淺談幾何直觀在小學數學教學中的有效應用

俞家驪

【摘要】小學正是學生從具體運算向形式運算過渡的重要時期.學生學習數學知識時，必須將具體的、客觀的事物當作支撐，這樣才能有效理解知識.教師把抽象的語言和直觀的圖形進行有效結合，可以把一些摸不著、看不見的數學知識生動化、形象化，這樣便于學生掌握所學知識及靈活運用，在感知當中漸漸養成幾何直觀這種能力.這對學生后續的學習以及未來的發展十分有利.基于此，本文旨在對小學階段數學教學中幾何直觀的有效運用展開探究，希望能對實際教學有所幫助.

【關鍵詞】小學數學;課堂教學;幾何直觀

引 言

數學課程標準指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用.實際上，幾何直觀指的就是通過圖形來對問題加以描述以及分析，教師通過幾何直觀能夠把抽象性的數學語言和直觀圖形加以有機結合，利于在兒童面前直接展示思維本質，幫助兒童打開一扇思維大門，啟迪兒童的智慧，促使兒童可以在輕松的氛圍當中對數學知識加以學習以及掌握.所以，對小學階段數學教學中幾何直觀的有效運用展開探究意義重大.

一、借助幾何直觀理解抽象概念

小學正是學生從具體運算向形式運算進行過渡的重要時期，針對教材中所包含的概念，因為受到思維水平以及知識水平的較大限制，學生有時難以借助數學語言表述概念，從而對概念學習的實際效果產生直接的影響.所以，如果數學教師可以按照學生的需要在教學中引入幾何直觀，那么，學生就能更好地理解抽象概念.

平均數是反映數據集中趨勢的一項指標，并不一定是一個真實存在的數.對于小學生而言，“平均數”這個概念就比較抽象了.為了讓學生深刻理解平均數的意義，教師經常會設計這樣的問題：一位教師的身高是175厘米，一條小河的平均水深為140厘米，假設這位教師要徒步過河，是否安全？針對這個問題，一些教師的教學往往會在學生討論后戛然而止.但是，如果教師為學生展示直觀圖，其效果就大大不同了.通過直觀圖，學生就能夠清楚地看到，身高為175厘米的教師在平均水深140厘米的河水中可能遇到的各種情況.如此一來，除了能夠消除學生心中的疑問，還能讓學生對“平均數”這個抽象的概念有直觀的理解.

教學抽象概念時，數學教師可由學生熟悉的情境入手，給學生提供一個能夠盡情表達自身想法的平臺.在學生難以透徹理解數學概念時，教師可通過幾何直觀來展示相應的圖，這樣能夠讓學生獲得深刻感受，有效提升學習效果.

二、借助幾何直觀理解算法算理

在數學教學中，計算教學屬于重要內容.一些學生在計算的時候出現錯誤，主要是因為他們并未真正理解算法的算理.在以往的計算教學當中，數學教師通常是讓學生對計算順序和過程進行記憶，而常常忽略了學生對于算理算法的直觀感知.對于此種情況，如果數學教師可以通過幾何直觀對學生的學習進行指導，就可以讓學生對算理算法有更透徹的理解.

較之整數乘法，分數乘法的算理理解起來比較困難.如何幫助學生理解呢？教師可以讓學生在長方形中畫圖表示25×34的思考過程（如圖1所示）.先把長方形平均分成5份，取其中的2份，表示25，再把25平均分成4份，取其中的3份，就是25的34了.

乘法分配律是小學階段學習的運算律中較難理解和表述的一個.學生對于乘法分配律的掌握往往只停留于記憶層面，運用的時候常常出現錯誤.那么，除了運用字母代替文字以外，有沒有更直觀的表述方法呢？教師可以借助長方形的面積加以講解，引導學生用兩個長不同、寬相同的長方形組成一個新的長方形，并用兩種不同的方法計算這個新長方形的面積.教師通過在全班范圍內積累大量不同的素材，用字母代替數，便得到了結論：（a+b）×c=a×c+b×c.最后，教師還能將乘法分配律的三種表述方式：文字表述、符號表述、圖形表述同時出示出來，讓學生選擇喜歡的方式記憶.

教師將“數”與“形”完美結合，可以讓學生在直觀圖中建立算法和算理，促使學生在計算時跳脫出簡單模仿和生搬硬套的簡單思維階段，幫助他們更深入地理解、表達和運用知識.

三、借助幾何直觀掌握問題解法

在小學階段的數學教材中，問題解決屬于一個重要的組成部分.數學問題常常通過不同的形式呈現出來，如通過文字形式、圖表形式、對話形式以及圖畫形式等，上述這些不同的呈現形式都能夠為學生解題起到一種搭橋鋪路的作用.然而，隨著年級的升高，單純的文字表述類的問題漸漸成了主流，致使問題變得更為枯燥和抽象.這些冗長的文字和復雜的條件都不利于學生理解題意.在此情況之下，如果數學教師可以通過幾何直觀來讓學生整理條件和問題，那么抽象的問題便直觀化了，進而可以幫助學生快速找到問題解決的突破口，有效提升他們解決問題的能力，從而增強學生的應用意識，提高學生的實踐能力.

蘇教版四年級下冊“解決問題的策略”單元，主要就是用線段圖整理條件和問題從而解決和、差問題，以及用畫示意圖的方法解決面積問題.這兩節課在教學時，理念是相同的，關鍵要讓學生想到用畫圖的策略、正確用畫圖的策略、體會用畫圖策略整理條件和問題從而解決問題的好處.這兩節課的教學流程也是相似的.教師可以先出示純文字的例題.例1：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚，兩人各有郵票多少枚？例2：眉山小學有一塊長方形花圃，長8米，在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣面積就增加了18平方米，原來花圃的面積是多少平方米？四年級的學生面對這樣較為復雜的問題會自己想到列列表、畫畫圖.教師可以鼓勵學生先畫草圖，確定解題的策略就是要用“圖”來表達題目的意思;然后在師生互動中，漸漸完善“圖”，讓圖更精確、更符合實際情況，也就更能清楚地表達題目的意思，從而幫助學生理解題意.學生借助分析線段圖、示意圖，明確先求什么，再求什么，隨后列式解答.學生在解決完例題和完成“試一試”“想想做做”以后，多次進行回顧和反思，感受畫圖對解決這類問題的重要價值.

畫圖的策略可以幫助學生將冗長、枯燥的文字形象化、直觀化.除了和、差問題和面積問題，還有很多數學問題也適合用畫圖策略解決，比如圖形問題、行程問題、移多補少問題等.復雜的數學問題簡潔了、形象了、生動了，自然就變得簡單了.

再如，教師在教學“年、月、日”這部分內容時，有這樣一道題：“已知6月份包含30天，這個月包含多少個星期？剩余幾天？”為提高學生對于年、月、日的認知程度，數學教師可對以下問題進行設計：如果在6月份包含5個星期日和星期六，則6月1日為星期幾？當教師提出上述問題以后，學生會馬上提出自身猜想，一些學生覺得6月1日為星期五，還有一些學生覺得是星期一……當學生爭執不下時，數學教師可乘機提出：同學們，大家可以畫一個表格，這樣不就非常清楚了嗎？大家可以用自己喜愛的符號對日期加以表示，在一個月當中畫滿30個就可以，同學們可以排一排，看看如何排列最為合適.在數學教師的啟發之下，學生可以動手畫表格.

如此一來，學生可以直觀看到問題的答案，進而有效解決問題.在此過程中，學生的思維能朝著抽象階段過渡，進而輕松解決問題.

四、借助幾何直觀提高推理能力

幾何直觀和推理存在密不可分的關系，兩者是相互關聯、相互交織的.在直觀中包含推理;在推理中也含有直觀.教師在運用幾何直觀進行教學時，也確實離不開合情推理和演繹推理，通過幾何直觀，能夠推理出結果，這屬于合情推理，通常還需要論證結果是否準確，這屬于演繹推理.幾何直觀主要是要將當前看到的和過去學到的進行結合，借助猜想和思考得到一些可能的結論以及論證的思路.

例如，在進行“多邊形內角和”教學時，教師可通過測量、剪拼等直觀方法讓學生先對四邊形的內角和進行猜想，之后再通過“分三角形”的方法進行演繹推理從而得到結論：四邊形的內角和為360°，接著，再由四邊形的內角和一直推到n邊形的內角和，進而得到n邊形內角和的計算公式.

又如這個問題：小明用吸管和圖釘釘三角形，線段表示吸管，黑點表示圖釘（如圖2所示）.

（1）照樣子釘5個三角形，需要個圖釘和根吸管.

（2）如果小明用100個圖釘，那么同時用根吸管，就能釘成個三角形.

解決第（1）題，只要接著往下畫就可以，但是解決第（2）題，需要先找到三角形的個數、頂點數以及邊數三者之間的關系.我們通過前幾組圖形不難發現，一個三角形有3個頂點和3條邊，但每增加一個三角形，只會增加1個頂點和2條邊.因此，如果有n個三角形，那么就是在3個頂點和3條邊的基礎上，增加了（n-1）個頂點和2（n-1）條邊.因此，如果有n個三角形，就需要3+（n-1）=（2+n）個圖釘和3+2（n-1）=（2n+1）根吸管.為了驗證這個猜想的正確性，我們還應該再往下畫幾組圖形進行驗證.當驗證了結論時，我們就不難算出，三角形有98個，而吸管需要197根.

幾何直觀為學生自主探索圖形的性質、特點和規律提供了方便，有助于培養學生的推理能力，激發他們的創新意識和應用意識.

結 語

數學是一門具有較強的邏輯性、理論性以及抽象性的學科，學生除了需要具備一定的邏輯思維以及抽象能力之外，還需要具備幾何直觀這一能力.幾何直觀可以幫助學生理解抽象概念、理解算法算理，還能幫助學生掌握問題的解法，提高推理能力.因此，教師需要在教學中重視培養學生的幾何直觀能力.這樣可以有效激發學生的興趣，開闊學生的視野，進一步提高學生的探索和創新意識.

【參考文獻】

[1]馬增福.小學數學“空間觀念”與“幾何直觀”中“核心素養”解讀：以人教版小學數學為例[J].教育實踐與研究（A），2018 （09）：4-15.

[2]王燕.巧用幾何直觀，化解思維難點[J].中國校外教育，2019 （14）：118，127.