從兩個重要極限到擬共形映射的定義的思考

孫小康 肖政國

【摘要】數學文化是數學歷史的沉淀，為合理運用數學文化巧妙設計數學概念教學，突破數學概念教學的重難點，構建一種數學文化型的概念教學模式，本文首先給出了兩個重要極限的發展歷史以及相關模型，隨之給出了擬共形映射的定義.

【關鍵詞】數學文化;概念教學;共形映射

一、引言

廣義數學文化包括數學史、數學對其他學科的影響和促成、數學與各種文化的相互關系等.數學文化是數學的重要組成部分，是數學歷史的沉淀，如果將數學文化當作道，教師合理運用其巧妙設計數學概念教學，選擇具有代表性的數學概念發展史作為教學設計的素材，并貫穿于整個教學過程，再現數學概念的形成過程， 構建一種數學文化型的概念教學模式，那么學生就能夠從中感知歷史，體會概念本質.

二、兩個重要的極限

極限思想方法是微積分的基礎，是高等數學中最基本的工具，是貫穿高等數學課程的基本數學思想方法. 劉徽割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”半徑為 1 的圓內接正三角形周長為6sinπ3.半徑為 1 的圓內接正四邊形周長為：8sinπ4.半徑為 1 的圓內接正n 邊形周長為：2nsinπn.當 n 趨向于無窮大的時候，半徑為 1 的圓內接正n 邊形周長用極限的符號表示為：limn→∞2nsinπn=2π，變形得到limx→0sin xx=1.極限的符號是英文的，古人不懂得使用ε-δ 語言，極限思想用文言文描述非常直觀.一般教材是簡單介紹極限的歷史，并沒有直接給出limx→0sin xx=1，而是先講極限的ε-δ 語言定義，接下來才講兩個重要的極限.極限的ε-δ定義往往使學生畏懼，因此教師在教學中要讓學生先了解極限思想的發展歷史，拓展其數學史的相關知識，這有利于大學生掌握數學知識的原貌，使極限概念生動易懂，學生能從中得到有益的啟發，從而激發學習興趣.

突出案例教學，化解高等數學知識難點.“一尺之棰，日截其半，萬世不竭.”或把時間比喻為尺子.假定有一家銀行，它允許進行復利的存款，而其年利率為1=100100，假如辦理定期存款一年，往賬號存 1 元，按照單利計算，一年后本息和為 2 元.假如定期一年時間太長，改為半年定期存款.年利率不變為 1，本金為1.半年之后再將本息和繼續存半年，則最終的本息和為（1+0.5）（1+0.5）=2.25.似乎比定期一年的利息高出許多.如果不斷縮小周期，改為一個季度為期，分四次存取.按復利計算，一年后的本利和為1+144=2.44140625.如果在一年中，以一天為期，按復利計算.到年終時，所獲得的本利和應該為1+1365365=2.714567482….現在作為一個數學問題，而不考慮實際的可能性.設本金仍為 1，到年終時的本利和則應為1+1nn，其中n=1，2，3，…，如果令n 趨于無窮，則年終時，效益會是無窮大嗎？回答是否定的.另一方面，存取次數越多，按復利計算的本利和就越大.因此，其極限便是最大可能的本利和.雅各布·伯努利證明了這個復利的存在.很多年之后，歐拉在研究自然對數時，遇到了這個極限，并給它取了一個名字：e=limn→∞1+1nn=1+11！+12！+…+1n！+….

三、微分的定義推廣到復數域

從教學思路來看，數學文化的滲透常常有顯性和隱性兩種.數學史與數學故事常常是數學文化的顯性依附，在課堂上引入諸多數學文化事例或者故事，通過顯性的數學文化呈現激活學生的思維，吸引學生的注意力.將數學文化發展的歷史主線隱性地作為課堂上學生思維的主要思路，隱性的數學文化作用則在于讓學生的思維沿著數學史的數學思路去解決問題，學生在數學文化的隱性影響中獲得數學素養的提升.課堂教學容易過于重視顯性的文化存在而忽視隱性的數學文化的精髓.

令w（z）=limn→∞1+znn，下面來證明這個極限對于任意z∈C的存在性.為此令：z=x+iy，并注意到，由冪的提升規律有：

1+znn=1+2xn+x2+y2n2n2，

arg1+znn=narctanyn1+xn，

由此看出，存在limn→∞1+znn=ex，limn→∞arg1+znn=y，這意味著極限w（z）=limn→∞1+znn對于任意z∈C存在，并且可以寫成極坐標形式：w（z）=ex（cos y+isin y），w（z）=eRe z，

arg w（z）=Im z，令x=0，有w（iy）=cos y+isin y，符號eiy作w（iy）=cos y+isin y的一個簡略的記號來使用，便得到歐拉公式：eiy=cos y+isin y=limn→∞1+iynn.可以理解它為數e=limn→∞1+1nn=2.718的虛冪.將eiy=cos y+isin y 中 的 y 取作π就得到：eiπ+1=0，這個恒等式將數學中兩個超越數：自然對數的底e、圓周率π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位 1，以及數學里常見的 0這幾個數簡潔地聯系了起來.歐拉公式給出了向量的乘法運算法則，微積分從實數域推廣到復數域也就成為可能了.

設函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）某鄰域U（P0）內有定義，對于U（P0）中的點P（x，y）=（x0+Δx，y0+Δy），若函數f在點P0處的全增量表示為

Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）=AΔx+BΔy+ο（ρ），

其中A，B是僅與點P0處有關的常數，ρ=（Δx）2+（Δy）2，ο（ρ）是較ρ高階的無窮小量，則稱函數f在點P0處可微.

二元實值函數的可微定義推廣到復值函數：f（z）在點z0=x0+iy0的一個鄰域D內有定義，如果存在兩個常數a與b使

f（x0+Δx+i（y0+Δy））-f（x0+iy0）=aΔx+bΔy+ο（ρ） （ρ→0），

其中ρ=（Δx）2+（Δy）2，則稱f（x+iy）在點x0+y0i關于（x，y）可微.這個定義實際上就是將關于二元實值函數的可微性定義推廣到復值函數.稱為R-可微.

四、擬共形映射的定義

命題：設f（z）在點z0=x0+iy0的一個領域D內有定義，且f（x+iy）在點z0處關于（x，y）可微，則存在兩個復數A與B，使：

f（z）=f（z0）+A（z-z0）+B（z--z0-）+ο（z-z0），（z→z0）.

其中A=12fx-ifyz0，B=12fx+ifyz0.

引入兩個純形式記號fz=12fx-ify，

fz-=12fx+ify為f（z）的形式偏導數.

f（z）=f（z0）+fzz0（z-z0）+fz-z0（z--z0-）+ο（z-z0），

Δf=df+ο（Δz），（Δz→0）.其中：Δz=z-z0，Δf=f（z0+Δz）-f（z0），df=fzz0Δz+fz-z0Δz .

R-可微函數的微分公式為df=fzdz+fz-dz-，C-可微是在R-可微函數中附加了條件fz-=0分離出來的. 二元實值函數的可微定義推廣到復值函數.函數f（z）=u+iv在z為R-可微性是指u和v作為兩個實變量x和y的函數在該點具有通常的微分，從本質上說這并沒有引進在分析中的任何新概念，C-可微性的概念才是新的.

通常的解析函數是C-可微的， 它的實部與虛部都是二元實函數，而且滿足柯西-黎曼條件，由它們構成的曲線族u（x，y）=c和v（x，y）=c是正交的.導數處處不是零的解析函數所實現的映射是共形映射，共形映射具有保角性和伸縮率不變性，擬共形映射是共形映射的推廣.

設f是區域D到D′的同胚，即雙方單值且連續的映射，并假設它在點z0∈D處作為實變量（x，y）的函數可微，則這個映射在z0附近的一階近似是一個線性變換：

z→w（z）=f（z0）+zf（z0）（z-z0）+z-f（z0）（z--z0-）.

定義：設f是區域D到D′的C1類同胚映射，且在D內處處滿足下列條件：（i）z-f（z）

（ii）zf（z）+z-f（z）zf（z）-z-f（z）≤K，其中K是一個大于1或等于1的常數.

則稱f為D內的一個經典擬共形映射，或C1類擬共形映射.

五、結束語

數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識，掌握數學思想就是掌握數學的精髓.數學教學應以培養學生的數學思想為核心，而不僅僅以學生掌握具體的數學知識為目的，數學教學中，與知識相比，數學思想是核心和靈魂.在高等數學教學中，在教教材顯性知識的同時，要挖掘出其后的隱性知識，引導學生發現并欣賞數學之美、數學思想及其內涵，激發學生學習數學的熱情.數學教材中蘊涵了豐富的數學思想方法，而傳統的數學概念的教學一般過于注重概念的敘述與應用，要求學生熟記概念，再通過重復練習鞏固概念，基本上按照“概念+練習”的教學模式進行.如何提高數學概念教學的效果呢？借數學文化之道行概念教學之術是一個可行之策.道即事物發展的規律，術即做事的策略、方法及技巧.道是術的基礎，術是道的表現.借數學文化之道再現數學知識的產生、發展及運用的過程，使教之遵道有術，學之明道懂術，從而達到優化數學概念教學的目的.

【參考文獻】

[1] Ahlfors L. V.復分析[M].趙志勇，薛運華，楊旭，譯.北京：機械工業出版社，2005.

[2]石辛民，翁智.復變函數及其應用[M].北京：清華大學出版社，2012.

[3]張奠宙. 微積分教學：從冰冷的美麗到火熱的思考[J].高等數學研究，2006（02）：2-4.