幾何直觀：小學數(shù)學課堂教學的助力器

陳瑛 傅佳俊

【摘要】《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》將“幾何直觀”作為新增的四個核心概念之一.學生正確理解幾何直觀的意義與價值，有利于教師在教學中運用幾何直觀，有利于學生從幾何直觀角度探究數(shù)學知識和解決數(shù)學問題.幾何直觀運用在“數(shù)與代數(shù)”領域的教學策略有：以形釋數(shù)，抽象概念直觀表征策略;以形探理，理解算理直觀再現(xiàn)策略;以形輔數(shù)，解決問題直觀促思策略; 潤數(shù)于形，梳理知識直觀構建策略.

【關鍵詞】幾何直觀;小學數(shù)學;運用策略

教師在小學數(shù)學教學中運用“幾何直觀”開展教學，符合小學生直觀思維發(fā)達、抽象思維較弱的特點，借助幾何直觀的運用策略，可以降低學生學習難度，使學生積極主動地投入到數(shù)學抽象知識的學習.在“數(shù)與代數(shù)”領域中運用幾何直觀，

充分發(fā)揮了幾何直觀對小學數(shù)學教學的助推作用

，使學生對數(shù)學知識的理解更全面、深刻，有助于促進學生抽象思維能力的發(fā)展.

一、幾何直觀的意義與價值

什么是幾何直觀？幾何直觀是把抽象的數(shù)學知識轉(zhuǎn)化成圖形的一種學習方式，在幾何直觀輔助下，學生可以借助圖形高效學習數(shù)學知識，加深對數(shù)學概念、數(shù)學公式的理解.基于幾何直觀對小學數(shù)學教學的作用，教師在開展“數(shù)與代數(shù)”領域的教學時，要把抽象的數(shù)學語言和幾何圖形結(jié)合起來，讓學生在直觀圖形的引導下理解知識的重點和難點，順利完成學習內(nèi)容.因此，幾何直觀是創(chuàng)新教學中的一種重要教學方式和學生自主學習運用的重要思想方法

，不管是對教師的教學，還是對學生的學習活動都有極為重要的推動作用.

二、“幾何直觀”在“數(shù)與代數(shù)”領域教學運用策略

“幾何直觀”是新課標中新增的核心概念之一.

在教學過程中，

運用“幾何直觀”可以讓學生把抽象的數(shù)學知識和圖形結(jié)合起來，學習數(shù)形結(jié)合的思想.

在學習過程中，教師要注重培養(yǎng)學生運用“幾何直觀”的能力，使他們在學習過程中能運用幾何直觀思想來分析所學的知識，促進他們數(shù)學思維的發(fā)展.幾何直觀在小學數(shù)學的各個領域均有不同程度地滲透，本文重點闡述其在“數(shù)與代數(shù)”領域中的運用，明確“幾何直觀”在教學活動中的促進作用.筆者結(jié)合自己的教學實踐，作了如下嘗試.

（一）以形釋數(shù)——抽象概念直觀表征策略

小學生在學習數(shù)學知識時，經(jīng)常采用直觀思維來理解教材內(nèi)容.在學習過程中，他們抽象思維較弱，很難理解抽象的數(shù)學知識.針對小學生的思維發(fā)展情況，在開展教學時，教師借助圖形來引導學生的思維，可以獲得較好的學習效果，使他們在圖形的輔助作用下理解抽象的數(shù)學語言和數(shù)學公式，降低他們在學習過程中的挫敗感，從而在圖形與數(shù)學知識結(jié)合的過程中掌握所學知識，并能靈活運用.

【案例1】 “最大公因數(shù)”教學片段

在傳統(tǒng)的教學模式中，教師普遍采用的是在黑板上書寫兩個自然數(shù)，然后讓學生找出這兩個自然數(shù)各自的因數(shù)，引導學生發(fā)現(xiàn)這兩個數(shù)公有的因數(shù)，從而揭示公因數(shù)與最大公因數(shù)的概念.這樣的教學方式中學生是被動學習，只是淺嘗輒止，并未真正建構知識體系，對如何求最大公因數(shù)一知半解，隨機變換自然數(shù)后就會遇到問題.把“幾何直觀”運用到小學數(shù)學教學中，教師在將教學內(nèi)容重新整合后，利用數(shù)與形之間的聯(lián)系，引導學生從知識產(chǎn)生的角度分析，從而掌握公因數(shù)和最大公因數(shù)的關系和求法.

教師出示問題：長方形紙片長18厘米，寬12厘米.要把這個紙片分割成同樣大小的正方形，并且沒有剩余，正方形的邊長可以是多少厘米？

師：請同學們根據(jù)題目大膽地猜測，想一想正方形的邊長可以是多少厘米？你能通過操作來驗證猜測結(jié)果嗎？

生：我猜測正方形的邊長可以是1厘米.

師：你怎樣來驗證？

生：用邊長1厘米的正方形來擺一擺.長18厘米可以擺18個，寬12厘米可以擺12個.

教師根據(jù)學生的說法進行課件演示：邊長是1厘米的正方形可以把這個長方形擺滿，并且沒有剩余.

師：邊長為1厘米正方形完全符合條件，還有沒有其他分割的方法呢？

在教師的引導下，學生嘗試用邊長為2厘米、3厘米、4厘米的正方形來進行分割，并驗證，同時相互交流鋪擺的情況.

師：不計算，你是不是可以推斷出能否擺滿？

課件分別呈現(xiàn)用邊長2、3、4厘米的鋪擺的情況和思考過程.

師：你能嘗試用邊長為5厘米、6厘米、7厘米的正方形進行分割，并鋪擺在要分割的這個長方形上嗎？請同學們根據(jù)鋪擺情況進行判斷……

小結(jié)歸納：通過同學們的實際操作和教師的課件演示，得出用邊長為1厘米、2厘米、3厘米和6厘米的正方形可以將長方形完全分割，并且沒有剩余，而用邊長是4厘米、5厘米或7厘米的正方形分割，就有剩余了.

師：1、2、3、6與18、12有什么關系呢？

生：這些數(shù)都18的因數(shù)，也是12的因數(shù).只要是18和12都有的因數(shù)就一定可以擺滿，而且沒有剩余.

學生說得太棒了，教師在學生的回答的基礎上用韋恩圖揭示公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義.

這樣的教學方式不同于傳統(tǒng)“最大公因數(shù)”的教學.在只講解抽象的數(shù)概念的情況下，學生學習公因數(shù)與最大公因數(shù)都是只限于表層意義的理解;而結(jié)合“幾何直觀”進行學習，教師能夠充分調(diào)動學生的主動性，引導他們在分析問題時先大膽猜測，然后借助操作活動進行驗證，在直觀操作過程中獲得最大公因數(shù)的深刻認知.學生的抽象思維得到了發(fā)展，并進一步理解了最大公因數(shù)的意義和求法.在幾何直觀的作用下，學生初步具備了數(shù)形結(jié)合的思想，產(chǎn)生了運用幾何直觀分析數(shù)學知識的意識，提升了運用幾何直觀的能力.

（二）以形探理——理解算理直觀再現(xiàn)策略

理解算理是學生掌握算法、提高計算能力的重要環(huán)節(jié).在傳統(tǒng)的教學過程中，教師只注重計算方法的教學，而忽略了算理的教學.學生在學習過程中由于思維能力的限制不能通過自主分析掌握算理，只能死記硬背同一類型計算題目的計算方法，以致出現(xiàn)只知解法和不知算理的情況，只要算式稍微進行變化，就會不知所措.因此掌握算理是提高學生計算能力、激發(fā)學生計算興趣的重要前提.在教學這部分內(nèi)容時，教師可以運用“幾何直觀”來引導學生的思維，讓學生通過直觀的方式理解知識，掌握知識的本質(zhì).

【案例2】 “分數(shù)乘分數(shù)”教學片段

師：我們已經(jīng)學習了分數(shù)乘分數(shù)，那么像這樣的分數(shù)乘分數(shù)你會計算嗎？板書：25×13.

生：會.分子乘分子，分母乘分母.

師：沒錯分數(shù)乘分數(shù)你們都已經(jīng)會了，那你們知道分數(shù)乘分數(shù)為什么要這樣計算嗎？

大部分學生都不知道答案.

師：我們學習分數(shù)乘分數(shù)，不僅要掌握計算方法，還要理解為什么要這樣算.這就是我們今天課上探索的重要內(nèi)容.我們可以通過畫圖進行理解.

教師讓學生自己說一個分數(shù)乘分數(shù)的算式，先計算出結(jié)果，再通過畫圖進行驗證.經(jīng)過自主思考和畫圖探究，有學生舉手提問.

生：老師，我寫的分數(shù)乘分數(shù)的算式是25×9899，我不知道怎么畫圖來驗證？

師：這兩個分數(shù)你能用畫圖表示嗎？

生：可以，25用畫圖表示很簡單，而9899就有點麻煩了，需要畫的太多了.

師：在驗證時，我們可以不畫在紙上，而是通過想象來進行驗證.首先在腦海中想象出25×9899的圖，然后進行驗證.對于23×45和21100×910這類式子，我們就可以用這種想象的方法畫圖和計算.

師：現(xiàn)在，同學們能領悟到分子乘分子，分母乘分母的道理了嗎？

生：畫圖表示乘法ba×dc，（在黑板上邊畫圖邊說明）先把長方形平均分成a行，取其中的b行涂上顏色，表示ba，再把涂色部分平均分成c列，取其中的d列涂上顏色，表示dc，這時長方形就被平均分成了a行c列，所以a×c就是結(jié)果的分母; 涂色部分是b行d列，所以b×d就是結(jié)果的分子.

運用“幾何直觀”的思想來分析分數(shù)乘分數(shù)，學生認識到了分數(shù)乘分數(shù)的算理和意義.當教師追問：“為什么分子乘分子作為積的分子，分母乘分母作為積的分母？”時，我們欣喜地看到，學生一次次的嘗試畫圖，先分再取，后又分再取，將抽象的算理逐漸直觀化、形象化地體現(xiàn)出來.在學習中運用“幾何直觀”，學生能夠從中提煉算法，把抽象的問題簡單化，真正提高自身的運算能力.

（三）潤數(shù)于形——梳理知識直觀構建策略

在課堂小結(jié)或單元復習整理時，幫助學生理清知識之間的聯(lián)系是教師的教學目標之一.在日常的教學中，老師們對新授課的研究較多而對復習課或練習課的關注很少.如果教師賦予復習課一條主線，借助“幾何直觀”幫助學生梳理知識、構建知識框架可以更好地完成教學目標.通過“幾何直觀”帶領學生進行復習，可以讓學生把學過的知識用圖形的方式聯(lián)系起來，從而完善知識體系，實現(xiàn)高效的復習效率.

【案例3】 “運算定律與簡便計算單元復習”教學片段

師：課件展示：一個長25厘米，寬12厘米的長方形看到這個長方形，你能想到什么問題？

生：求這個長方形的周長，還能求它的面積.

師：你能計算這個長方形的面積嗎？如何列式？

生：12×25，也可以是25×12.

課件呈現(xiàn)：12×25 25×12

師：這兩個算式之間有什么聯(lián)系？

生：12×25=25×12 師跟進：你是怎么想到的？

生：它運用了乘法交換律.

根據(jù)學生的回答，老師整理板書：a×b=b×a.

師：（課件展示圖片）請同學們認真觀察圖片，結(jié)合圖片分析算式20×5×2表示的實際意義是什么？

生：將圖上長方形的寬平均分成了2份，每份就是20×5，表示的是一個小長方形的面積.

師：我明白了，原來這個20×5是在計算一個小面積呀，那么這個等式又運用了什么性質(zhì)呢？

生：乘法結(jié)合律.

師：計算長方形的面積時既可以整體考慮，又可以分一分再計算.這樣的規(guī)律就是乘法結(jié)合律，用字母表示為（a×b）×c=a×（b×c）（教師板書）.

在案例中，教師結(jié)合課件讓學生復習了運算定律，運用數(shù)形結(jié)合的思想，從長方形的面積出發(fā)，引導學生在觀察圖形的基礎上深入理解了乘法交換律、乘法結(jié)合律的實際意義，幫助他們建立運算定律知識結(jié)構體系.學生經(jīng)歷了由圖形到公式，再由公式到圖形的雙向?qū)W習過程，通過觀察、思考和分析深刻掌握了所學的運算定律.

其實數(shù)學復習課不乏用幾何直觀圖整理知識的案例，像六年級總復習“數(shù)的認識”中，教師用數(shù)軸呈現(xiàn)數(shù)的分布情況，學生就能直觀感受到數(shù)的分類以及它們之間的聯(lián)系，看到數(shù)想到圖這就是幾何直觀思想.

結(jié) 語

在小學數(shù)學教學中，學生想要深刻掌握抽象的數(shù)學知識，不僅需要具備較高的抽象思維能力，還要學會運用幾何直觀分析和探究數(shù)學知識和解決數(shù)學問題.同樣的，教師在講授“數(shù)與代數(shù)”的知識時要引入“幾何直觀”，讓學生把抽象的知識與幾何直觀圖形結(jié)合起來，彰顯運用幾何直觀在數(shù)學教學中的意義與價值，架起直觀圖形與抽象知識的橋梁，讓數(shù)學變得更簡單.