方陣的特征值與特征向量教學設計

盧勇

【摘要】本文主要研究方陣的特征值與特征向量的教學設計.首先，通過相似矩陣引入了方陣的特征值與特征向量.其次，給出了方陣的特征值與特征向量的具體求法.最后，將思政元素融入教學內容，讓課堂內容更加豐富.

【關鍵詞】特征值;特征向量;教學設計

1 引 言

矩陣是線性代數中的重要知識點，關于矩陣的相關性質一直以來也是我們關注和學習的重點.方陣的特征值與特征向量是矩陣的重要研究內容之一，涉及相似對角化、化二次型為標準型及正定二次型等問題.本文主要為大家呈現方陣的特征值與特征向量的教學設計，目的是同大家交流如何才能教好方陣的特征值與特征向量這一課.

2 教學過程

2.1 問題引入

首先，我們回顧相似矩陣的概念：

定義1[1] 設A與B是兩個n階方陣，如果存在可逆矩陣C，使得：C-1AC=B，

就稱矩陣A與B相似，記為A～B.

通過相似矩陣內容的學習我們知道，相似矩陣具有很多相同的性質，比如相同的秩、行列式及跡等.因此，當我們研究一個矩陣A的某些性質，比如秩或行列式時，就可以借助其相似矩陣來研究.當然，我們希望所選取的與A相似的矩陣的形式越簡單越好.主對角陣可以說是形式上比較簡單的一種矩陣.設：

反之，如果一個矩陣A滿足Aξi=λiξi，i=1，2，…，n.由Aξi有意義，可知A的列數等于n.再由等號成立，可知A的行數也等于n.因此，滿足這一式子的矩陣A只能是方陣.綜合上面的討論，就引出了我們今天要研究的方陣的特征值問題.

則稱λ是A的一個特征值，ξn就是屬于特征值λ的一個特征向量.

根據特征值與特征向量的定義，我們做如下簡單分析：

1.首先需要強調的是特征向量都是非零向量.如果ξn是零向量，那么對于任意的數λ都有Aξn=λξn.這樣的討論無意義.

2.其次，一個方陣的特征值可能不止一個，而屬于特征值λ的特征向量也可能不止一個.比如，對于方陣A，設λ是A的一個特征值，ξn是屬于特征值λ的一個特征向量.對于任意一個不為零的常數k，有因此由特征值與特征向量的定義可知kξn也是A的屬于特征值λ的特征向量.

3.同時，我們也發現，若ξ1，ξ2是A的屬于特征值λ的特征向量，則有k1ξ1+k2ξ2也是A的屬于特征值λ的特征向量，其中k1，k2不全為0.理由如下：

4.特別地，如果方陣A=0，則Aξn=0ξn=λξn，由于ξn是非零列向量，所以A的特征值只能是0，即零矩陣的特征值只能是0，且任意的n維非零列向量都是屬于特征值0的特征向量.

5.當n階方陣A不可逆時，|A|=0，所以以方陣A為系數矩陣的齊次線性方程組Ax=0有非零解，由特征值與特征向量的定義我們知道0是A一個特征值，且任一n維非零列向量都是屬于特征值0的特征向量.

從上面我們能夠看出一些特殊矩陣的特征值與特征向量，但是對于一般的方陣，我們該如何求它的特征值與特征向量呢？下面，我們將圍繞該問題展開探究.

2.2 特征值與特征向量的求法

我們從定義出發.設λ1是A的一個特征值，ξ是屬于特征值λ1的一個特征向量，則有Aξ=λ1ξ，即（A-λ1E）ξ=0，從而齊次線性方程組（A-λ1E）x=0有非零解ξ，我們可得|A-λ1E|=0.

反之，如果|A-λ1E|=0，則以A-λ1E為系數矩陣的齊次線性方程組（A-λ1E）x=0有非零解，不妨設ξ是其中一個非零解，則有（A-λ1E）ξ=0，變形可得Aξ=λ1ξ，由定義可知，λ1是A的一個特征值，ξ是屬于特征值λ1的一個特征向量.

通過上面的分析我們可以得到一個判定一個數是否是方陣的特征值的定理.

定理1 設A是n階方陣，則數λ1是A的特征值的充要條件是：

定理1 的簡單應用：由定理1我們可以知道若A+E不可逆，則-1就是A的一個特征值.

當然，我們也可以將|A-λ1E|=0寫成|λ1E-A|=0.那么，當λ1是一個變量的時候，不妨寫為λ，由行列式的定義我們知道|λE-A|是一個關于λ的n次多項式，為了方便起見，我們可以稱其為矩陣A的特征多項式，并記為fA（λ）.因此，由定理1我們知道，A的特征多項式的根就是A的特征值.下面，我們來討論如何求特征向量.

當我們求出fA（λ）的一個根即矩陣A的一個特征值λ1時，我們知道fA（λ1）=0，即|λ1E-A|=0，所以，以λ1E-A為系數矩陣的齊次線性方程組（λ1E-A）x=0有非零解ξ，這個ξ就是屬于特征值λ1的一個特征向量.由上面的討論我們知道，對于任意一個非零數k，kξ也是屬于λ1的特征向量.因此，我們知道求所有屬于特征值λ1的特征向量，就是求齊次線性方程組（λ1E-A）x=0的一個基礎解系，比如ξ1，ξ2，…，ξs，則屬于λ1的特征向量就為k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs，其中k1，k2，…，ks是不全為0的任意常數.

綜上所述，我們給出一般的求矩陣A的特征值與特征向量的方法.

求特征值與特征向量的步驟：

1.計算fA（λ）=0的所有根，即屬于矩陣A的所有特征值.

2.對于A的每個特征值λ1，求出齊次線性方程組（λ1E-A）x=0的一個基礎解系，不妨設為ξ1，ξ2，…，ξs，則屬于特征值λ1的所有特征向量為k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs，其中k1，k2，…，ks是不全為0的任意常數.

下面，我們將通過具體實例，來求出矩陣的特征值與特征向量.

例1 設A=-110-430102，計算A的特征值與特征向量.

解 A的特征多項式：

fA（λ）=|λE-A|=λ+1-104λ-30-10λ-2.

按第3列展開，計算行列式可得fA（λ）=（λ-2）（λ-1）2.因此矩陣A的所有特征值為λ1=2，λ2=λ3=1.

對于特征值λ1=2，計算齊次線性方程組（λ1E-A）x=0，即：

3-104-10-100x1x2x3=0的一個基礎解系為ξ1=001.因此，屬于特征值λ1=2的所有特征向量為k1ξ1，其中k1是不為0的任意常數.

對于特征值λ2=λ3=1，計算齊次線性方程組（λ2E-A）x=0，即：

2-104-20-10-1x1x2x3=0的一個基礎解系為ξ2=-1-21.因此，屬于特征值λ2=λ3=1的所有特征向量為k2ξ2，其中k2是不為0的任意常數.

2.3課堂小結與思政

本節課我們主要通過相似矩陣引入方陣的特征值與特征向量.通過特征值與特征向量的定義，我們分析了幾類特殊方陣的特征值與特征向量.同時，我們也給出了求方陣特征值與特征向量的具體方法.通過相似矩陣的學習，我們知道相似矩陣具有許多相同的性質，當研究一個矩陣的某些性質時，我們可以先研究與該矩陣相似的在形式上較簡單的矩陣.在生活中，我們要善于發現問題腳踏實地，刻苦鉆研，從而不斷進步，不斷成長，最終實現人生價值.在下一節課，我們將給出更多關于矩陣特征值與特征向量的結論.其中涉及矩陣的特征值與矩陣自身之間的關系，如：

定理2 設A是n階方陣，A有n個特征值λ1，λ2，…，λn，則：

（1） λ1+λ2+…+λn=tr（A）（矩陣A的跡，即主對角元素之和）.

（2） λ1λ2…λn=|A|.

以及矩陣多項式的特征值與矩陣的特征值之間的關系.關于定理2請大家課后思考，我們下節課再一起學習.

【參考文獻】

[1]蔣永泉，賈志剛，黃建紅.線性代數[M].上海：上海交通大學出版社，2018.

[2]同濟大學數學系.工程數學線性代數（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.