夾層輸流管道彈性波頻散特征分析

陳德錦，嚴(yán) 謹(jǐn)，羅楊陽，鄒律龍

(廣東海洋大學(xué)，廣東湛江524088)

0 引 言

輸流管道作為傳遞動量流和能量流的主要工具，被廣泛應(yīng)用于機械、船舶、工業(yè)等領(lǐng)域。由內(nèi)外鋼管與中間層填充輕質(zhì)材料組成的夾層管道由于自身減振降噪隔熱保溫等優(yōu)良性能，常被用作輸流管道。目前對夾層輸流管道的研究主要集中在熱學(xué)性能與強度的研究，對夾層輸流管道聲模態(tài)的研究較少。聲學(xué)性能分析是管道故障聲檢測的核心技術(shù)，所以研究夾層管道振動及內(nèi)部聲波導(dǎo)模式是非常必要的。

目前基于聲固耦合理論研究管道響應(yīng)的主要方法包括：解析法、實驗法和數(shù)值分析法[1]，其中采用數(shù)值分析法的研究居多。解析法一般把輸流管道簡化為梁模型或圓柱殼模型。此方法物理意義清晰、明確，便于揭示本質(zhì)。郭文杰等[2]利用半解析法對部分浸沒圓柱殼結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了聲固耦合系統(tǒng)的建模與求解，并討論了部分浸沒圓柱殼體的前四階耦合周向波型，但是，此方法使用條件苛刻，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，解析法的求解十分困難。Maze等[3]通過實驗法得出了薄壁殼聲模態(tài)模型單邊受載和不受載時管壁彈性波的頻散曲線存在“排斥現(xiàn)象”。聲學(xué)實驗易受外界環(huán)境的影響，測試結(jié)果容易出現(xiàn)誤差。基于聲固耦合的管道結(jié)構(gòu)與聲模態(tài)數(shù)值研究，蔣謇等[4]通過數(shù)值計算得到了孔隙介質(zhì)包裹充液管道的縱向?qū)Рl散曲線，分析了孔隙介質(zhì)參數(shù)和壁厚對頻散曲線的影響。張術(shù)臣等[5]通過數(shù)值分析法計算了圓管的縱向?qū)Рê椭芟?Lamb波的頻散曲線，得出了這兩種模態(tài)的波動特性。劉澤等[6]通過數(shù)值分析軟件求出了黏彈性管道縱向?qū)Рl散線和衰減曲線，得出了波在黏彈性管中的傳播特性。數(shù)值分析便于物理模型的構(gòu)建及邊界條件的假設(shè)。以上對于管道模態(tài)的研究主要采用材料屬性單一的管道，涉及夾層材料管道的聲模態(tài)研究較少。

本文運用聲固耦合理論，對無限長夾層輸流管道進行數(shù)值模擬并且構(gòu)建彈性管壁與流體中彈性波的波數(shù)解析式。比較夾層管道內(nèi)部為空氣和水兩種流體情況下的頻散曲線，計算結(jié)果給出了無限長夾層管道波數(shù)與頻率之間的關(guān)系以及管壁的變形情況，描述了波導(dǎo)的動態(tài)特性以及特征模態(tài)。在輸流管道中，波不僅能在流體域中傳播，也能在管壁中傳播，頻散曲線顯示了各種波的特定傳播性質(zhì)。

1 管道彈性波理論

1.1 管中導(dǎo)波模態(tài)

管道中導(dǎo)波具有頻散與多模態(tài)特征[7]，輸流管道模型一般情況下被構(gòu)建為梁模型或殼模型。其中梁模型分為歐拉伯努利梁和鐵木辛柯梁，歐拉梁模型忽略管道剪切效應(yīng)，對于管壁較厚的復(fù)合材料的管道，忽略剪切變形是不妥的，鐵木辛柯梁模型更加適合對夾層管道的分析。因此，本文對夾層管道采用鐵木辛柯梁模型進行構(gòu)建，依據(jù)管道的軸線方向與波的運動方向之間的相對位置，可將固體彈性波分為剪切波、縱向波以及彎曲波[8]，聲學(xué)域中模態(tài)分為周向模態(tài)與徑向模態(tài)[9]。

1.2 管壁波數(shù)

在 xy平面內(nèi)受橫向荷載作用引起橫向振動的鐵木辛柯梁模型如圖 1所示。運動方程如式(1)所示[10]：

圖1 鐵木辛柯理論模型Fig.1 Timoshenko's theoretical model

式(1)中：E為彈性模量；G為剪切模量；μ為截面形狀因數(shù)；ρ為梁材料的密度；A為梁截面面積；I為梁截面對中性軸的慣性矩。由于管道為圓截面，所以根據(jù)剪切所計算的應(yīng)變能理論，μ取0.9。

假設(shè)所受外力為 0，即q=0，將方程基本解y= B ei(ωt-kx)以及波數(shù)k=ω/c(B為波幅，ω為角頻率，c為波速)，代入方程(1)得：

為了簡化方程，令：

方程(2)可化簡為

令ω= 2 π f ，其中f為頻率，可得管道鐵木辛柯梁模型彎曲波數(shù)為

管道縱向振動模型如圖2所示，其中u表示x處橫截面上一點的縱向位移，S表示x處橫截面上的軸向應(yīng)力合力，A為橫截面面積，ρ為材料的質(zhì)量密度，當(dāng)管道縱向振動時，每一分段上的軸向力根據(jù)達朗貝爾(D'Alembert)定理[11]可得：

圖2 管道縱向振動模型Fig.2 Longitudinal vibration model of pipeline

根據(jù)波數(shù)與頻率的關(guān)系，將式(6)代入式(5)，得管道鐵木辛柯梁模型縱向波數(shù)為

圖3 管道剪切振動模型Fig.3 Shear vibration model of pipeline

列出動力學(xué)方程[12]得:

將ω= 2 π f 與式(8)代入式(9)，可得管道鐵木辛柯梁模型切向波數(shù)為

最終得到夾層管道彎曲波數(shù)解析方程(4)，縱向波數(shù)解析方程(7)，剪切波數(shù)解析方程(10)。

1.3 管道流體域波數(shù)

夾層輸流管道的管壁作為剛性壁面，以剛性壁面圓管波導(dǎo)來討論管內(nèi)流體域中簡正波的傳播特性，即管內(nèi)聲模態(tài)傳播特性。

首先假設(shè)波導(dǎo)中存在(n,m)階簡正波，則在柱坐標(biāo)系下該簡正波函數(shù)為

表1 方程dJn(x)/dx=0的第m個根βnm的值Table 1 Value of the m-th root (βnm) of the equation dJn(x)/dx=0

由于管壁為剛性壁面，所以，當(dāng)r= a時，徑向波速vr= 0 ，即

式中：kr指的是徑向模態(tài)，根據(jù)柱貝塞爾函數(shù)Jn(x)的遞推關(guān)系得出：

利用表1的值，可以根據(jù)式(13)解出無限長夾層管道簡正波的每一階波數(shù)方程。

式中：m≥0，n≥0，m、n均為整數(shù)。

2 管道聲固耦合理論

聲固耦合屬于多物理場問題，流體域與固體域通過聲固耦合邊界實現(xiàn)數(shù)據(jù)交換，在邊界處流體域聲波會在固體域中產(chǎn)生聲壓載荷，固體域的振動會對流體域產(chǎn)生法向加速度。

2.1 管道模型簡化假設(shè)

聲固耦合的數(shù)學(xué)模型需要滿足三個基本物理方程，即質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程和能量守恒方程[13]。

模型假定：

(1) 聲學(xué)域為理想流體，聲波在管道中傳播無損耗且不存在粘滯性；

(2) 在聲波傳播過程中，所有的熱力學(xué)是等熵過程；

(3) 管道中的傳播都是小振幅振動，聲學(xué)參量忽略二階以上微量；

(4) 只考慮與管束軸線相垂直的平面內(nèi)的聲場情況；

(5) 忽略管道內(nèi)流體流動時所引起的噪聲；

(6) 沒有聲擾動時，管道在宏觀上是均勻、靜止的。

滿足以上條件可將管道模型簡化為二維模型，即將三維管道模型簡化無限長管道模型。

2.2 聲固耦合控制方程及邊界

描述空氣中聲波傳播的方程[14]可從流體流動的控制方程推演而來。無損介質(zhì)中壓力波的波動方程為

其中：Qm為單極子域源，是一個質(zhì)量源，單位為s-2。qd為偶極域源，是一個力源，單位為N·m-3，p為聲壓，ρ為材料密度，c為波速，由于本模型中不受外源影響，所以該兩域源數(shù)值為0。

聲固耦合邊界條件為

其中：n為耦合面法向量；pt為總聲壓；utt為結(jié)構(gòu)加速度；FA為結(jié)構(gòu)一側(cè)所受單位面積力。

在聲固耦合中，結(jié)構(gòu)體的控制方程是根據(jù)牛頓第二定律[15]決定的，結(jié)構(gòu)控制方程可表達為

其中：方程右邊兩項??s、FV分別為面載荷與體載荷。

3 數(shù)值模型構(gòu)建

本文使用COMSOL Multiphysics多物理場仿真軟件進行數(shù)值分析。以二維平面構(gòu)建無限長夾層管道模型，內(nèi)部橫截面呈圓形。在模型中，夾層管道內(nèi)徑為 0.054 m，外徑為 0.07 m，管壁內(nèi)外為結(jié)構(gòu)鋼，內(nèi)層厚度為0.003 m，外層厚度為0.002 m，夾層材料為聚丙烯[16]，厚度為 0.003 m，分別計算管道充水和充氣兩種情況。所使用的材料參數(shù)如表 2所示，無限長夾層輸流管道模型如圖4所示，聲固耦合邊界為半徑最小閉合圓曲線。

表2 材料參數(shù)Table 2 Material parameters

圖4 無限長夾層輸流管道模型Fig.4 Model of unlimited length sandwich pipe conveying fluid

聲學(xué)域網(wǎng)格采用自由三角形網(wǎng)格劃分，結(jié)構(gòu)域網(wǎng)格采用映射分布劃分，分布類型為固定單元數(shù)，單元數(shù)取 5，聲學(xué)域需嚴(yán)格遵循網(wǎng)格最大單元尺寸小于1/5波長即每個波長涵蓋5個以上網(wǎng)格單元的原則，這樣聲學(xué)分析時才能準(zhǔn)確。對建立的幾何模型進行模式分析，求解模式數(shù)設(shè)為20，給定模式分析頻率f0=1 000 Hz，模式搜索基準(zhǔn)值設(shè)為1. 1k0，參數(shù)化掃描頻率范圍為 10～12 000 Hz，間隔取100 Hz，其中。解析計算結(jié)果是將文中推導(dǎo)的波數(shù)公式編程嵌入至COMSOL Multiphysics中進行計算，x軸表示頻率，y軸表示波數(shù)，以此完成頻散曲線解析計算。通過求解分別得到了夾層輸流管道內(nèi)部充水和充氣兩種情況下的頻率-波數(shù)頻散曲線，以及內(nèi)部聲壓與管壁形變云圖。

4 計算分析

4.1 頻散關(guān)系分析

本文計算了無限長夾層輸流管道的三種頻散關(guān)系，分別是內(nèi)部聲模態(tài)頻散關(guān)系、管壁彈性模式頻散關(guān)系以及耦合時的頻散關(guān)系。由于在中低頻條件下，所以本文求解流體域前8階聲模態(tài)面外波數(shù)(即軸向波數(shù))解析解，階次分別為：(0, 0)、(1, 0)、(2, 0)、(0, 1)、(3, 0)、(0, 2)、(0, 3)、(1,1)。夾層輸流管道內(nèi)部為空氣時，不同彈性波模態(tài)的頻散曲線如圖5所示，夾層輸流管道內(nèi)部為水時，不同彈性波模態(tài)的頻散曲線如圖6所示。

夾層輸流管道內(nèi)部流體是空氣時，從圖5(a)可以看出，聲模態(tài)解析計算結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果基本一致，在計算的前8階模態(tài)中，(0, 2)和(0, 3)階聲模態(tài)不存在，說明此時掃描頻率沒有超過該階次的截止頻率，該階次聲模態(tài)無法在管道內(nèi)傳播。(0, 0)階聲模態(tài)是直通模式，因此該階次不發(fā)生頻散現(xiàn)象，其他存在的階次都發(fā)生了頻散現(xiàn)象。

夾層輸流管道的管壁彈性模式在圖5(b)中可以看出，管壁縱向模態(tài)和剪切模態(tài)的解析計算結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果基本吻合，由于梁模型彈性波頻散特性，彎曲模態(tài)在4 000 Hz前吻合度較好，4 000 Hz后產(chǎn)生了偏差，偏差隨著頻率的增加而加大。在數(shù)值模型計算中可以看出，管壁模式中還有其他傳播模態(tài)，例如由結(jié)構(gòu)特征變化派生的環(huán)形模態(tài)，在聲學(xué)探測中需盡量避免此模態(tài)的產(chǎn)生，因為該模態(tài)由模態(tài)疊加形成，會增加檢測信號的復(fù)雜性。還有的模態(tài)特性在較高頻處發(fā)生變化，彎曲模態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榧羟小⒖v向模態(tài)。

圖5 充氣夾層管道內(nèi)不同彈性波模態(tài)的頻散圖Fig.5 Dispersion diagrams of different elastic wave modes in the gas-filled sandwich pipe

在聲固耦合模式下頻散曲線較為復(fù)雜，從圖5(c)可以得出，夾層輸流管道產(chǎn)生彈性波模態(tài)的總數(shù)大于兩個單模式之和，這說明多出的模態(tài)是在耦合時產(chǎn)生的。所以針對多出的耦合模態(tài)，可利用有效數(shù)據(jù)來對耦合情況進行進一步分析。耦合時的聲模態(tài)以及管壁彈性模態(tài)與非耦合情況下各單模式的計算結(jié)果基本吻合，說明構(gòu)建的解析式適用于內(nèi)部為空氣時的夾層輸流管道的頻散特征分析。夾層輸流管道內(nèi)部流體是水時，從圖6(a)可以看出，聲模態(tài)解析計算結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果基本一致，但只存在“直通模式”即聲波均勻、聲壓幅值分布一致的(0, 0)階聲模態(tài)。水中傳播的聲模態(tài)較少，不易發(fā)生頻散現(xiàn)象，所以流體介質(zhì)屬性決定著管道內(nèi)部的聲模態(tài)特征。

圖6 充水夾層管道內(nèi)不同彈性波模態(tài)的頻散圖Fig.6 Dispersion diagrams of different elastic wave modes in the water-filled sandwich pipe

從圖6(b)可以看出，管壁縱向模態(tài)和剪切模態(tài)的解析計算結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果基本吻合，在高頻段有偏移但誤差偏移量極小可忽略，彎曲模態(tài)在高頻的偏移量較大。所以在高頻段利用鐵木辛柯梁模型對充水夾層管道的彎曲波數(shù)建立解析式不適用，在中低頻段鐵木辛柯梁模型波數(shù)解析式較適用。

從圖6(c)可以看出，在耦合情況下，構(gòu)建的聲模態(tài)波數(shù)解析式在掃描頻率為2 000 Hz之后與數(shù)值解產(chǎn)生了誤差，并隨著頻率的增加而加大，管壁彈性波彎曲模態(tài)誤差在此處也隨著頻率的增加而加大。在8 500 Hz處發(fā)生了“模態(tài)干涉”現(xiàn)象，即兩個相鄰模態(tài)出現(xiàn)了交叉點，此現(xiàn)象的產(chǎn)生是由于受到機械能轉(zhuǎn)化的影響。

4.2 截止頻率及模態(tài)分析

夾層輸流管道截止頻率可從構(gòu)建的解析式中計算得出，管道內(nèi)充水情況下，由頻散曲線可以看出只存在直通模式，直通模式在任何頻率下都可以產(chǎn)生，所以無須做截止頻率計算。充氣情況下管道在掃描頻率范圍內(nèi)存在6種模態(tài)，階次分別是(0, 0)、(1, 0)、(2, 0)、(0, 1)、(3, 0)、(1, 1)，通過計算可得出，截止頻率分別為0、3 810、6 210、7 810、8 510、10 810 Hz，與數(shù)值計算結(jié)果基本一致，繪制出的夾層輸流管道模態(tài)圖(見圖 7)也與相應(yīng)的波導(dǎo)截面上簡正波幅值分布圖[14]一一對應(yīng)，每個截止頻率對應(yīng)一階模態(tài)，再次驗證了構(gòu)建的解析式的準(zhǔn)確性。從圖7中可看出管壁變形情況與內(nèi)部聲壓分布情況。

圖7 充氣夾層輸流管道內(nèi)不同彈性波的模態(tài)圖Fig.7 Nephograms of different elastic wave modes in the gas-filled sandwich pipe

5 結(jié) 論

基于聲固耦合理論，利用多物理場數(shù)值計算方法分別對充水和充氣的無限長夾層輸流管道進行彈性波頻散特征分析，根據(jù)內(nèi)部聲學(xué)傳播模式和鐵木辛柯梁模型建立無限長夾層輸流管道彈性波波數(shù)解析式，得出這些解析式所適用的頻率范圍。通過模式分析計算可得出：

(1) 管內(nèi)充水時聲學(xué)域只存在直通模式，管內(nèi)充氣時存在多階聲學(xué)模態(tài)，耦合狀態(tài)時兩者都存在“模態(tài)干涉”現(xiàn)象。

(2) 通過解析計算得出的管道截止頻率與數(shù)值計算結(jié)果基本一致，并且繪制出各截止頻率下的聲波模態(tài)圖，與對應(yīng)的波導(dǎo)截面上簡正波幅值分布圖一致。

(3) 研究結(jié)果證明了所建立的鐵木辛柯梁模型的波數(shù)解析式適用于充氣夾層輸流管道的頻散特征分析，充水夾層輸流管道的彎曲波數(shù)解析式在高頻段不適用。

研究具有合理性和可行性，可為夾層管道聲固耦合理論的運用提供一定的參考，為夾層管道故障的聲檢測提供一定的理論依據(jù)。