考慮鋼筋滑移效應的高壓隧洞襯砌配筋計算方法

蘭偉欽，肖 明

(1.武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室，湖北 武漢 430072；2.武漢大學水工巖石力學教育部重點實驗室，湖北 武漢 430072)

水工壓力隧洞在實際運行中受內水壓力的作用，在高水頭條件下襯砌內部混凝土的環向拉應力容易超過其抗拉強度導致襯砌產生開裂，為防止高壓水滲入襯砌內部銹蝕鋼筋，襯砌的配筋應滿足限裂設計的要求[1-2]。目前，壓力隧洞襯砌的限裂配筋計算一般通過半經驗半理論的裂縫寬度公式進行，并通過有規律地試算裂縫寬度直到滿足襯砌的限裂標準來確定經濟合理的配筋面積。相關研究表明[3]，水工隧洞襯砌結構的鋼筋應力是影響裂縫寬度的關鍵因素之一，要算襯砌裂縫寬度首先需計算鋼筋應力，但求解精確的鋼筋應力較困難，傳統方法只能根據經驗公式或等效近似法估算其大小，所得結果與實際值有較大偏差。而以有限元為代表的數值方法因考慮襯砌的邊界和材料的本構模型等影響因素，可真實地模擬襯砌在設計工況下鋼筋和混凝土的承載特征，通過迭代計算所獲得的襯砌鋼筋應力和裂縫寬度更符合工程實際[4-5]。當水工壓力隧洞的襯砌產生開裂時，鋼筋和混凝土在交界面上相對滑動，襯砌的鋼筋應力和混凝土的剛度均發生改變[6]。目前，現有的數值計算方法尚未考慮到襯砌開裂后混凝土的損傷和鋼筋的滑移效應對鋼筋應力的影響。

本文基于損傷有限元，提出一種考慮混凝土損傷和鋼筋滑移的水工隧洞襯砌配筋限裂計算方法：采用鋼筋混凝土組合力學模式，建立考慮滑移效應的鋼筋應力迭代計算方法，并根據水工隧洞襯砌限裂設計原則確定限裂配筋的計算流程。

1 鋼筋混凝土襯砌限裂配筋計算方法

本文采用彈塑性損傷有限元[7]模擬高壓隧洞襯砌-圍巖的聯合承載，其中鋼筋按彈性材料考慮，圍巖和混凝土均按照彈塑性損傷材料考慮。襯砌單元采用鋼筋混凝土組合式模型[8]模擬，混凝土單元采用八節點六面等參單元模擬，鋼筋單元采用桿單元模擬。

1.1 鋼筋-混凝土組合模型的力學模式

為了便于混凝土襯砌不同配筋方案的計算，又不影響有限元整體網格的剖分，本文采用將鋼筋模型隱埋在混凝土模型內形成組合模型的方式來模擬鋼筋和混凝土的聯合作用(如圖1)。由于襯砌的受力鋼筋模型布置在多個混凝土單元中，可根據鋼筋線與混凝土單元表面的交點對鋼筋模型進行分段，形成各個組合單元中的隱式鋼筋單元，其中鋼筋單元的兩端點(i,j)位置坐標可通過聯立鋼筋線的空間曲線方程和混凝土單元的表面方程進行求解[9]。

圖1 鋼筋在襯砌中的布置形式圖

假設鋼筋單元只存在沿桿長方向上的軸向剛度，以傳遞軸向力，其他方向的剛度為0，則組合單元中鋼筋在其軸向的剛度為：

Ka=EsAs/L

(1)

式中：Es為鋼筋的彈性模量；As為橫截面積；L為鋼筋單元兩端點間的距離；設l、m、n為鋼筋軸向在整體坐標系下的方向余弦，則其整體坐標系下的軸向剛度矩陣為：

(2)

因為鋼筋單元是隱埋在混凝土單元中的，因此還須將鋼筋單元產生的附加剛度迭加到混凝土單元中去。根據有限元的基本理論[7]，可推出鋼筋對混凝土的等效附加剛度為：

[Ks]=[N]T[Ka][N]

(3)

式中，[N]為混凝土單元的形函數矩陣：

[N]=[NiNj]T

(4)

式中，Ni和Nj為混凝土單元在第i點和第j點的位移插值矩陣。

將鋼筋的等效附加剛度與混凝土單元的剛度疊加即可得到鋼筋混凝土組合單元的剛度：

Ke=Kc+Ks

(5)

式中，Kc為混凝土單元的剛度。

組合單元的有限元控制方程為：

Pe=Keuc=(Kc+Ks)uc

(6)

式中：Pe為組合單元的等效結點荷載；uc為組合單元的結點位移。

1.2 考慮滑移效應的鋼筋應力迭代計算方法

當內水水頭較小時，襯砌不開裂，鋼筋和混凝土均處于彈性應力狀態，兩者協調變形。假設混凝土襯砌在開裂前為各向同性的線彈性材料，此時鋼筋單元的應力可按下式計算：

σs=Ka(ui-uj)=Ka(Ni-Nj)uc

(7)

式中：σs為襯砌不開裂時的鋼筋應力；ui和uj為鋼筋單元兩端點的位移。

當內水水頭較大時，襯砌承擔的內水壓力超過其承載極限導致混凝土產生開裂，可采用Mazars根據混凝土拉伸試驗擬合的各向同性彈性損傷模型[10]對其進行模擬：

(8)

式中：D為混凝土的損傷系數；At和Bt為試驗曲線的擬合常數；εt為混凝土的極限拉伸應變；ε為混凝土襯砌單元的第一主應變。

當襯砌產生損傷開裂時，襯砌混凝土因結構內部微裂隙的累積而變形增大，彈性模量和單元剛度減小，同時襯砌混凝土所承擔的荷載減小，鋼筋所承擔的荷載增大。將混凝土單元的彈性模量或剛度按損傷系數折減，鋼筋和混凝土承擔的變形荷載按損傷系數分配[11]。若不考慮混凝土開裂，鋼筋和混凝土共同承擔的變形荷載為：

P=Ps+Pc=(EsAs+EcAc)εc

(9)

式中：Ec為混凝土的彈性模量；Ac為混凝土單元的橫截面積；εc為組合單元的應變。

混凝土開裂后鋼筋所承擔的荷載為：

(10)

將式(9)代入式(10)得到襯砌開裂后的鋼筋應力：

(11)

式(11)的計算條件為襯砌組合單元中混凝土產生開裂后鋼筋不產生滑移，事實上襯砌開裂時鋼筋與混凝土是不協調變形的，兩者在交界面上產生相對滑動且襯砌出現宏觀裂縫，此時鋼筋對混凝土的約束作用減小。本文假定襯砌開裂后組合單元內產生虛裂縫(如圖2)，且其大小近似為混凝土單元產生損傷后與鋼筋單元在交界面上的位移差值s。將式(11)代入Broms和Lutz提出的裂縫寬度經驗公式[12]可計算得到裂縫寬度為：

(12)

式中：A=2dr，d為混凝土的保護層厚度；r為鋼筋間距。

圖2 虛裂縫在襯砌單元中的分布圖

當混凝土產生損傷開裂時，組合單元內鋼筋單元與考慮損傷后的混凝土單元的應力差值為Δσs=EsΔε=Ess/L，將其作為鋼筋單元應力增量產生的附加荷載反向迭加到鋼筋單元的結點上并轉化為組合單元的等效結點荷載：

(13)

聯立式(6)和式(13)得到組合單元第一次考慮損傷后的有限元控制方程：

(14)

根據修正模型中所有組合單元的剛度和等效結點荷載，合成整體控制方程，再次求解各組合單元的應力應變和損傷系數并進行下一步迭代，重復至相鄰兩次迭代計算的鋼筋應力滿足式(15)則認為滿足精度要求：

|(σsn-σs(n-1))/σsn|≤α

(15)

迭代精度α取0.01，σsn為混凝土襯砌在設計條件下的鋼筋應力，該應力結果考慮了混凝土的損傷以及襯砌開裂后鋼筋的滑移效應，將其代入式(12)可求得組合單元的裂縫寬度wn，進一步對襯砌進行限裂配筋計算。

1.3 配筋迭代計算

根據水工隧洞的限裂設計原則[1]，襯砌的配筋設計應使得裂縫寬度不大于設計允許值[w]max。為獲得滿足限裂要求又經濟合理的配筋方案，襯砌配筋可按以下流程計算：①根據結構的強度條件確定初始配筋方案，按線彈性有限元法[4]確定初始配筋量；②利用線彈性有限元法求解襯砌的裂縫寬度并驗算，若裂縫寬度超過設計允許值，則增大配筋量使其小于并接近允許值，若裂縫寬度遠小于允許值則減小配筋量使其接近允許值，直到滿足設定的誤差范圍β[w]max≤wn≤[w]max，其中β為試算精度，取值接近于1。迭代過程中襯砌的配筋量可按縫寬與最大設計允許值的比值進行調整，即An+1=Anwn/[w]max，經試驗一般通過少數幾次迭代即可得到滿足要求的配筋面積。水工隧洞襯砌的限裂配筋計算具體可按圖3所示步驟進行。

2 工程算例

2.1 模型參數介紹

以魯地拉水電站的1號引水隧洞為例，隧洞埋深約200 m，隧洞的開挖斷面為圓形，開挖洞徑11 m，施加襯砌后隧洞的過水洞徑9.4 m。襯砌的混凝土等級為C25，厚度0.8 m，采用雙層對稱Ⅱ級鋼筋布置，鋼筋保護層的厚度為25 mm。模型的初始地應力采用巖體自重產生的應力場。不考慮襯砌所受外水作用，內水壓力按面荷載逐步施加在襯砌單元內表面，襯砌運行時內水壓力水頭為130 m。有限元模型各項材料參數取值見表1。引水洞的三維有限元模型如圖4(a)所示，最大水頭下襯砌線彈性配筋計算的環形鋼筋內外側面積為17 200 mm2，按Φ28@35的布置方案組合在襯砌單元中(圖4(b))，襯砌的允許裂縫寬度假設為0.25 mm。

圖3 水工隧洞襯砌的限裂配筋計算流程圖

表1 有限元模型材料參數表

圖4 三維計算模型圖

2.2 結果分析

2.2.1 鋼筋混凝土襯砌損傷開裂分析

在引水隧洞充水過程中，隨內水壓力變化，襯砌混凝土單元的損傷分布見圖5。當內水壓力較小時，襯砌處于彈性階段，混凝土單元和鋼筋單元共同承擔內水荷載，二者協調變形。當內水水頭達到40 m左右時，襯砌腰部內側開始出現損傷開裂破壞，損傷量值由兩側腰部向底部和頂部減小。此后隨內水壓力繼續增大，襯砌內部微裂隙累積，腰部混凝土單元損傷破壞逐漸增大，并逐漸向頂部和底部擴張。當內水水頭達到100 m左右時，襯砌的腰部混凝土單元損傷量值都超過0.85，襯砌產生貫穿裂縫。

圖5 不同水頭下襯砌混凝土損傷破壞分布圖

以上分析表明，襯砌在內水作用下的危險區域位于兩側腰部，不同水位下襯砌斷面不同角度截面的鋼筋應力分布見圖6。內水水頭較小時鋼筋應力的量值較小且分布均勻，襯砌未產生開裂。當內水水頭達到40 m時襯砌產生裂縫，環向鋼筋腰部的應力較大。當內水壓力增大到100 m左右，襯砌斷面兩側腰部的鋼筋應力增幅變大，其余部位增幅較小，原因是襯砌混凝土產生貫穿裂縫后，混凝土失去承載能力，內水荷載主要轉移到鋼筋承擔，此后隨內水繼續增加，襯砌開裂處鋼筋單元和混凝土單元的相對滑移增大，相對應的環向鋼筋應力也逐漸增大。當內水施加到運行水位時，襯砌腰部鋼筋的應力值達到156.7 MPa，與其他部位的鋼筋應力差值達90 MPa。由此可知，襯砌在產生開裂現象后，鋼筋與混凝土之間的粘結作用使鋼筋的應力分布極不均勻，混凝土損傷開裂越大，所對應的鋼筋應力也越大。線彈性配筋方案在運行水位下的最大鋼筋應力只占鋼筋抗拉強度設計值的52.23%，說明該配筋方案滿足襯砌的強度設計要求，但并未充分利用鋼筋的有效承載能力。

斷面最大裂縫寬度與內水壓力關系見圖7。當內水水頭較小時襯砌受力狀態良好、未產生宏觀裂縫，隨著隧洞內部水頭不斷增高，襯砌的最大裂縫寬度不斷增大，當內水水頭增大到100 m左右時，裂縫寬度的增幅變大。當內水壓力施加到運行水位130 m后，最大裂縫寬度達到0.192 mm。引水洞的襯砌結構運行時的最大裂縫寬度占最大裂縫寬度允許值的76.8%，說明襯砌的配筋滿足襯砌限裂設計要求，且其安全度有一定富余。

圖6 襯砌鋼筋應力分布圖

圖7 襯砌斷面最大裂縫寬度統計圖

綜上，引水隧洞的鋼筋混凝土襯砌在內水作用下表現出明顯的非線性承載特征，采用考慮滑移的組合式數值模型可有效模擬水工襯砌的損傷開裂行為。

2.2.2 配筋迭代計算

根據最大裂縫寬度與設計允許值的比例調整鋼筋配置量，按照1.3節中的配筋流程進行迭代計算。表2為不同配筋方案下裂縫寬度和鋼筋應力的對比，結果表明襯砌的配筋迭代計算過程中鋼筋量的調整對襯砌混凝土的受力特性產生明顯影響。隨配筋量的減小，襯砌的最大裂縫寬度和鋼筋最大應力增大，襯砌混凝土在內水荷載作用下產生的損傷破壞也不斷增大。襯砌第3次迭代計算的鋼筋面積為7 840 mm2，最大裂縫寬度為0.246 mm，在設計允許值(0.25 mm)以內，鋼筋應力也小于其設計強度(300 MPa)，第4次迭代計算的裂縫寬度(0.278 mm)超過了設計允許值。據此可確定當引水隧洞的內水水頭為130 m，圍巖為Ⅳ類圍巖時襯砌所需的最小配筋面積為7 840 mm2。

表2 鋼筋混凝土襯砌非線性配筋迭代計算表

2.2.3 結果驗證

為驗證上述配筋結果的合理性，采用傳統的邊值法和公式法[2]進行驗算，Ⅳ類圍巖且內水水頭130 m條件下的結果分別為28 260、1 200 mm2。由于邊值法假定襯砌在承受內水壓力過程中不出現裂縫，未考慮到襯砌在加載過程中混凝土單元進入塑性和損傷開裂后結構內力的重新分布，導致配筋量計算偏大，與實際不符；公式法假定襯砌開裂運行，但并未考慮襯砌開裂后鋼筋在裂縫界面上應力分布不均的特征，故導致鋼筋應力和配筋量結果偏小。本文的配筋結果介于邊值法和公式法之間，更為合理。

圖8為魯地拉水電站1號引水隧洞正常運行后測定的鋼筋應力實測值，實測鋼筋最大應力值(134 MPa)略小于本文計算值189.3 MPa，原因是數值分析采用的內水荷載包括水擊壓力，大于襯砌正常運行工況的內水荷載，且運行工況下實際的配筋設計面積(4 900 mm2)與本文計算結果量值相近。綜上，本文的非線性配筋方法是合理的。

圖8 魯地拉水電站1號引水隧洞鋼筋應力實測曲線圖

3 結 語

本文基于鋼筋混凝土非線性有限元，建立考慮鋼混凝土損傷和鋼筋滑移效應的高壓隧洞襯砌限裂配筋計算方法,并應用于魯地拉水電站引水隧洞，結果表明該方法具有以下優點：

1)該方法能有效反映鋼筋與混凝土的聯合作用：隨配筋迭代計算中配筋量的增大，襯砌混凝土的受力特性得到改善，襯砌最大裂縫寬度、混凝土損傷系數、鋼筋最大應力都相應減小。

2)該方法能考慮鋼筋與混凝土單元的不協調變形對鋼筋應力的影響：襯砌產生開裂后，鋼筋與混凝土之間產生滑移導致襯砌的鋼筋應力分布極不均勻，混凝土的損傷越大對應的鋼筋應力越大。

3)該方法可彌補線彈性有限元法因內力分析和配筋設計原理不匹配而導致配筋量較實際偏大的問題，所得配筋結果更加經濟合理，為水工隧洞混凝土襯砌的配筋設計提供參考。