初中數學“二次函數”概念教學的有效性策略

金榆潔

【摘要】本文以“二次函數”教學為例，結合具體教學片段，立足建模思想、函數思想、類比思想和直觀思想，從創設問題情境、追求“深”“透”“精”、處理課堂意外、關注學生實際四個維度來探索“二次函數”概念教學的有效性策略.

【關鍵詞】概念教學;二次函數;有效性

李邦河院士認為，數學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！數學概念的學習是數學能力提升的核心，是培養學生數學思維的根本.概念教學與解題技巧兩者存在密切關聯，概念教學是強化解題技巧的基礎，解題技巧是有效概念教學的直接反映.如果將概念與技巧的位置交換，以表層的解題教學代替深層的概念教學，就違背了數學教育的初衷.因此，探索概念教學的有效性策略具有深刻的現實意義.

一、創設問題情境，引入函數概念

問題情境能夠幫助學生在數學知識與生活經驗之間建立橋梁，能夠以生動的方式呈現數學知識，降低教學內容的抽象性.問題情境的創設要注重科學性、合理性，如果在教學中過分強調情境創設，而忽略了新課內容和學生的實際需要，那么這種不恰當的情境反而會使學生失去興趣，難以達到理想的教學效果.因此，教師在創設問題情境時，不能盲從主流，需要考慮現實因素.

以“二次函數”問題情境創設為例，設計如下教學片段.

多媒體展示問題1，2和3：

問題1：門前有一塊不規則的大草坪，在讀幼兒園的小凡突然靈光閃現，想用一條10米長的繩子在那里圍一塊長方形小草坪，以便搭建城堡.想一想，它的長和寬分別是多少米時，草坪面積是最大的？

問題2：小凡和媽媽一起去逛超市，看到一種草莓口味的餅干.這種餅干售價為每千克15元，則小凡購買餅干的金額y元與餅干重量x千克之間有什么關系？你們能不能列出式子？

問題3：有一家口罩制造廠，若每天安排20位工人，則每人每天可加工口罩120個;若工廠招聘新員工，則每增加1人，每天每人可少加工口罩4個.目前口罩供不應求，工廠領導希望每天加工口罩的數量最多.能不能運用數學知識幫幫忙？

師：現在四位同學為一組，討論問題1，2，3能分別用什么函數式來表達？

組1：y=-x2+5x，y=15x，y=-4x2+40x+2400.

師：這組同學對題意有了透徹的理解.接下來進一步思考，將上面這三個函數表達式分分類.

組2：第一類是一次函數y=15x，第二類是y=-x2+5x和y=-4x2+40x+2400.

師：很好，這組的同學敏銳地發現了一次函數.說到一次函數，大家是否還記得一次函數的概念？

組3：一次函數的表達式是y=kx+b（k≠0）.

師：看來大家對一次函數的印象很深刻.它是關于自變量的一次式，且自變量一次式前的系數不為零.

師：我們知道了第一類是一次函數，那么第二類是什么函數呢？大家有什么新發現嗎？

生：……

從問題1，2，3中抽象概括出y=-x2+5x，y=15x，y=-4x2+40x+2400的過程，就是建模過程.建模思想要求學生在較高觀點下提煉問題的本質，運用數學語言來簡化、刻畫和解決問題.教師要從學生的心理特點和學習現狀出發有意識地滲透建模思想.此外，問題情境與“在讀幼兒園的小凡”這樣活生生的人物及生產口罩這樣的實際結合起來，添加了生活元素，弱化了數學的抽象性.

深度的情境創設是數學概念教學實現從表層符號學習進入知識內在的結構意義理解的必要條件，也是重要的教學設計途徑.教師要從游戲性、故事性、問題性、真實性、重復性、科學性等維度提高概念教學的情境創設水平，通過再現生活場景，讓學生感悟數學來源于生活，激發學生學習數學知識的熱情，促進后續有效課堂的順利打造.因此，設計合適的問題情境是提高二次函數概念教學有效性的重要策略.

二、追求“深”“透”“精”，講解函數概念

“深”“透”“精”指的是知識的深度和厚度.流于表面的知識，最終會隨著知識體系的擴大和知識難度的增大而逐漸被淡忘.只有將知識講“深”，學生才能舉一反三，并內化到自身的數學框架之中;只有將知識講“透”，學生才能透過現象領悟本質;只有將知識講“精”，學生才能牢固掌握，依托積累的數學知識解決問題.教師在講解函數概念的同時，需要無形地滲透類比等數學思想方法，這不僅是一個“明確概念”的要求，還是一個“用心感悟”的過程.

以上述“二次函數”問題情境的后續教學為例，闡明“深”“透”“精”的具體操作及意義.

師：我們接著剛才的問題研究，能不能知道第二類函數的名稱？

生：……

師：聯系一次函數的概念來看第二類函數，表達式含有x2，可以稱為什么呢？

生：二次函數.

師：猜想正確.根據一次函數的概念，試著運用類比的方法，描述你心中的二次函數.

生：表達式像y=ax2+bx+c這樣的函數就是二次函數.

師：前面組3提到一次函數的表達式時，明確指出k≠0，這是為什么？

生：當k=0時，y=b，而b是一個常數.此時，不存在未知數x.

師：若a=0，y=ax2+bx+c是一次函數、二次函數還是常數？

生：當a=0時，y=bx+c，此時是一次函數或者常數.

師：對，“二次函數”中“二次”是針對x2而言的，如果不存在x2，那也就稱不上是二次函數了.

函數思想是指利用運動和變化的觀點、集合與對應內在聯系去分析和研究數學問題中的數量關系，直接或間接地運用函數圖像、性質等知識對問題進行分析、轉化和解決的思想.譬如，研究投籃后籃球運動的路線或噴水池中噴出水柱的最大高度問題，就能實現生活實例與函數思想的有效結合.教師通過類比一次函數來引導學生猜想第二類函數名稱，體現了“深”;教師針對學生回答得不太嚴謹的概念，提問為什么要限制k≠0的條件，體現了“透”;教師以問題串的形式，步步追問，最終讓學生對概念形成了深刻理解，體現了“精”.

章建躍教授認為：適當應用反例，羅列一些似是而非、容易產生錯誤的對象讓學生辨析，是促進學生認識概念的本質、確定概念的外延的有效手段.概念教學與其他領域的教學有所不同，它允許錯誤概念的存在.不嚴謹，甚至是錯誤的概念也有利于學生掌握正確的概念，其關鍵在于“揭示存在的沖突與矛盾”.因此，將知識講“深”、講“透”、講“精”是提高二次函數概念教學有效性的隱含條件.

三、處理課堂意外，獲得驚喜收獲

學生有著活躍的思維和獨特的個性，充滿著無限的活力和創造力，會不時地給課堂帶來許多意外和驚喜.教師應鼓勵學生在數學課堂上發出不同的聲音，促進其自由發展.處理未知的課堂意外考驗教師的教學藝術，教師運用自己的教學智慧解決課堂意外，能夠進一步推進數學概念教學的深化，這也是教師教學水平和能力的反映.

在前面鋪設層層情境和復習回顧一次函數的概念后，可能會發生如下情形.

師：猜一猜第二類是什么函數，有何特點？和已經學習的一次函數是否存在差別呢？

生：是二次函數.

師：什么是二次函數？

生：是指表達式是y=ax2+bx+c，并且要求a≠0這樣的函數.

師：它的表達式為什么是y=ax2+bx+c？你是怎么得到的？

生：因為關于自變量的一次式，我們稱作一次函數，而第二類函數中有x2，它是自變量的二次式.

師：為什么要求a≠0？

生：通過提前預習知道的.

師：預習的習慣在數學學習中至關重要.a≠0是二次函數概念中容易遺漏的條件，大家能不能與一次函數相聯系來思考一下a≠0是怎么得到的？

類比思想是根據某個概念已知的特征來推測另一概念可能相應存在的特征，并且這兩個概念之間存在著一定的隱性聯系.類比將具有相同特征的概念聯系起來，不斷拓寬學生的知識面.學生通過這兩類具有相似特征的函數的類比，可以進一步推導出二次函數的概念與性質.

當教師提出問題“什么是二次函數”時，預設學生表達不完整，教師在學生遺漏a≠0的基礎上強調其重要性，加深學生的印象，以達到強化的作用.在上述教學片段中，學生的回答與教師預設的教學安排不一致時，教師能夠變通化解課堂意外，通過與學生對話，步步深入，指向教學目標，有效地強化二次函數的概念.因此，恰當地處理課堂意外是提高數學教學的“催化劑”.

四、關注學生實際，總結函數概念

數學教學必須以生為本，了解學生可能面臨的困難，如難以從生活實例中抽象出函數表達式、難以把握函數思想、難于納入已有的函數體系等.教師在二次函數課堂的最后總結時，可以讓學生自由分組，自主討論一次函數概念與二次函數概念的共同點和不同點，逐漸將教學重心轉移到“教會學生會學知識”，將課堂的一部分時間交給學生，讓他們在討論中碰撞出火花，實現知識的內化.

師：現在自由分組，根據今天所學的知識，討論一次函數與二次函數的概念有什么異同點.

經過5分鐘的討論，分享討論成果.

組1：我發現這兩個函數的表達式不同.

師：還有沒有其他不同點？

組2：“一次”和“二次”，簡單地說就是次數的區別.

師：對，次數是兩者最大的區別，二次函數是在一次函數基礎上“次”的推廣.

師：它們又有什么共同點？

組3：都屬于函數的領域，有助于刻畫客觀世界和解決具體問題.

師：還有其他的共同點嗎？

組4：一次函數要求k≠0，二次函數也要求a≠0.

師：對，也就是要求未知數的次數最高項系數不能為0.

教師在學生自由討論、發言的基礎上，以書面化、數學化的語言描述兩者的差別，如表1所示.

教師在總結函數概念的過程中，要注重滲透數學直觀思想.以表格的形式總結一次函數概念與二次函數概念的異同，使學生直觀地認識到二次函數的概念并透徹地理解兩者之間的異同點.其中，直觀在實質上是指借助某種手段或形式使復雜的數學問題變得形象、易于理解，不能將其簡單地理解為用圖形表達數學含義.

在上述教學片段中，教師立足于學生現狀進行有效的探索，將“關注學生”“從學生出發”落到實處，適當降低數學知識的認知難度，增加具有趣味性的討論、活動環節，依托自由討論鼓勵學生交流學習收獲，讓學生自主構建函數概念網絡.因此，關注學生實際是提高二次函數概念教學有效性的立足點.

總 結

創設問題情境，降低了概念教學的抽象性和距離感;追求“深”“透”“精”，將厚重的數學知識講薄、講清晰;處理課堂意外，深化概念生成，獲得意外收獲;關注學生實際，使學生在數學學習和心理成長上都取得一定的發展.總之，從上述四個維度入手精心設計教學內容和無聲地滲透數學思維方法，有助于實現二次函數概念的精準教學.

【參考文獻】

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