一次抽象. 由此通過“復原”誘導公式原型引出課題，達到外部刺激引入情境的效果. 同時，π和■的三角函數值回歸方式有很多，但③④兩式是學生能夠從不同猜測中比較容易分化出來且被廣泛認可的形式.

問題2達到了數學抽象過程中的“類化（共同特征）”和“抽象（本質特征）”兩個步驟. 對cos（π-α）與cos■-α的形式進行考察，發現它們有相同的結構，引導學生進行猜想和歸納，抽離出它們應該有相同的展開形式這種共同特征，這是對數學結構特征的一次概括抽象.

數學抽象性在逐級抽象、逐次提高的過程中，總是伴隨著概括[4]. 在引導學生類化出①②兩式右邊應該有相同的展開式這種共同特征后，讓學生進一步感受③④兩式——右邊一個有余弦之積，一個有正弦之積，又感覺應該有相同的形式，那么，這個相同的形式就應該是都有余弦之積和正弦之積！得到cos（π-α）=cosπcosα+sinπsinα，cos■-α=cos■cosα+sin■sinα，這是從③④兩式的考察中尋找到的共同特征，是在①②兩式抽象基礎上的概括，是抽象的發展，揭示出①②兩式的本質特征.

2. 抽象概括，符號表達

問題3和問題4達到了數學抽象過程中的“概括（形成公式）”這一步驟.問題3中，讓學生用語言描述兩個式子相同的形式，實際上是對兩個式子結構特征的一次抽象概括. 學生的體驗是在誘導公式結構基礎上的遷移，是公式外延的抽象拓展. 經過由特殊到一般的逐級抽象概括，至問題4，學生已經能用自然語言描述出兩角差的余弦展開式的結構特征：任意兩個角的差角的余弦等于這兩個角的余弦之積與這兩個角的正弦之積的和. 問題5達到了數學抽象過程中的“形式（符號表達）”這一步驟，學生用代表數量意義的符號來準確表述公式，建立對公式的認識，明確公式的本質.

3. 形成公式，理解應用

問題7至問題10達到了數學抽象過程中的“系統（完善公式）”這一步驟. 問題7中，①②兩式作為公式的特殊情形，它的證明利用了“單位圓法”，那么，是否可以借鑒這種方法用來證明公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ呢？事實上，這是我們在處理陌生或復雜問題時常用的一種策略. 從方法上來看，是在培養學生抽象的思維方式.數學方法的運用，往往是發展學生抽象素養的起點，在回顧cos■-α=sinα的證明后，對“單位圓法”的抽象概括是將方法模式化的一種表現. 它理清了點的坐標與角的三角函數值之間的關系，明確了步驟間的邏輯關系，為學生順利遷移到公式的證明中奠定了良好的基礎.

問題8對公式的證明過程，對“cosαcosβ+sinαsinβ=■·■”“■·■cos（α-β）=■·■”的認識，這些都體現出了數學抽象的構造性，是聯想、遷移的過程，是結構化抽象思維的結果. 而α-β對“就是向量■和向量■的夾角”的認識是數形結合、直觀感知的結果.

問題10中對“cos（α-β）=cosθ”的證明，通過化歸與轉化分為cos（α-β）=cos（α0-β0）以及“固定β0”、讓“α0動起來”這樣兩步，使問題從無限化為有限，這又是抽象的思維方式的一種表現. 通過分類與整合，最后得到cos（α-β）=cosθ，公式得到了完善，形成了一個模式化的系統.

兩個例題的設置達到了數學抽象過程中的“運用（理解體會）”這一步驟.兩個例題不是公式在復雜情境的綜合應用，而是針對公式的直接應用，使公式與直觀經驗的原型更加緊密地整合起來，形成完整的公式模型，從而建立起對公式完整的認識和理解.

上述教學過程，在內容設計上通過“問題鏈”，引導學生從特殊到一般、從猜想到論證逐級抽象概括出兩角差的余弦公式. 培養了學生的數學抽象意識，提升了學生的數學抽象水平. 教師要把握好教學節奏，給學生較為充裕的思考時間和交流機會，調動學生的積極性，促使學生主動參與探究活動，使學生通過自主嘗試、猜想、歸納、體驗、驗證，充分發展數學抽象素養.

■結束語

筆者在對蘇教版教材中兩角和與差余弦公式的呈現方式充分學習和理解的基礎上，結合學生的認知水平和能力，采用了通過兩角差誘導公式回溯的方式，獲得了兩角差的余弦公式. 一方面，揭示并領悟了兩角差余弦公式的本質，即兩角差的余弦值可以用這兩個單角的三角函數值來表示，為后面其他復角的三角函數值研究提供了方向，也奠定了本節課知識在章節知識體系中的地位和作用. 另一方面，在公式的抽象形成過程中，通過引導學生進行歸納概括、類比推理、數形結合分析等，形成用數學的思想和方法來思考和處理問題的習慣，形成數學抽象的思維方式和思維能力，培育理性精神，達到數學育人的目標.

參考文獻：

[1]? 祁平，任子朝，趙軒. 指明改革方向 繪就培養藍圖——高考評價體系育人視角的解讀與應用[J].數學通報，2020，59（04）.

[2]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]? 鄧翰香，吳立寶，沈婕. 指向數學抽象素養的教材分析框架與案例剖析——以人教A版“函數單調性”為例[J]. 數學通報，2019，58（10）.

[4]? 史寧中. 數學思想概論（第1輯）：數量與數量關系的抽象[M]. 長春：東北師范大學出版社，2008.