數(shù)的多維化表達(dá)探討

解家江

【摘要】數(shù)是事物的特定屬性的量值的形式表示.從自然數(shù)到實(shí)數(shù)再到復(fù)數(shù)，是數(shù)從離散到一維再到二維的拓展.為了用一個(gè)數(shù)表達(dá)事物多個(gè)屬性的量值，將復(fù)數(shù)概念推廣，比擬歐幾里得幾何，即得到多維歐幾里得數(shù)和多維非歐幾里得數(shù)的概念，由此產(chǎn)生了多維歐幾里得“數(shù)空間”和多維非歐幾里得“數(shù)空間”，并引申出多維歐幾里得數(shù)和多維非歐幾里得數(shù)的基本運(yùn)算規(guī)則.

【關(guān)鍵詞】多維歐氏數(shù);多維非歐氏數(shù);數(shù)空間

一、數(shù)的發(fā)展簡史隱含數(shù)的多維化趨勢

數(shù)，是日常生活中不可缺少的，更是自然科學(xué)之父，然而遠(yuǎn)古人類是沒有數(shù)的概念的.遠(yuǎn)古人類對數(shù)只有模糊的認(rèn)識，最初形成“有”和“無”的概念，隨著 “有”“無”概念逐漸加深，在對勞動(dòng)成果的食用、比較中，感覺到某天獵獲的食物不夠吃，某天獵獲的食物足夠吃或有剩余，便又逐漸產(chǎn)生了“多”和“少”的概念.最早至舊石器時(shí)代的晚期，隨著人類勞動(dòng)的復(fù)雜化、語言的產(chǎn)生、智力的快速發(fā)展，人類“數(shù)”的概念終于覺醒，人類識別出了獵物、食物以至自身的一個(gè)又一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，并認(rèn)識到它們“有數(shù)量”，進(jìn)一步嘗試表達(dá)、記錄這種“數(shù)量”，或是用結(jié)繩計(jì)數(shù)，或是用樹枝劃線、畫圖形計(jì)數(shù).《易經(jīng)》記載，上古時(shí)期的中國人曾“結(jié)繩而治”，就是用在繩上打結(jié)的辦法來記事表數(shù)，美索不達(dá)米亞人和埃及人也以同樣的方式建立了最早的書寫自然數(shù)的系統(tǒng)，在樹木或石頭上刻痕劃印來記錄流逝的日子，都用單劃表示“一”，這樣逐漸產(chǎn)生了“1”“2”“3”等數(shù)量的概念，這也是自然數(shù)概念的雛形.大約在1萬年前，人類尤其是中東地區(qū)的部落開始了農(nóng)耕生活，他們碰到了“如何記錄日期、季節(jié)”“如何計(jì)算田地塊數(shù)、大小”“如何計(jì)算收藏谷物數(shù)、種子數(shù)”等問題，這就要求數(shù)要有名稱，而且計(jì)數(shù)必須更準(zhǔn)確些，只有“一”“二”“三”“多”，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠了，他們嘗試以符號代替刻痕.為了記錄事物很大的數(shù)量，古人很早就發(fā)明了進(jìn)位制.所以數(shù)起源于原始人類的生活所需，各種表達(dá)、記錄自然數(shù)的符號，是人類最偉大的發(fā)明之一.而這種符號系統(tǒng)中最好用、并被世界各地普遍接受的是阿拉伯?dāng)?shù)字，阿拉伯?dāng)?shù)字起源于印度，是公元3世紀(jì)由印度的一位科學(xué)家巴格達(dá)發(fā)明的，經(jīng)由阿拉伯人傳向四方.有意思的是，“0”這一神秘、重要的數(shù)字，也是印度人對哲學(xué)“絕對無”思想做深入思考后的發(fā)明.至此，自然數(shù)及其表達(dá)符號系統(tǒng)（阿拉伯?dāng)?shù)字）已經(jīng)完整的產(chǎn)生了.

不過由于食物、用品分配的需要，古人發(fā)現(xiàn)，僅僅有自然數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的，比如：7個(gè)人一起狩獵得到一只野羊，如何分配？一位母親手中有一個(gè)大玉米棒，她有2個(gè)子女時(shí)，她可能無意識地就將玉米棒掰成較均勻的2部分.這樣的行為反復(fù)沖擊古人的思維，久而久之，分?jǐn)?shù)概念就產(chǎn)生了.

再后來，經(jīng)過觀察、思考，人們又發(fā)現(xiàn)很多表達(dá)事物性質(zhì)的量值具有相反的意義，比如增加和減少、向上和向下、向前和向后，為了表達(dá)這樣的量，人們又發(fā)明了負(fù)數(shù).于是正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和0，就形成了有理數(shù).

在古代，對有理數(shù)的研究無疑是古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派最為出色.但又是畢達(dá)哥拉斯的一位弟子希帕索斯的研究成果給畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)大廈帶來了危機(jī).希帕索斯和學(xué)生畫了一個(gè)邊長為1的正方形，但是這個(gè)正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形邊長是1，則其對角線的長不是一個(gè)有理數(shù)）.雖然這條對角線就實(shí)實(shí)在在地呈現(xiàn)在人們眼前，可它的長度是多少呢？又該怎樣表示呢？最后希帕索斯認(rèn)定這是一個(gè)從未見過的新數(shù).這就是后來人們命名的“無理數(shù)”，這些數(shù)無法用準(zhǔn)確的數(shù)字表示出來，是無限不循環(huán)小數(shù).不過這一發(fā)現(xiàn)給希帕索斯帶來的不是榮耀，而是災(zāi)難，這類數(shù)的性質(zhì)與畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭，導(dǎo)至最后希帕索斯被沉船處死.

盡管如此，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)還是傳播開來并得到大家認(rèn)可.數(shù)學(xué)家通過對無理數(shù)和有理數(shù)進(jìn)行整理，就形成了實(shí)數(shù).在這一過程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，人類發(fā)現(xiàn)的數(shù)字已浩如煙海，已從零星發(fā)展到密集，從分散發(fā)展到連續(xù).于是，16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家笛卡兒用數(shù)軸將實(shí)數(shù)可視化，把每一個(gè)實(shí)數(shù)填入數(shù)軸中的每個(gè)點(diǎn).

實(shí)數(shù)系統(tǒng)并沒有給快速發(fā)展的近代數(shù)學(xué)提供堅(jiān)不可摧的支撐，“x2+n=0”這類方程（n為正數(shù)），就曾使徘徊于實(shí)數(shù)系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)家不知所措.天才數(shù)學(xué)家高斯為使方程“x2+1=0”有解大膽地引入了“i”這個(gè)虛數(shù)單位，不僅使方程得解，并且將數(shù)這一龐大系統(tǒng)擴(kuò)展到復(fù)數(shù)，即實(shí)數(shù)和虛數(shù)構(gòu)成復(fù)數(shù).在此基礎(chǔ)上建立了復(fù)平面的概念.

回顧人類對數(shù)的認(rèn)識，我們不難得出：數(shù)的本質(zhì)是已被限定范圍的事物的特定屬性的量值的形式表示，當(dāng)給出一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)不僅反映了一事物某屬性的量值，而且也隱含了該事物的質(zhì)，例如“2cos θ+36sin θi”在物理上就能表示電流的性質(zhì)，清晰而簡潔.數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展伴隨著人類的進(jìn)步，人類對數(shù)的認(rèn)識從自然數(shù)發(fā)展到了復(fù)數(shù)[1].下面嘗試對復(fù)數(shù)這一表達(dá)方式進(jìn)行拓展，引入數(shù)的多維表達(dá)方式，通過多維數(shù)來表達(dá)一事物不同性質(zhì)的多方面的量值的大小.

二、數(shù)的一維、二維化表達(dá)

在數(shù)的不斷認(rèn)識和應(yīng)用中，為了使數(shù)形象化、直觀化，笛卡兒為我們引入了數(shù)軸這一工具.在數(shù)軸上表示自然數(shù)，為：0，1，2，3……它們是離散的，很明顯各相鄰的自然數(shù)之間有等長空隙;認(rèn)識分?jǐn)?shù)后，數(shù)與數(shù)之間間隔變小;引入負(fù)數(shù)概念后，數(shù)軸在另一方向上無限延伸;發(fā)現(xiàn)無理數(shù)后，數(shù)發(fā)展為實(shí)數(shù)，數(shù)軸被填充滿[2].于是完成了數(shù)的“一維化”.

其后，高斯為了解方程“x2+1=0”，引入了虛數(shù)單位i，數(shù)便發(fā)展到復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)表示為：a+bi.

至此，復(fù)平面被充滿，完成了數(shù)的“二維化”.

在這種情形下，數(shù)軸是直的，復(fù)平面是平的，比擬歐幾里得幾何，實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)可分別稱為一維歐幾里得數(shù)、二維歐幾里得數(shù).

三、多維歐氏數(shù)

比照空間幾何學(xué)，再次提高數(shù)的維度，引入三維歐幾里得數(shù)，表達(dá)為a+bi+cj，a，b，c為實(shí)數(shù).

如果將三維歐氏數(shù)形象化，則三維歐氏數(shù)均勻地充滿三維數(shù)空間，向上、下、左、右、前、后平直延伸.三維歐氏數(shù)的三個(gè)數(shù)軸可互相垂直，也可不互相垂直.

使用三維歐幾里得數(shù)可以方便地表達(dá)一事物三方面屬性的大小及其相互間的關(guān)系.

為了表述一事物更多方面屬性的大小及關(guān)系，進(jìn)一步引入多維歐幾里得數(shù).其表達(dá)形式為：ai1+bi2+ci3+…+min，i1，…，in相當(dāng)于數(shù)在某維（某數(shù)軸）上的單位量值，多維數(shù)各個(gè)數(shù)軸可以互相垂直，也可以不互相垂直，但各數(shù)軸是平直延伸的，因而可稱這種數(shù)為多維歐氏數(shù).

多維歐幾里得數(shù)均勻布滿平直延伸的歐幾里得數(shù)空間.

四、多維非歐氏數(shù)

與多維歐幾里得數(shù)對應(yīng)，為了表達(dá)一事物多個(gè)復(fù)雜且變幻的屬性的量值及其關(guān)系，進(jìn)一步引入多維非歐幾里得數(shù).

其形式為：aj1+bj2+cj3+…+mjn，j1，…，jn相當(dāng)于數(shù)在某維（某數(shù)軸）上的單位量值.

對于多維非歐氏數(shù)空間，規(guī)定：

（1）數(shù)空間中的數(shù)軸是非平直延伸的;

（2）數(shù)空間中各個(gè)區(qū)域中數(shù)的密度不是完全相同的，即密度不是均勻的.

規(guī)定（1）的意思是：對于相鄰的“數(shù)點(diǎn)”A，B，連接A，B兩點(diǎn)，作此連線的切線，則與A點(diǎn)或B點(diǎn)最近的點(diǎn)不一定在此切線上.

規(guī)定（2）的意思是：如果以σ為半徑將數(shù)空間分為一個(gè)一個(gè)的區(qū)域，則各個(gè)以σ為半徑的子數(shù)空間區(qū)域中，數(shù)的“個(gè)數(shù)”不全相同，有的區(qū)域可能有很多個(gè)或無限多個(gè)數(shù)，有的區(qū)域可能有較少個(gè)數(shù)，而有的區(qū)域則可能為“空數(shù)區(qū)域”，即該區(qū)域沒有任何數(shù).

為了準(zhǔn)確地表述多維非歐氏數(shù)及多維非歐氏數(shù)空間，引入描述數(shù)空間非平直（彎曲）程度的一個(gè)量γ，和描述非歐高維數(shù)密度的量ρ.γ和ρ在多維非歐式數(shù)空間中是可變的.

在多維歐氏數(shù)空間中，也需要由γ和ρ來表述數(shù)空間的特征，只不過這里的γ和ρ被認(rèn)為是恒量，γ恒等于歐氏數(shù)空間中的Ι，而ρ恒為D∞，D∞表示在任意無窮小的區(qū)域中數(shù)是均勻可數(shù)而無限多的.

五、多維歐氏數(shù)及多維非歐氏數(shù)的大小比較

實(shí)數(shù)在本質(zhì)上表達(dá)了事物一方面的屬性的大小.復(fù)數(shù)卻可以表述某事物的互相區(qū)別、互相獨(dú)立，又互相聯(lián)系、互相統(tǒng)一的兩方面的屬性的量值.

對于多維數(shù)之間的大小比較，任何低于m維的數(shù)都可在m維水平上比較大小，但m維的數(shù)只能在不低于m維的水平上比較大小.

對于甲、乙兩個(gè)m維數(shù)，如果甲數(shù)的第n（n

這樣m維數(shù)大小之間的關(guān)系便只有在決定了在第幾維比較時(shí)才有意義，于是數(shù)之間的大小關(guān)系便沒有了絕對性，而只有相對性和相對意義.甲、乙兩個(gè)m維數(shù)，在第n維上可能甲數(shù)大于乙數(shù)，而在第n+1維上可能乙數(shù)大于甲數(shù).數(shù)之間的大小關(guān)系擺脫了絕對性后，這樣的m維數(shù)才更具有表達(dá)事物“質(zhì)”和“量”的功能.

六、多維數(shù)的初步運(yùn)算規(guī)則

在此討論最基本的加減法.一般情況下，加減運(yùn)算都是對事物同質(zhì)的數(shù)量的運(yùn)算（像歐拉公式V+F-2=E，表達(dá)的是立體幾何面、頂點(diǎn)、邊線之間的不變關(guān)系，它不是我們在此討論的量的運(yùn)算），如：

3只羊加5只羊，表達(dá)為3+5=8，總數(shù)為8只羊;

12千克桃加7千克桃，表達(dá)為12+7=19，即總數(shù)為19千克桃.

但對于4只羊加6只雞或8千克雞蛋加9本書需要如何運(yùn)算呢？對于這種情形，必須從運(yùn)算的對象中提取出相同的性質(zhì)、特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“同質(zhì)運(yùn)算”，如羊和雞同屬“動(dòng)物”，則4只羊加6只雞表達(dá)為：

4+6=10只動(dòng)物.

而8千克雞蛋加9本書這種情景，要復(fù)雜一些，必須先統(tǒng)一計(jì)量單位，或?qū)㈦u蛋按個(gè)計(jì)數(shù)，或?qū)景辞Э擞?jì)量，這樣我們對二者提取的同質(zhì)為“固形物”，運(yùn)算后就能得到總數(shù)為N個(gè)“固形物”或m斤“固形物”.

而對于3只羊與1群羊相加這樣的問題，是有限集與無限集的運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果是無限集.諸如傍晚回家的5群羊被趕進(jìn)一個(gè)院子，它們就變成了1群羊，即1+1+1+1+1=1，因?yàn)槊咳貉蚨伎烧J(rèn)為是無限集.

由于多維非歐氏數(shù)空間的特點(diǎn)，多維非歐氏數(shù)運(yùn)算比多維歐氏數(shù)運(yùn)算復(fù)雜，在運(yùn)算中，必須注意多維非歐氏數(shù)密度ρ和數(shù)空間曲率γ的變化.由于這一原因，即使多維非歐氏數(shù)的加減運(yùn)算，也比多維歐氏數(shù)的加減復(fù)雜得多.

【參考文獻(xiàn)】

[1]凱萊布·埃弗利特.數(shù)字起源[M].魯冬旭，譯.北京：中信出版集團(tuán)，2018.

[2]朱家生.數(shù)學(xué)史[M].北京：高等教育出版社，2004.