2020年高考“圓錐曲線”解答題命題分析

戚瑩

摘要：圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分，也是歷年高考必考的一道解答題，常以求曲線的標準方程，直線與圓錐曲線位置關系中的定點、定值、最值、范圍以及存在與否的探究性問題為主。對考生解決問題的能力要求極高，通常作為壓軸題的形式出現。本文對2020年高考數學試卷中圓錐曲線解答題從命題的角度進行了分析，總結了圓錐曲線解答題的特點，指出了試題與教材中的例題和習題之間的聯系，提出了相應的教學建議，為2021年圓錐曲線解答題的復習備考提供參考。

關鍵詞：圓錐曲線;考點分析;復習建議

2020年的高考數學試卷中，全國I卷、全國II卷、全國III卷、新高考I卷、新高考II卷，以及自主命題的北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷、江蘇卷對圓錐曲線解答題的考查延續了以往的命題風格，重點考查學生的基本功，方法可圈可點，關注學生利用代數方法研究幾何圖形的性質、轉化與化歸思想的能力，滲透著對數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算素養的考查，實現了服務選材、引導教學的目的.

一、考點分析

圓錐曲線與科研、生產以及人類生活有著緊密的關系，在刻畫現實世界和解決實際問題中起著重要的作用。掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質等相關知識對所研究的幾何對象能夠提供簡單有效的研究手段，是培養學生數形結合思想的重要思維工具.

1.考查橢圓的標準方程，以及直線與橢圓的位置關系中的定點、求值問題

例1.（全國1卷.理20/文21）已知A，B分別為橢圓E： （a>1）的左右頂點，G為E的上頂點， ，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一個交點為C，PB與E的另一個交點為D。

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點。

【評析】本題涉及到的知識點有，橢圓的基本性質，直線與橢圓的位置關系。其中求直線過定點問題難度較大。第（1）的解題方法是通過向量的坐標運算，把向量問題轉化為代數問題。在第（2）問設出P點坐標后，通過兩點式直線方程公式寫出PA，PB的直線方程，再分別與橢圓方程聯立，設出C，D點坐標，進而寫出直線CD的方程。取點P不同的縱坐標值得到不同的直線方程，聯立解得交點坐標即為所求點（定點）坐標，代入原方程進行驗證，確認結果。

根據圓錐曲線的性質解決過定點問題是對學生綜合能力的考查，其中正確的求解曲線方程是基礎。以人教A版《普通高中課程標準實驗教科書.數學（選修2-1）》（以下簡稱《數學（選修2-1）》）為例，求曲線的方程作為第二章的第一節設置了很多的例題，還設置了大量的習題，借助于已知條件求出表示曲線的方程，通過曲線的方程研究曲線的性質.因此，求解曲線方程是基礎知識，掌握了這些知識點，就可以有效地解題。高考題中，大部分解答題都直接或間接的考查了圓錐曲線的標準方程，并在求解出標準方程的基礎上考查相關性質。

例2.（北京卷20）已知橢圓C： 過點A（-2，-1），且a=2b

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點B（-4，0）的直線交橢圓C于點M、N，直線MA，NA分別交直線x=-4于點P、Q，求 的值.

【評析】本題考查了橢圓的標準方程及其簡單幾何性質、直線與橢圓的位置關系.考查數形結合思想，體現了直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養，屬于較難的題.第（1）問將點A的坐標代入橢圓方程，由a=2b即可求得橢圓的標準方程.第（2）問，由題意得直線方程的斜率存在，設出直線方程與橢圓方程聯立，通過判別式與韋達定理得出相應的關系式，然后表示出直線AM、AN的方程，與直線x=-4聯立求得P、Q點的縱坐標，化簡得到 的值.該題第（2）問，雖是直線與橢圓的位置關系最常規的考法，但是計算量很大，需要結合題意分析推理得出要求的 比值與點P、Q縱坐標的關系.這就要求學生要具備轉化化歸能力，以及靈活處理解析幾何問題的能力.

2.考查橢圓的基本性質，以及直線與橢圓位置關系中的定值問題

例3.（新高考I卷.山東22）已知橢圓C： （a>b>0）的離心率為 ，且過點A（2，1）

（1）求C的方程

（2）點M，N在C上，且 ， ，D為垂足，證明：存在定點Q，使得〡DQ〡為定值.

【評析】本題考查了橢圓的性質，以及根據直線過定點求解定值問題.第（1）問由題意可以列出關于a，b，c的方程組，求解這一方程組即可得到橢圓方程;第（2）問依照解決圓錐曲線與直線的常規思路——“韋達定理法”，設出M，N兩點坐標及直線MN的方程（y=kx+m），聯立直線與橢圓的方程從而確定系數k，m之間的數量關系，進一步驗證直線MN通過某一定點的事實，最后根據直角三角形的性質來確定滿足題意要求的Q點的位置。但是要綜合考慮斜率不存在的情況，以確保此時直線MN依然通過前述的某一定點，進而求解定值。

2020年高考很多套試卷都圍繞直線過定點問題考查的，這就要求教師在教學過程中注重對學生的引導.以橢圓為例（其他同理），過橢圓上一點作兩條垂直直線交橢圓于兩點，則這兩點的連線必過一定點.

3.考查橢圓的定義，以及由直線與橢圓位置關系的推理論證求解最值問題

例4.（江蘇卷18）在平面直角坐標系xoy中，若橢圓E： 的左右焦點分別為F1，F2，點A在橢圓E上且在第一象限內，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B.

（1）求 的周長;

（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q，求 的最小值;

（3）設點M在橢圓E上，記 與 的面積分別是S1，S2，若S2=3S1，求M的坐標.

【評析】 本題考查了橢圓的定義，直線方程、直線與橢圓相交問題、點到直線距離公式的應用、向量數量積等基礎知識，考查了推理論證能力、分析問題的能力和運算求解能力. 第（1）問根據橢圓的定義可得AF1+AF2=4，從而可求出 的周長;第（2）問，通過設P點的坐標，根據點A在橢圓E上，且在第一象限，AF2⊥F1F2，求出A（1， ），根據準線方程得Q點坐標，再根據向量坐標公式，結合二次函數性質即可求出最小值;第（3）問設點M的坐標，點M到直線AB的距離為d，有點O到直線AB的距離與S2=3S1，可推出d= ，根據點到直線的距離公式，以及點M滿足橢圓方程，解方程組即可求得坐標.該題考查的知識點與全國I卷文21（理20）題考查的知識點有相同的地方，但是難度相對要大一些.

例5.（新高考II卷.海南21）已知橢圓C： （a>b>0）過點M（2，3），點A為其左頂點，且AM的斜率為 ;

（1）求C的方程;

（2）點N為橢圓上任意一點，求 的面積的最大值.

【評析】本題考查了橢圓的標準方程，以及直線與橢圓的位置關系、點到直線的距離公式等知識.考查了學生分析問題和根據幾何關系推理論證的能力以及計算能力.第（1）問通過求解直線AM的方程，根據題意求出a，b的值即可確定橢圓的方程.第（2）問在利用幾何關系確定點N的位置時，設與AM平行的直線與橢圓相切，然后再聯立直線與橢圓方程利用判別式為0求得直線方程，并且根據切點到直線AM的距離最大時三角形面積最大即可確定直線方程。結合平行線間的距離公式以及兩點間的距離公式即可求出三角形面積的最大值.該題第（2）問的求解方法與《數學（選修2-1）》2.2.2節例7相同.因此，提取題目信息正確的理解題意是關鍵.這就要求學生注重學習基礎知識的同時能夠靈活運用。

4.考查雙曲線與圓的定義，以及直線與曲線位置關系中的求解范圍問題

例6.（上海卷20）雙曲線C1： ，圓C2：x2+y2=4+b2（b>0）在第一象限的交點為A，A（xA，yA），曲線 T

（1）若 ，求b;

（2）若b= ，C2與x軸交點記為F1，F2，p是曲線T上一點，且在第一象限，并滿足〡PF1〡=8，求

（3）過點S（0，2+ ），且斜率為- 的直線L交曲線T與M，N兩點，用b的代數式表示 ，并求 的取值范圍.

【評析】本題考查了雙曲線與圓的定義和方程、性質，考查了直線與圓的方程、雙曲線的方程的聯立，點到直線的距離公式，以及向量數量積的幾何意義，考查了學生方程思想和化簡運算能力.第（1）問聯立雙曲線與圓的方程，根據xA= ，解方程可得b;第（2）問由雙曲線的定義和三角形的余弦定理，計算可得所求角;第（3）問設直線L的方程求得原點到直線的距離，判斷直線L與圓的位置關系為相切，可設切點為M，考慮雙曲線的漸近線方程，只有當yA>2時，直線L才能與曲線T有兩個交點，通過求解不等式可得b的范圍，再根據向量投影的定義求得 ，進而求得所求范圍.在本題中，注重考查學生對曲線方程的理解，以及數形結合分析問題和解決問題的能力，計算量較大，屬于較難題.因此，這就要求學生在平時的學習中加強數形結合和邏輯推理的能力，以及強化自己的計算能力，努力提升自己的數學素養.

5.考查拋物線的幾何性質，以及直線與圓錐曲線位置關系的探究問題

例7.（浙江卷21）已知橢圓C1： ，拋物線C2：y2=2px（p>0），點A是橢圓C1與拋物線C2的交點，過點A的直線L交橢圓C1于點B，交拋物線C2于M（B，M不同于A）

（1）若p= ，求拋物線C2的焦點坐標;

（2）若存在不過原點的直線L使M為線段AB的中點，求p的最大值

【評析】本題主要考查了拋物線的幾何性質，直線與橢圓、拋物線的位置關系等基礎知識.第（1）問由P的值可直接寫出拋物線的焦點坐標，比較簡單;第（2）問設直線L的方程，點A、B、M的坐標，將直線方程分別與拋物線的方程和橢圓方程聯立表示出點M的坐標，然后由點M在橢圓上代入點坐標，表示出P的等式關系，最后利用求解函數最值的方法解題.該題的第（2）問考查學生的數學運算能力，數學抽象與邏輯推理等的素養，具有一定的難度.因此，教師在教學過程中要注重對學生數學學科核心素養的培養.

二、命題思路分析

1.注重考查基礎知識

高考命題強調考試內容的基礎性，考查基本概念、性質和方法.2020年高考圓錐曲線解答題第一問基本都是根據定義、性質求曲線方程，與教材的例題和習題難度相當.只要學生掌握住圓錐曲線的定義、性質以及與教材上的例題和習題難度相當的問題，就能求解出這類高考題.例如，2020年全國II卷文（理）科第19題如下：

已知橢圓C1： （a>b>0）的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且〡CD〡= 〡AB〡

（1）求C1的離心率;

（2）設M是C1與C2的公共點，若〡MF〡=5，求C1與C2的標準方程。

【評析】該題第（1）問考查了拋物線和橢圓的定義、方程和性質;第（2）問考查了根據直線與橢圓的位置關系求解圓錐曲線的標準方程，考查了方程思想與運算能力，屬于圓錐曲線中的基礎題型.

同樣的，2020年高考全國III卷文科第21題（理科第20題）：

已知橢圓 C： （0

（1）求C的方程

（2）若點P在C上，點Q在直線x=6上，且〡BP〡=〡BQ〡，BP⊥BQ，求 的面積.

【評析】該題第（1）問考查了橢圓的方程及其性質;第（2）問考查了直線與橢圓的位置關系，考查了方程的轉化思想，屬于圓錐曲線中的基礎題型.

2.注重考查知識點之間的聯系

2020年高考中圓錐曲線解答題考查的知識點具有很強的綜合性.與往年一樣，在考查直線與圓錐曲線的位置關系時融合了多個知識點，每個部分考查一個常見的基本方法，考查的問題內容豐富.比如本文中的例6，不僅考查了圓錐曲線的定義、性質，同時還考查了點到直線的距離公式，向量數量積的幾何意義，三角形的余弦定理，以及方程思想和化簡運算能力.

例8.（天津卷18）已知橢圓C： （a>b>0）的一個頂點為A（0，3），右焦點為F，且〡OA〡=〡OF〡，其中O為原點.

（1）求橢圓的方程;

（2）已知點C滿足3 ，點B在橢圓上（B異于橢圓的頂點），直線AB與以C為圓心的圓相切與點P，且P為線段AB的中點，求直線AB的方程.

【評析】本題中考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、直線與圓相切問題、中點坐標公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力.第（1）問由題意得b=c=3，然后由a、b、c的關系即可求出橢圓方程;第（2）問由題意可得直線AB和直線CP的斜率均存在，通過設直線AB的方程為y=kx-3，聯立方程組，求出點B的坐標，再根據中點坐標公式可得點P的坐標，根據向量的知識求出點C的坐標，即可求出直線CP的斜率，然后根據直線垂直即可求出k的值，繼而得到直線AB的方程.其中第（2）問對學生的推理能力和計算能力有一定的要求.

該題融合的知識點和基本方法比較多，屬于有一定難度但是內容豐富的問題.

在2020年高考上海卷第20題（見本文例6）中，考查的內容就比較綜合.第（1）問聯立方程;第（2）問利用三角形余弦定理求解;在第（3）問的求解過程中，利用推理運算求得原點到直線的距離， 判斷直線L與圓的位置關系為相切，利用推理運算以及向量數量積的幾何意義即可求解.該題的第（3）問與本文中的例8考查的思想類似，都考查了學生的推理運算能力，融合多個知識點，需要根據每個題設條件得到相應的結果，循序漸進的解題.如果學生沒有推理運算能力，解題步驟會很亂，思路不清晰，解題自然容易出錯.

3.注重數學基本思想及數學能力的考查

圓錐曲線的解答題一般作為高考的壓軸題，可以鑒別學生的綜合能力.考查學生數形結合的思想、方程的思想、轉化與化歸的思想，要求學生將數學語言與圖形語言結合在一起，解決直線與圓錐曲線的位置關系的相關問題.同時也考查學生邏輯推理能力、運算能力、數學抽象以及靈活處理解析幾何問題的能力.

直線與圓錐曲線的位置關系中的定點求值問題考查了數形結合思想（見本文例2），也考查了邏輯推理、數學運算以及靈活處理解析幾何問題的能力.新高考II卷第21題，求面積的最大值需要轉化為點到直線的最大距離，在轉化的過程中需要注意基礎知識的靈活應用.

圓錐曲線解答題重點考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力.試題的設計符合考試大綱的要求，比如2020年高考上海卷第20題（見本文例6），有利于不同能力水平的學生在高考中發揮出相應的水平，同時也有利于教師在教學過程中對這部分內容的把控.

三、復習建議

1.熟悉考試大綱及說明

圓錐曲線解答題是考查學生綜合能力的題，能夠反映學生的數學水平.由于知識的難度大，所以試題的考查形式很有特點，會嚴格按照考試大綱的要求命題.因此，教師在教學過程中要嚴把考試大綱的命脈，有效的引領學生進行學習.

圓錐曲線的知識，雖然是選修內容，但由于其在高考試題中所占比重較大，綜合性較強，因此，這部分內容是高考考查的重難點.如果這部分內容只是在高三時才加強練習，肯定會降低復習的效率.所以，教師在熟悉考綱的基礎上，在學習新課的過程中，有選擇的補充一些知識點，根據學生的最近發展區進行適當的拓展，有效的把握復習的方向.這樣不僅能提高學生解題的正確率，還能提高復習的效率.

2.重視基礎知識和常規解法，重視教材

高考題注重考查學生的基礎，以書本知識為背景，源于教材，綜合性強.例如，新高考II卷（海南卷）第21題（見本文例5），第（2）問求三角形最大面積就是教材《數學（選修2-1）》2.2.2節例7的轉化.這就考查了知識體系內的橫向或者縱向聯系，要求學生在學習的過程中注重教材的重要性，同時也要求教師在教學中重視對學生引領.

由于圓錐曲線解答題一般作為壓軸題出現，計算量較大，很難準確的算出最后的結果.因此，就需要學生在平時練習這部分專題時，正確區分考查試題的類型，理清相應題型的解題思路，做到即使不能正確的算出最后的結果，也有相應的步驟分.

縱觀2020年高考對于圓錐曲線解答題的考查，第（1）問基本都是根據圓錐曲線的定義或者性質求解標準方程，這與課本例題和習題難度相當.其中新高考II卷第21題的第（2）問與教材《數學（選修2-1）》2.2.2節例7是同類型的題.其他常見的考查直線與圓錐曲線位置關系的試題，基本是教材上相關內容性質的綜合應用.

3.關注命題趨勢，緊跟時代步伐

《普通高中數學課程標準（2017年版）》對高考命題和復習備考，有一定的指導作用.根據圓錐曲線試題的特點，在教學中教師要注重學生對定義、性質的理解及思想方法的運用，強調數學本質，淡化技巧，幫助學生樹立科學的精神以及科學的態度，提升學生的數學專業素養.

同時重視圓錐曲線知識在發展學生數學學科核心素養中的作用.圓錐曲線解答題可以鍛煉學生的數學運算、數學抽象、邏輯推理等數學學科核心素養.在教學中，教師要注重培養學生這些能力，引領學生思考，學會反思，激發學生學習數學的興趣，運用信息技術提高課堂效率，從而提高學生的數學成績.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京人民教育出版社，2018.

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[3]姜思洋，吳麗華.2019年高考“選考內容”專題命題分析[J].中國數學教育（高中版），2019（9）：53-64.