追根溯源，尋找中考題中的“似曾相識”

呂雯

課堂是我們學習的主要陣地，教材是我們學習的主要工具。老師在課堂上講解的例題，為我們提供了解決問題的范例，揭示了數學方法，規范了思考過程，更是數學體系構建最基礎、極重要的一個環節。同學們要理解和掌握課堂上學到的知識，并將知識轉化為解決實際問題的能力。

一、沖破迷霧尋原題

（蘇科版數學教材八年級上冊第146頁例2）在彈性限度內，彈簧長度y（cm）是所掛物體的質量x（g）的一次函數。已知一根彈簧掛10g物體時的長度為11cm，掛30g物體時的長度為15cm，試求y與x的函數表達式。

解：根據題意，設y與x的函數表達式為y=kx+b（k≠0），

由x=10時，y=11，得11=10k+b。

由x=30時，y=15，得15=30k+b。

解方程組[10k+b=11，30k+b=15，]

得[k=15，b=9。]

所求函數表達式為y=[15]x+9。

二、一針見血破變形

一次函數與方程有著密不可分的聯系，在中考試題中，常常將一次函數與二元一次方程組相結合，先用待定系數法求出一次函數表達式，再利用一次函數的圖像，結合增減性，找到突破口，求出函數的最值。

【基礎變式】（2020·山東煙臺）新冠疫情期間，口罩成為人們出行必備的防護工具。某藥店三月份共銷售A、B兩種型號的口罩9000只，共獲利潤5000元，其中A、B兩種型號口罩所獲利潤之比為2∶3。已知每只B型口罩的銷售利潤是A型口罩的1.2倍。

（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤。

（2）該藥店四月份計劃一次性購進兩種型號的口罩共10000只，其中B型口罩的進貨量不超過A型口罩的1.5倍。設購進A型口罩m只，這10000只口罩的銷售總利潤為W元。該藥店如何進貨，才能使銷售總利潤最大？

解：（1）設每只A型口罩的銷售利潤為x元，則每只B型口罩的銷售利潤為1.2x元，故[2000x+30001.2x]=9000，解得x=0.5。

答：每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤分別為0.5元，0.6元。

（2）根據題意，得W=0.5m+0.6（10000-m）=-0.1m+6000。

由10000-m≤1.5m，解得m≥4000。

∵-0.1<0，∴W隨m的增大而減小。

∵m為正整數，∴當m=4000時，W取最大值，則-0.1×4000+6000=5600（元）。

答：該藥店購進A型口罩4000只、B型口罩6000只，才能使銷售總利潤最大。最大利潤為5600元。

【點評】本題考查的是一次函數的求法和性質，二元一次方程組及一元一次不等式的綜合應用。根據題意建立一次函數關系，結合一次函數的增減性發現W隨m的增大而減小，從而確定自變量x的值，最終得出W的最大值。

三、撥云見日探本質

二次函數的考查常以應用題的形式出現在中考試卷上，我們只要理解題意，層層剖析，把每一個變量都表示出來，就能將復雜的文字語言轉化為簡潔的數學語言，列出函數表達式解決問題。

【升級變式】（2020·內蒙古呼倫貝爾）某商店銷售一種銷售成本為每件40元的玩具，若按每件50元銷售，一個月可售出500件，銷售價每漲1元，月銷量就減少10件。設銷售價為每件x元（x≥50），月銷量為y件，月銷售利潤為w元。

（1）寫出y與x的函數表達式，w與x的函數表達式;

（2）商店要在月銷售成本不超過10000的情況下，使月銷售利潤達到8000元，銷售價應定為每件多少元？

（3）當銷售價定為每件多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤。

解：（1）根據題意，得y=500-10（x-50）=1000-10x，x≥50。

w=（x-40）（1000-10x）=-10x2+1400x-40000，x≥50。

（2）根據題意，得-10x2+1400x-40000=8000，解得x1=60，x2=80。

當x=60時，成本=40×[500-10（60-50）]=16000>10000，不符合要求，舍去;

當x=80時，成本=40×[500-10（80-50）]=8000<10000，符合要求。

∴銷售價應定為每件80元。

（3）∵w=-10x2+1400x-40000

=-10（x-70）2+9000，x≥50，

又∵-10<0，

∴當x=70時，w取最大值9000。

答：銷售價定為每件70元時會獲得最大利潤。最大利潤為9000元。

【點評】此題是二次函數的實際應用，需準確分析題意，求出二次函數表達式。第（2）問是要將二次函數轉化成一元二次方程求解;第（3）問應利用配方法將二次函數一般式寫成頂點式，再結合二次函數性質求出二次函數最大值。

（作者單位：江蘇省無錫市梅里中學）