“認(rèn)識(shí)概率”中考題剖析

許斌

隨機(jī)現(xiàn)象大量存在于自然界和人類社會(huì)中，而概率就是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)描述，刻畫隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。利用概率可以幫助人們對(duì)一些隨機(jī)現(xiàn)象做出預(yù)測(cè)和判斷，為人們更加合理地、理性地進(jìn)行決策提供理論依據(jù)。統(tǒng)計(jì)意識(shí)和隨機(jī)觀念已成為現(xiàn)代公民必備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也是歷年中考必考知識(shí)點(diǎn)之一。現(xiàn)采擷部分中考真題，與同學(xué)們一起剖析。

考點(diǎn)一 事件的分類

例1 （2020·內(nèi)蒙古通遼）下列事件中是不可能事件的是（）。

A.守株待兔? ? ? B.甕中捉鱉

C.水中撈月? ? ? ? ? D.百步穿楊

【解析】守株待兔是隨機(jī)事件，甕中捉鱉是必然事件，水中撈月是不可能事件，百步穿楊是隨機(jī)事件。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】在一定條件下，一定發(fā)生的事件稱為必然事件;在一定條件下，一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件;必然事件和不可能事件都是確定事件。在一定條件下，一些事情我們事先無法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這樣的事情稱為隨機(jī)事件。生活中，我們要學(xué)會(huì)區(qū)分身邊的必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件，要對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有一個(gè)定性的認(rèn)識(shí)。

【變式】（2020·湖北武漢）兩個(gè)不透明的口袋中各有三個(gè)相同的小球，將每個(gè)口袋中的小球分別標(biāo)號(hào)為1、2、3。從這兩個(gè)口袋中分別摸出一個(gè)小球，則下列事件為隨機(jī)事件的是（）。

A.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于1

B.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于6

C.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于1

D.兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于6

【解析】∵兩個(gè)不透明的口袋中各有三個(gè)相同的小球，每個(gè)口袋中的小球分別標(biāo)號(hào)為1、2、3，∴從這兩個(gè)口袋中分別摸出一個(gè)小球，兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于1，是不可能事件;兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和等于6，是隨機(jī)事件;兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于1，是必然事件;兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之和大于6，是不可能事件。故選B。

考點(diǎn)二 可能性的大小

例2 （2020·貴州安順）下列4個(gè)袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個(gè)小球，任意摸出一個(gè)球，摸到紅球可能性最大的是（）。

【解析】各選項(xiàng)袋子中分別有10個(gè)小球，若要使摸到紅球的可能性最大，只需找到紅球的個(gè)數(shù)最多的袋子，D選項(xiàng)袋子中紅球的個(gè)數(shù)最多，所以摸到紅球的可能性最大。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】事件發(fā)生的可能性有大有小，必然事件發(fā)生的可能性為1，不可能事件發(fā)生的可能性為0，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大于0而小于1。當(dāng)總情況數(shù)相同時(shí)，哪一種情況可能出現(xiàn)的次數(shù)多，哪一種情況發(fā)生的可能性就大，若各種情況可能出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，那么它們發(fā)生的可能性相同。

【變式】（2019·四川資陽）在一個(gè)布袋中裝有紅、白兩種顏色的小球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別。其中紅球若干，白球5個(gè)，袋中的球已攪勻。若從袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出紅球的可能性大，則紅球的個(gè)數(shù)是（）。

A.4個(gè)? ? ? ? ? B.5個(gè)

C.不足4個(gè)? ? ? ? ? D.6個(gè)或6個(gè)以上

【解析】∵袋子中白球有5個(gè)，且從袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，取出紅球的可能性大，∴紅球的個(gè)數(shù)比白球個(gè)數(shù)多，∴紅球個(gè)數(shù)滿足6個(gè)或6個(gè)以上。故選D。

考點(diǎn)三 用頻率估計(jì)概率

例3 （2020·江蘇徐州）在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個(gè)，這些球除顏色外都相同。小明通過多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是（）。

A.5? ? ? ? ? B.10? ? ? ? ? ?C.12? ? ? ? ? D.15

【解析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在該事件發(fā)生的概率的附近。因此，我們可以從比例關(guān)系入手，列出方程并求解。設(shè)袋子中紅球有x個(gè)，根據(jù)題意，得[x20]=0.25，解得x=5。故選A。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小。根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性的性質(zhì)，我們可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率。用頻率估計(jì)概率得到的是近似值，隨試驗(yàn)次數(shù)的增多，值越來越精確。

【變式】（2020·遼寧盤錦）為了解某地區(qū)九年級(jí)男生的身高情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū)1000名九年級(jí)男生的身高數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)結(jié)果，隨機(jī)抽取該地區(qū)一名九年級(jí)男生，估計(jì)他的身高不低于170cm的概率是（）。

A.0.32B.0.55C.0.68D.0.87

【解析】樣本中身高不低于170cm的頻率為[550+1301000]=0.68，所以估計(jì)抽查該地區(qū)一名九年級(jí)男生的身高不低于170cm的概率是0.68。故選C。

概率是研究生活中不確定的現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方法，起源于17世紀(jì)中葉“分賭注”問題。如今概率在保險(xiǎn)、軍事、經(jīng)濟(jì)等方面應(yīng)用越來越廣泛。希望通過本章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，真正做到學(xué)以致用。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)宿遷分校）