一元一次不等式中考熱點(diǎn)例說

沈晶晶

一元一次不等式（組）是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是各地中考的必考考點(diǎn)。老師以2020年中考試題為例，歸納出以下幾個(gè)熱門考點(diǎn)，以期幫助同學(xué)們更好地復(fù)習(xí)研究。

考點(diǎn)一：不等式的基本性質(zhì)

例1 （2020·貴州貴陽）已知a

A.a-1-2b

C.[12]a+1<[12]b+1 D.ma>mb

【解析】A選項(xiàng)在不等式a-2b。C選項(xiàng)在不等式amb;若m=0，則ma=mb，有三種可能。故選D。

【點(diǎn)評】解決此類問題的關(guān)鍵是先判斷出選項(xiàng)中的不等式的兩邊是對已知不等式的兩邊如何變形的，再根據(jù)不等式的性質(zhì)作出判斷即可。

考點(diǎn)二：在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集

例2（2020·湖南益陽）將不等式組[x+2≥0，x<1]的解集在數(shù)軸上表示，正確的是（）。

【解析】解不等式x+2≥0，得x≥-2，又x<1，∴不等式組的解集為-2≤x<1。故選A。

【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集的方法。正確求出每一個(gè)不等式的解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵。同時(shí)，解集在數(shù)軸上表示時(shí)，我們還要注意臨界點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn)。

考點(diǎn)三：求待定字母的取值范圍

例3 （2020·甘肅天水）若關(guān)于x的不等式3x+a≤2只有2個(gè)正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）。

A.-7

C.-7≤a<-4 D.-7

【解析】先解不等式?！?x+a≤2，∴3x≤2-a，則x≤[2-a3]。

∵不等式只有2個(gè)正整數(shù)解，∴不等式的正整數(shù)解為1、2，則2≤[2-a3]<3，解之可得-7

變式：若關(guān)于x的不等式組[2（x-1）>2，a-x<0]

的解集是x>a，則a的取值范圍是（）。

A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2

【解析】先解關(guān)于x的不等式組[2（x-1）>2，a-x<0，]得[x>2，x>a。]由于不等式組的解集是同大取大，借助數(shù)軸，得出答案a≥2。臨界值a能否等于2，可將a=2代入不等式組中進(jìn)行驗(yàn)證。故選D。

【點(diǎn)評】解決這類問題的思路是先求出不等式（組）的解集，有待定字母的不等式用含待定字母的代數(shù)式表示，再由解集的特征要求來確定待定字母的取值范圍。同時(shí)可以借助數(shù)軸進(jìn)行逆向分析。在特殊值或邊界值的取舍上，一定要仔細(xì)甄別。

考點(diǎn)四：一元一次不等式與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

例4 （2020·湖南湘潭）如圖，直線y=kx+b（k<0）經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），當(dāng)kx+b≥x時(shí)，則x的取值范圍為（）。

A.x≤1 B.x≥1 C.x<1 D.x>1

【解析】本題可以直接用代數(shù)方法求解。將P（1，1）代入y=kx+b（k<0），可得k=1-b，再代入kx+b≥x變形整理，得-bx+b≥0。由圖像可知b>0，∴x-1≤0，∴x≤1。故選A。

由于直線y=x也經(jīng)過P點(diǎn)，所以我們?nèi)绻麖臄?shù)形結(jié)合的角度來看一元一次不等式kx+b≥x的解集，就是找出直線y=kx+b落在直線y=x上方的部分，也就是直線y=kx+b上位于點(diǎn)P的左側(cè)部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所對應(yīng)的自變量的取值范圍。

變式：已知關(guān)于x的函數(shù)y=kx+3的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，0），則關(guān)于x的不等式kx+3>0的解集是。

【解析】從數(shù)形結(jié)合的角度來看不等式kx+3>0的解集，實(shí)際上就是一次函數(shù)y=kx+3的圖像在x軸上方部分所對應(yīng)的自變量的取值范圍。故答案為x<2。

【點(diǎn)評】這類不等式與函數(shù)相結(jié)合的題型可以說不是解出來的，而是看出來的。我們要深刻理解不等式（組）的本質(zhì)，準(zhǔn)確把握函數(shù)值與方程的解、不等式（組）的解或解集之間的內(nèi)在聯(lián)系，才能靈活快速地解決相關(guān)問題。

考點(diǎn)五：一元一次不等式組的應(yīng)用

例5 （2020·山東濟(jì)寧）為加快復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某企業(yè)需運(yùn)輸一批物資。據(jù)調(diào)查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸600箱;5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸1350箱。

（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)輸多少箱物資。

（2）計(jì)劃用兩種貨車共12輛運(yùn)輸這批物資，每輛大貨車一次需費(fèi)用5000元，每輛小貨車一次需費(fèi)用3000元。若運(yùn)輸物資不少于1500箱，且總費(fèi)用小于54000元，請你列出所有運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費(fèi)用最少。最少費(fèi)用是多少？

【解析】（1）設(shè)1輛大貨車一次運(yùn)輸x箱物資，1輛小貨車一次運(yùn)輸y箱物資。由“2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸600箱;5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸1350箱”可列方程組，得[2x+3y=600，5x+6y=1350，]

解得[x=150，y=100。]

（2）設(shè)有a輛大貨車，（12-a）輛小貨車。由“運(yùn)輸物資不少于1500箱，且總費(fèi)用小于54000元”可列不等式組，得

∴6≤a<9，

∴整數(shù)a=6，7，8。

當(dāng)有6輛大貨車、6輛小貨車時(shí)，費(fèi)用=5000×6+3000×6=48000元;

當(dāng)有7輛大貨車、5輛小貨車時(shí)，費(fèi)用=5000×7+3000×5=50000元;

當(dāng)有8輛大貨車、4輛小貨車時(shí)，費(fèi)用=5000×8+3000×4=52000元。

∵48000<50000<52000，

∴當(dāng)有6輛大貨車、6輛小貨車時(shí)，費(fèi)用最少。最少費(fèi)用為48000元。

【點(diǎn)評】利用二元一次方程組和一元一次不等式組解決實(shí)際問題，是中考中最常見的題型。本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組;（2）根據(jù)各數(shù)量之間的不等關(guān)系，正確列出一元一次不等式組。在利用不等式（組）解決問題時(shí)，求得不等式（組）的解集后，要善于根據(jù)實(shí)際問題的常規(guī)要求及附加要求，全面而完整地對解進(jìn)行取舍。

（作者單位：江蘇省儀征市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）