淺談建模思想在兒童數(shù)學(xué)教學(xué)中的培育

徐艷

【摘要】數(shù)學(xué)模型思想是數(shù)學(xué)思想中較高層次的思想之一，也是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備品質(zhì).2011版課標(biāo)更是將數(shù)學(xué)模型思想作為10個(gè)核心概念中唯一一個(gè)以“思想”指稱(chēng)的概念，模型思想的建立是幫助兒童聯(lián)系和理解數(shù)學(xué)與外部世界的基本途徑，讓兒童理解抽象的數(shù)學(xué)的魔法，更能讓兒童體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

【關(guān)鍵詞】建模思想;數(shù)學(xué)教學(xué);培育

一、數(shù)學(xué)建模思想在教學(xué)中存在的問(wèn)題及成因剖析

當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在著“重”方法、技能的訓(xùn)練，“輕”數(shù)學(xué)思想的滲透的現(xiàn)象，我們分析課程內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、法則、公式、數(shù)量關(guān)系、規(guī)律等大部分課程都可以理解為數(shù)學(xué)模型，但實(shí)際教學(xué)中教師們建模意識(shí)淡薄，建模過(guò)程走馬觀花，建模思想流于空洞化、形式化、表面化.

1.建模意識(shí)過(guò)于淡薄，只注重傳授結(jié)論

【案例】蘇教版一年級(jí)上冊(cè)第100頁(yè)“20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法表”（如圖1）

圖1

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)，一年級(jí)學(xué)生看到的規(guī)律只是表面現(xiàn)象，或者發(fā)現(xiàn)規(guī)律卻不能清晰地表達(dá)，最終還是教師總結(jié)規(guī)律，學(xué)生聽(tīng).

【成因剖析】教師的想法過(guò)于簡(jiǎn)單，認(rèn)為總結(jié)規(guī)律就是教學(xué)目標(biāo)，沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型的意識(shí)，更加覺(jué)得滲透函數(shù)建模對(duì)于低年級(jí)兒童太抽象，從而更注重傳授結(jié)論.

2.建模過(guò)程流于形式，只注重模型結(jié)果

【案例】蘇教版五年級(jí)下冊(cè)第92頁(yè)“圓的周長(zhǎng)”

教學(xué)中教師指導(dǎo)學(xué)生初步感知圓周長(zhǎng)大約是直徑的3倍，教師再讓學(xué)生動(dòng)手測(cè)量大小不同的圓的周長(zhǎng)，并進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)除以直徑的商總是3多一些.個(gè)別學(xué)生提早預(yù)習(xí)了內(nèi)容，知道該值在3.14左右，于是在操作過(guò)程中直接運(yùn)用這一結(jié)果計(jì)算周長(zhǎng)，假裝自己量過(guò)周長(zhǎng).在全班交流時(shí)，教師也會(huì)偏重3.1-3.2的結(jié)論的回答，對(duì)于部分孩子算出2.9或其他離譜答案的直接無(wú)視.

【成因剖析】教師忽視了一些學(xué)生的答案，主要是過(guò)于關(guān)注完成教學(xué)任務(wù)，擔(dān)心會(huì)浪費(fèi)課堂時(shí)間，只要能建立圓周長(zhǎng)計(jì)算公式的模型即可.兒童的探索過(guò)程流于形式，甚至存在沒(méi)有動(dòng)手測(cè)量圓周長(zhǎng)的現(xiàn)象，沒(méi)有真正經(jīng)歷建模過(guò)程.

3.建模過(guò)程基本忽視，只注重強(qiáng)化練習(xí)

【案例】教學(xué)蘇教版六年級(jí)下冊(cè)第76頁(yè)“整理與復(fù)習(xí)簡(jiǎn)便計(jì)算”

本節(jié)課由教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)學(xué)過(guò)的運(yùn)算律.經(jīng)過(guò)三年的簡(jiǎn)便計(jì)算練習(xí)，學(xué)生已經(jīng)能嫻熟地運(yùn)用運(yùn)算定律模型解決各種簡(jiǎn)便計(jì)算問(wèn)題，但是學(xué)生對(duì)于運(yùn)算律模型中只有加法和乘法，沒(méi)有減法和除法心中還是存在一定疑慮的.

【成因剖析】教師過(guò)于關(guān)注技能訓(xùn)練，認(rèn)為學(xué)生只要能利用模型解決問(wèn)題即可，但是這些模型是較單一、線性的知識(shí)結(jié)構(gòu)，無(wú)法最大限度地讓兒童整合多類(lèi)問(wèn)題，導(dǎo)致模型網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的缺失.

二、培育兒童數(shù)學(xué)建模品質(zhì)的策略

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程也是一個(gè)探索的過(guò)程，是為了讓兒童經(jīng)歷類(lèi)似于數(shù)學(xué)家建模再創(chuàng)造的過(guò)程，但是很多模型已經(jīng)是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們的成果，它們已經(jīng)被“濃縮”了，隱去了曲折、復(fù)雜的思維過(guò)程，呈現(xiàn)出經(jīng)過(guò)整理加工的嚴(yán)密、抽象、精煉的結(jié)論，而使其誕生的那些思想方法往往隱為內(nèi)在形式，成為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的具有潛在價(jià)值的“內(nèi)河流”.數(shù)學(xué)教學(xué)工作的一項(xiàng)重要任務(wù)，就是揭開(kāi)數(shù)學(xué)這種嚴(yán)謹(jǐn)、抽象的面紗.在探究過(guò)程中將思維過(guò)程和思維方法全部教給學(xué)生，教師就需要挖掘出具有建模思想的教學(xué)內(nèi)容，經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)在課堂上有意識(shí)地滲透，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程并進(jìn)行解釋與應(yīng)用，從而培育兒童數(shù)學(xué)建模的思想.

（一）催生建模意識(shí)，啟發(fā)兒童探索模型

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境實(shí)際上就是將數(shù)學(xué)模型“還原”的過(guò)程，也是兒童主動(dòng)學(xué)習(xí)的前提.在兒童建模的原點(diǎn)創(chuàng)設(shè)情境，將現(xiàn)實(shí)生活中與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材及時(shí)引入課堂，尋找生活原型和數(shù)學(xué)對(duì)象之間的思維對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在課堂上以問(wèn)題情境的方式展示給學(xué)生.這樣既能激發(fā)學(xué)生探索模型的興趣，又能使學(xué)生用經(jīng)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)兒童將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí).

例如，教學(xué)蘇教版三年級(jí)上冊(cè)第41頁(yè)“長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)的計(jì)算”時(shí)，適當(dāng)改變例3和“試一試”的問(wèn)題形式，“籃球場(chǎng)長(zhǎng)28米，寬15米.小明圍著籃球場(chǎng)跑一圈大約跑了多少米？”“一塊正方形手帕的邊長(zhǎng)是25厘米，給它縫一圈花邊，花邊大約要多長(zhǎng)？”這些提問(wèn)將生活問(wèn)題直接指向“長(zhǎng)方形或正方形的周長(zhǎng)是多少？”這一數(shù)學(xué)問(wèn)題.在解答過(guò)程中進(jìn)一步明確了周長(zhǎng)的概念，又自然地引入了長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)計(jì)算公式的模型.

教師應(yīng)積極創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓兒童在觀察和比較中初步感受模型系統(tǒng)的特征，理解問(wèn)題的實(shí)際背景，為數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).

（二）助推建模能力，磨礪兒童建立模型

1.建模結(jié)構(gòu)豐滿(mǎn)化，尋找新知與舊知的連接點(diǎn)

數(shù)學(xué)知識(shí)之間都是互相串聯(lián)的，所以新模型構(gòu)建可以有效利用之前舊模型建立的經(jīng)驗(yàn).教師可引導(dǎo)學(xué)生找到新舊模型之間的連接點(diǎn)，不斷豐富建模經(jīng)驗(yàn).

例如，教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)第15頁(yè)“圓柱的體積”時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶圓面積公式模型的建立過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生想辦法將圓柱體積轉(zhuǎn)化成已知幾何體的體積.在探究過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)不同模型的共同點(diǎn)，回憶建模過(guò)程，將有聯(lián)系的模型構(gòu)建成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，從而不斷豐滿(mǎn)模型結(jié)構(gòu).

2.建模過(guò)程多元化，尋找數(shù)與形的融合點(diǎn)

建模過(guò)程是一個(gè)抽象的過(guò)程，兒童如果只是學(xué)習(xí)知識(shí)的表象，沒(méi)有理解抽象后的數(shù)學(xué)模型是不能真正吸收知識(shí)的.教師可以利用代數(shù)與圖形的完美結(jié)合幫助學(xué)生理解原本抽象的模型.

例如，教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)第62頁(yè)的“乘法分配律”時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷歸納推理的過(guò)程，建立乘法分配律的定律模型后，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生將其與學(xué)過(guò)的圖形面積計(jì)算融合起來(lái)，（如圖2）幫助學(xué)生進(jìn)一步理解分配定律模型.

提問(wèn)：在圖中，你找到乘法分配律了嗎？誰(shuí)相當(dāng)于a？誰(shuí)相當(dāng)于b？（a+b）×c表示什么？a×c+b×c表示什么？

建模的過(guò)程不應(yīng)該是單一的，應(yīng)該運(yùn)用不同的思想與方法呈現(xiàn)多元化的模型，輔助幾何直觀、推理能力等深刻理解模型，慢慢積累建模經(jīng)驗(yàn)，從而更好地應(yīng)用模型.

3.建模經(jīng)驗(yàn)類(lèi)比化，尋找知識(shí)與體系的結(jié)合點(diǎn)

數(shù)學(xué)的知識(shí)是一個(gè)大型的體系網(wǎng)，教師在平時(shí)教學(xué)時(shí)要根據(jù)學(xué)生的不同特點(diǎn)和學(xué)習(xí)內(nèi)容的不同要求，善于將模型結(jié)構(gòu)中的單一模型的建構(gòu)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類(lèi)比，增加學(xué)生自主遷移建模經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行類(lèi)比，從而建立新模型.

例如，教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)第55頁(yè)的“比的基本性質(zhì)”時(shí)，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生先復(fù)習(xí)一下以前學(xué)過(guò)的除法商不變的規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，然后提問(wèn)：既然除法有商不變規(guī)律，分?jǐn)?shù)有分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，那么與除法、分?jǐn)?shù)密切相關(guān)的比會(huì)有什么性質(zhì)呢？如果有，可能是什么呢？

建模經(jīng)驗(yàn)是不斷累積的，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注前后知識(shí)的聯(lián)系，將新學(xué)知識(shí)與已有知識(shí)體系有效結(jié)合，讓學(xué)生在建模過(guò)程中學(xué)會(huì)舉一反三，在類(lèi)比中進(jìn)行正遷移，積累建模類(lèi)比經(jīng)驗(yàn).

（三）延展建模應(yīng)用，激活兒童完善模型

模型不應(yīng)該僅僅是簡(jiǎn)單的套用，這可能導(dǎo)致學(xué)生形成思維定式或產(chǎn)生惰性，無(wú)法完善建構(gòu)模型之間的聯(lián)系，從而導(dǎo)致不能靈活運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題.因此，運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題，除了設(shè)置不同情境但同一本質(zhì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，還要進(jìn)行延展，將所學(xué)模型與不同模型或模型相同但形式不同的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比，提升學(xué)生靈活運(yùn)用模型解決問(wèn)題的能力.

1.轉(zhuǎn)換視角，拓展運(yùn)用模型

根據(jù)模型解決問(wèn)題是一種能力，但是根據(jù)模型創(chuàng)編習(xí)題組就是高于解決問(wèn)題的另一種能力，說(shuō)明兒童真正掌握了模型的本質(zhì).

例如，教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)第106頁(yè)的第10題（如圖4），第（1）、（2）問(wèn)是書(shū)上呈現(xiàn)的，在比較（1）和（2）的異同后，學(xué)生明確了倍數(shù)模型和分?jǐn)?shù)模型的聯(lián)系，教師再次提問(wèn)：你還能提出什么條件讓解題方法不變？

學(xué)生有補(bǔ)充百分?jǐn)?shù)的，有改編成比的.從編出的習(xí)題可以看出學(xué)生掌握了倍、分?jǐn)?shù)、比和百分?jǐn)?shù)的模型結(jié)構(gòu)，四者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，學(xué)生通過(guò)自主拓展完善了模型結(jié)構(gòu).

2.靈活變式，形成模型鏈

很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都有一個(gè)核心模型，再演變出其他模型.如果教師沒(méi)有對(duì)核心模型進(jìn)行變式，就難以引領(lǐng)學(xué)生縱向深入思維，所探究新模型就難以納入已有或后續(xù)所學(xué)的模型體系，更無(wú)法靈活運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題.

例如，上面提到的乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c這個(gè)基本模型，可以將面積圖靈活變化（如圖5），進(jìn)一步拓展乘法分配律的變式模型，比如（a+b+c+…）×d=a×d+b×d+c×d+…或（a-b）×c=a×c-b×c等.

因此，在核心模型建立后，深入挖掘模型的變式，可以激發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生思維得到更好的發(fā)展，從而形成模型鏈.

3.整合統(tǒng)一，整體感知模型體系

如果以前學(xué)習(xí)的知識(shí)相當(dāng)于一棵棵的樹(shù)，那么當(dāng)兒童進(jìn)入復(fù)習(xí)階段時(shí)，就應(yīng)該看見(jiàn)一片森林、一片美麗的風(fēng)景.學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)化的梳理整合后，能夠在思想方法上進(jìn)行提升，感知整體模型體系，有助于模型的整合統(tǒng)一.

例如，教學(xué)蘇教版六年級(jí)下冊(cè)第74頁(yè)“整理與復(fù)習(xí)——數(shù)的運(yùn)算”（如表1）

加減法計(jì)算法則的模型的建立歷經(jīng)了小學(xué)五年的時(shí)間，在部分學(xué)生眼中，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則的模型都不相同，但其實(shí)本質(zhì)上是一個(gè)模型，即相同的計(jì)數(shù)單位才能相加減，如果將其納入統(tǒng)一的模型體系，計(jì)算法則的本質(zhì)就“顯山顯水”了.

三、總結(jié)

不管是數(shù)學(xué)概念的建立、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，核心問(wèn)題在于數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)和建立.建模思想的培育不是短期訓(xùn)練便能見(jiàn)效的，需要經(jīng)歷一個(gè)從量變到質(zhì)變的長(zhǎng)期滲透的過(guò)程，是一個(gè)循序漸進(jìn)、不斷積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程.長(zhǎng)此以往，學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，才會(huì)站得高，思路廣，對(duì)數(shù)學(xué)的理解就會(huì)由量的積累發(fā)展到質(zhì)的飛躍，從而促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展.當(dāng)然，建模思想在小學(xué)階段只需要“滲透”，無(wú)須進(jìn)一步“強(qiáng)調(diào)突出”.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.

[2]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （ 2011 年版） 解讀 [M].北京： 北京師范大學(xué)出版，2012.

[3]張海燕.數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代教育，2015（10）：88.

[4]左文艷.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想的意義和策略[J].江蘇教育研究，2013（20）： 59-60.