正本清源理脈絡(luò)　熟能生巧解函數(shù)

施康琪

函數(shù)是用來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界變量關(guān)系的模型，概念較為抽象。而二次函數(shù)相較一次函數(shù)、反比例函數(shù)，表達(dá)方式更多樣，圖形更復(fù)雜，因此，涉及的考點(diǎn)也較多。下面，我們針對(duì)具體的中考題，圍繞這些考點(diǎn)，談?wù)劷鉀Q策略。

一、巧用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

例1 （2020·黑龍江齊齊哈爾）如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)（4，0），其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，結(jié)合圖像給出下列結(jié)論：①ac<0;②4a-2b+c>0;③當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而增大;④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。其中正確的結(jié)論有（）。

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解析】通過(guò)函數(shù)圖像，我們可以知道函數(shù)的開(kāi)口方向、增減性、對(duì)稱(chēng)性;通過(guò)具體的對(duì)稱(chēng)軸以及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，我們可以把圖形補(bǔ)充完整，順利地求得函數(shù)圖像與x軸的另一交點(diǎn)，這是典型的利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的方法。審題時(shí)，我們不僅要利用好函數(shù)圖像，更要關(guān)注圖中x=1和數(shù)字4這兩個(gè)細(xì)節(jié)所帶來(lái)的隱藏作用。

①拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，故a>0;拋物線(xiàn)與y軸交于負(fù)半軸，故c<0，因此ac<0。①正確。

②令x=-2，則y=4a-2b+c，所以想到去尋求橫坐標(biāo)為-2的點(diǎn)。圖中與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（4，0），結(jié)合拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，易知拋物線(xiàn)與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），于是有4a-2b+c=0。②錯(cuò)誤。

③由圖像可知，當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大。③正確。

④拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。④正確。

故選C。

【點(diǎn)評(píng)】本題是利用二次函數(shù)性質(zhì)解決參數(shù)相關(guān)問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題，除了要掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之外，更要仔細(xì)觀察圖像中的每一個(gè)顯性條件（數(shù)字、點(diǎn)坐標(biāo)）和隱性條件（增減性、對(duì)稱(chēng)性），不放過(guò)每一個(gè)細(xì)節(jié)。

二、求二次函數(shù)表達(dá)式

1.待定系數(shù)法。

例2 （2020·四川成都）拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2）。求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式。

【解析】A（-1，0）、B（4，0）是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，因此首選交點(diǎn)式。

設(shè)y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），則x1=-1，x2=4，代入（0，-2），得a（0+1）（0-4）=-2，解得a=[12]，因此y=[12]（x+1）（x-4）=[12]x2[-32]x-2。

【總結(jié)】若已知拋物線(xiàn)任意三點(diǎn)坐標(biāo)，且這三點(diǎn)沒(méi)有明顯特殊性，則采用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）;若已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ(chēng)軸，則可采用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0）;若已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）。

2.利用平移，直接求表達(dá)式。

例3 （2020·黑龍江哈爾濱）將拋物線(xiàn)y=x2向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線(xiàn)為（）。

A.y=（x+3）2+5 B.y=（x-3）2+5

C.y=（x+5）2+3 D.y=（x-5）2+3

【解析】由“上加下減”的原則，將拋物線(xiàn)向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=x2+3;由“左加右減”的原則，將拋物線(xiàn)y=x2+3向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=（x-5）2+3。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是函數(shù)圖像的平移。這類(lèi)題一般先將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k，再巧用口訣“上加下減，左加右減”解題。重點(diǎn)要注意“上加下減”是在k后面加減，而“左加右減”是指在括號(hào)里對(duì)x進(jìn)行加減。

三、運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的最值問(wèn)題

例4 （2020·遼寧撫順）超市銷(xiāo)售某品牌洗手液，進(jìn)價(jià)為每瓶10元。在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每天銷(xiāo)售量y（瓶）與每瓶售價(jià)x（元）之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系（其中10≤x≤15，且x為整數(shù)），當(dāng)每瓶洗手液的售價(jià)是12元時(shí)，每天銷(xiāo)售量為90瓶;當(dāng)每瓶洗手液的售價(jià)是14元時(shí)，每天銷(xiāo)售量為80瓶。

（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;

（2）設(shè)超市銷(xiāo)售該品牌洗手液每天銷(xiāo)售利潤(rùn)為W元，當(dāng)每瓶洗手液的售價(jià)定為多少元時(shí)，超市銷(xiāo)售該品牌洗手液每天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

【解析】（1）根據(jù)已知的一次函數(shù)關(guān)系，直接用待定系數(shù)法求解即可;

（2）根據(jù)利潤(rùn)表達(dá)式（總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×數(shù)量）表示出二次函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及實(shí)際要求，確定最值。

解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0）。根據(jù)題意，得

[12k+b=90，14k+b=80，]解得[k=-5，b=150。]

∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=-5x+150，10≤x≤15，且x為整數(shù)。

（2）根據(jù)題意，得W=（x-10）（-5x+150）=-5（x-20）2+500，∵a=-5<0，∴當(dāng)x<20時(shí)，W隨著x的增大而增大。∵10≤x≤15且x為整數(shù)，∴當(dāng)x=15時(shí)，W有最大值，即W=-5（15-20）2+500=375。

答：當(dāng)每瓶洗手液的售價(jià)定為15元時(shí)，超市銷(xiāo)售該品牌洗手液每天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為375元。

【點(diǎn)評(píng)】本題是銷(xiāo)售類(lèi)的經(jīng)典題型，難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)主要在第（2）問(wèn)，即如何求最大利潤(rùn)。二次函數(shù)求最值主要有兩種方法：一是配方法，利用頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值;二是公式法，當(dāng)x=[-b2a]時(shí)，最值為[4ac-b24a]。值得注意的是，在實(shí)際問(wèn)題中，往往要先確定自變量的取值范圍，根據(jù)實(shí)際意義，結(jié)合圖像增減性，求出最值。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市梅里中學(xué)）