基于軌跡特征圓的平面四桿機(jī)構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)化處理方法

李 磊， 彭其飛， 孫建偉*, 李曉東

(1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春 130012;2.中國(guó)第一汽車股份有限公司蔚山工廠， 吉林 長(zhǎng)春 130011)

0 引 言

四桿機(jī)構(gòu)在各種機(jī)械和設(shè)備中被用作執(zhí)行機(jī)構(gòu)，通常需要對(duì)特定任務(wù)有用的四桿機(jī)構(gòu)連桿軌跡進(jìn)行綜合。在軌跡生成中，目標(biāo)是讓物體沿著指定空間路徑曲線移動(dòng)。軌跡綜合的目的是確定連桿的長(zhǎng)度和機(jī)架安裝位置，使得連桿上的一點(diǎn)產(chǎn)生所需要的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線[1-4]。國(guó)內(nèi)外多位學(xué)者經(jīng)過幾十年的研究，提出許多有效、精確的設(shè)計(jì)方法用來綜合四桿機(jī)構(gòu)的軌跡[5-12]，其中使用數(shù)值圖譜法和近似綜合法作為主要的綜合方法得到了深入研究[8-12]。但是對(duì)于四桿機(jī)構(gòu)的綜合問題，由于機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)多，求解相對(duì)困難，為工程應(yīng)用設(shè)計(jì)人員提供滿足設(shè)計(jì)要求的軌跡綜合求解的有效方法還是很少，因此，完善軌跡綜合求解的理論方法需要在提取軌跡特征參數(shù)的同時(shí)，盡可能減少不影響連桿軌跡曲線特征參數(shù)的機(jī)構(gòu)參數(shù)[10]。在四桿機(jī)構(gòu)中，平面四桿機(jī)構(gòu)應(yīng)用最為廣泛[13]。文中以減少初始設(shè)計(jì)參數(shù)量為目標(biāo)，在傳統(tǒng)平面四桿機(jī)構(gòu)軌跡綜合求解理論方法的基礎(chǔ)上，提出基于軌跡特征圓，通過對(duì)軌跡特征圓參數(shù)的提取計(jì)算，確定滿足設(shè)計(jì)要求的目標(biāo)機(jī)構(gòu)機(jī)架安裝位置參數(shù)，實(shí)現(xiàn)平面四桿機(jī)構(gòu)連桿軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)化,其過程如圖1所示。

圖1 平面四桿機(jī)構(gòu)軌跡標(biāo)準(zhǔn)化處理

1 平面四桿機(jī)構(gòu)連桿軌跡曲線的數(shù)學(xué)模型

標(biāo)準(zhǔn)安裝位置的平面四桿機(jī)構(gòu)如圖2所示。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)安裝位置平面四桿機(jī)構(gòu)

機(jī)架AD與x軸重合，AB為輸入構(gòu)件，BC為連桿，CD為輸出構(gòu)件，AD為機(jī)架。機(jī)構(gòu)中各桿AB、BC、CD、AD長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1、L2、L3、L4。θ1為輸入構(gòu)件轉(zhuǎn)角，θ2為機(jī)構(gòu)連桿轉(zhuǎn)角。位置參數(shù)Lp、θp表示連桿上一點(diǎn)P，BP的長(zhǎng)度為L(zhǎng)p，且與BC的夾角為θp,θp為BP與連桿BC之間的夾角。根據(jù)平面四桿機(jī)構(gòu)桿件角度關(guān)系，連桿上P點(diǎn)連桿軌跡在坐標(biāo)系Oxy表示為：

xp=L1cosθ1+Lpcos(θp+θ2),

(1)

yp=L1sinθ1+Lpsin(θp+θ2)。

(2)

定義Oxy坐標(biāo)系為復(fù)平面坐標(biāo)系，實(shí)軸x軸，虛軸y軸，則連桿P點(diǎn)坐標(biāo)系位置可表示為

Fp=xp+iyp,

(3)

Fp=L1cosθ1+Lpcos(θp+θ2)+

i[L1sinθ1+Lpsin(θp+θ2)]，

(4)

將cosθ+isinθ=eiθ代入式(4)，則

Fp=L1eiθ1+Lpei(θp+θ2),

(5)

對(duì)連桿P點(diǎn)軌跡間隔Δθ進(jìn)行離散采樣2j(j∈N*)個(gè)點(diǎn)(Δθ=2π/(2j-1))，采樣點(diǎn)的坐標(biāo)為

(6)

將采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的輸入角得

(7)

指定標(biāo)準(zhǔn)安裝位置的平面四桿機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)L1=50 mm、L2=120 mm、L3=86 mm、L4=140 mm、Lp=150 mm、θp=60°,輸入構(gòu)件轉(zhuǎn)角θ1∈[30°,390°]。對(duì)指定平面四桿機(jī)構(gòu)的連桿軌跡曲線進(jìn)行離散采樣64個(gè)點(diǎn)，采樣點(diǎn)旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的輸入角，旋轉(zhuǎn)后的采樣點(diǎn)位置落在軌跡特征圓上。標(biāo)準(zhǔn)安裝位置平面四桿機(jī)構(gòu)的軌跡特征圓曲線如圖3所示。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)安裝位置平面四桿機(jī)構(gòu)的軌跡特征圓曲線

軌跡特征圓的半徑長(zhǎng)度為L(zhǎng)p=150 mm，圓心坐標(biāo)為Oc(50,0),L1=50 mm。基于這一發(fā)現(xiàn)，滿足設(shè)計(jì)要求的目標(biāo)機(jī)構(gòu)安裝位置可以通過連桿軌跡特征圓近似確定。

2 平面四桿機(jī)構(gòu)的軌跡曲線標(biāo)準(zhǔn)化處理

對(duì)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)安裝位置的平面四桿機(jī)構(gòu)，通過上述處理方法對(duì)連桿軌跡進(jìn)行采樣，可以計(jì)算出軌跡特征圓參數(shù)。在實(shí)際平面四桿機(jī)構(gòu)的應(yīng)用問題中，機(jī)構(gòu)往往是一般安裝位置。連桿軌跡曲線是由10個(gè)尺寸類型參數(shù)來描述,如圖4所示。

圖4 一般安裝位置平面四桿機(jī)構(gòu)

除了上面描述標(biāo)準(zhǔn)安裝位置的7個(gè)尺寸類型參數(shù)外，還有3個(gè)安裝位置參數(shù)：LA、θA和θ0。LA和θA是機(jī)架A點(diǎn)在坐標(biāo)系中的平移參數(shù)，機(jī)架A的坐標(biāo)(xA,yA)可以表示為(LAcosθA,LAsinθA)；θ0是機(jī)架在坐標(biāo)系中的安裝角度。因此，連桿上P點(diǎn)在復(fù)平面坐標(biāo)系Oxy的軌跡曲線可以表示為

Fp=LAeiθA+L1ei(θ1+θ0)+Lpei(θp+θ0+θ2)。

(8)

對(duì)連桿P點(diǎn)軌跡進(jìn)行離散采樣2j個(gè)點(diǎn)并進(jìn)行預(yù)處理，即每個(gè)采樣點(diǎn)減去安裝位置平移量LAeiθA，旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的輸入角得

(9)

根據(jù)式(9)，生成的點(diǎn)位于一個(gè)軌跡特征圓上，圓的半徑長(zhǎng)度為L(zhǎng)p，圓心坐標(biāo)為(L1cosθ0,L1sinθ0)，相位角為(θp+θ0+θ2n-θ1n)。因此對(duì)目標(biāo)軌跡離散采樣，并對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理，找到一個(gè)軌跡特征圓就可以確定目標(biāo)機(jī)構(gòu)的安裝位置。換一種說法，如果確定機(jī)架A點(diǎn)安裝位置，將目標(biāo)軌跡的采樣點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理，生成的這組點(diǎn)最大接近一個(gè)圓，便是可以滿足設(shè)計(jì)要求的目標(biāo)機(jī)構(gòu)的連桿軌跡特征圓，機(jī)架A點(diǎn)位置即是目標(biāo)機(jī)構(gòu)的安裝位置。

通過上述分析，文中重點(diǎn)需要確定A點(diǎn)坐標(biāo)(xA,yA)，將目標(biāo)軌跡的采樣點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理，得到的一組點(diǎn)與一個(gè)圓相匹配。如果只有三個(gè)點(diǎn)，在它們上面就會(huì)有一個(gè)圓；如果超過三個(gè)點(diǎn)，就不可能畫出一個(gè)與這三個(gè)點(diǎn)完美匹配的圓，需要一個(gè)近似值。同樣，假如采樣點(diǎn)只有三個(gè)點(diǎn)，在預(yù)處理后會(huì)在一個(gè)圓上。但是三個(gè)點(diǎn)并不能表示目標(biāo)連桿軌跡曲線的變化，因此采樣點(diǎn)需要一組點(diǎn)，對(duì)這組點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理后，需要近似在一個(gè)圓曲線上。針對(duì)這一思路，提出一種對(duì)特征圓接近程度的誤差函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,確定目標(biāo)軌跡特征圓參數(shù)和目標(biāo)機(jī)構(gòu)安裝位置的方法。

2.1 軌跡特征圓的擬合函數(shù)及圓心坐標(biāo)計(jì)算方法

(10)

(11)

根據(jù)式(11)計(jì)算各個(gè)點(diǎn)的平均距離平方(定義為目標(biāo)軌跡特征圓的半徑)為

(12)

通過式(11)和式(12)可得各個(gè)點(diǎn)的特征圓接近程度的誤差和函數(shù)δ為

(13)

當(dāng)目標(biāo)軌跡采樣點(diǎn)預(yù)處理后都在一條圓曲線上,且(Cx,Cy)是這條圓曲線的中心情況下，δ的函數(shù)值為零。因此可以用δ定量地判斷目標(biāo)軌跡采樣點(diǎn)預(yù)處理后與目標(biāo)軌跡特征圓曲線的接近程度，δ的函數(shù)值越小，目標(biāo)軌跡特征圓越滿足設(shè)計(jì)要求。

上述目標(biāo)軌跡特征圓的圓心坐標(biāo)(Cx,Cy)是設(shè)定的未知變量，式(13)是關(guān)于Cx和Cy的雙變量函數(shù)，目標(biāo)軌跡采樣點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理后的點(diǎn)在文中是給定的，因此當(dāng)這組給定點(diǎn)和最優(yōu)點(diǎn)(Cx,Cy)代入式(13)計(jì)算出δ最小值時(shí)，滿足δ函數(shù)分別對(duì)Cx和Cy求一階導(dǎo)數(shù)為零。因此，對(duì)式(12)進(jìn)行展開整理為：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

將式(14)分別對(duì)Cx和Cy求導(dǎo)：

(24)

(25)

通過令式(24)、式(25)等于零確定δ最小值的方式求解Cx和Cy：

(26)

(27)

由式(26)和式(27)可知，目標(biāo)軌跡采樣點(diǎn)預(yù)處理后，可以直接計(jì)算出δ最小時(shí)的最優(yōu)目標(biāo)軌跡特征圓中心點(diǎn)(Cx,Cy)。這里需要進(jìn)一步指出，當(dāng)δ函數(shù)是二元變量函數(shù)，滿足它的變量一階導(dǎo)數(shù)為零的情況可能出現(xiàn)在最小值、最大值和鞍點(diǎn)位置。因此，應(yīng)當(dāng)驗(yàn)證δ函數(shù)取最小值時(shí)的必要條件[7]：

(28)

(29)

(30)

根據(jù)式(15)和式(16)可以得出不等式(28)、(29)條件成立。而不等式(30)可以通過柯西-施瓦茨不等式證實(shí)同樣成立。因此，上述計(jì)算目標(biāo)軌跡特征圓的圓心坐標(biāo)方法是成立的。

2.2 目標(biāo)函數(shù)分析

對(duì)于平面四桿機(jī)構(gòu)的連桿軌跡生成綜合問題，將目標(biāo)軌跡采樣點(diǎn)預(yù)處理后特征圓接近程度的誤差函數(shù)δ作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)上述可知目標(biāo)函數(shù)有安裝位置xA、yA兩個(gè)優(yōu)化變量，這兩個(gè)變量組成候選解，表示為向量X

X=[xA,yA]。

(31)

(32)

通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化可以得到機(jī)架安裝位置xA、yA、連桿P點(diǎn)位置Lp桿長(zhǎng)和輸入構(gòu)件L1桿長(zhǎng)4個(gè)機(jī)構(gòu)尺寸類型參數(shù)，實(shí)現(xiàn)綜合求解的參數(shù)減少。

2.3 目標(biāo)機(jī)構(gòu)安裝位置的優(yōu)化方法

根據(jù)上述分析，目標(biāo)函數(shù)在尋找最優(yōu)兩個(gè)變量xA、yA時(shí)，與傳統(tǒng)的四桿機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化方法相比，不需要考慮輸入曲柄傳動(dòng)和Grashof′s判斷等設(shè)計(jì)約束，避免在優(yōu)化過程中xA、yA可行域的非光滑。

文中采用粒子群算法進(jìn)行目標(biāo)機(jī)構(gòu)安裝位置優(yōu)化。粒子群優(yōu)化算法最初是由Kennedy J等[14]介紹的，算法是基于蜜蜂、黃蜂、螞蟻、白蟻、魚、鳥的社會(huì)行為和動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)，是一種全局優(yōu)化算法，其中表示搜索變量集的粒子在目標(biāo)函數(shù)變量空間中移動(dòng)，定義第j個(gè)粒子的最優(yōu)位置稱為Pbest，每一次迭代的群的最優(yōu)位置稱為Gbest。每次優(yōu)化算法迭代后，采用粒子更新方法計(jì)算每個(gè)粒子的新速度，

Vj(i)=ωVj(i)+c1rand(Pbest-Xj(i))+

c2rand(Gbest-Xj(i)),

(33)

式中：Vj(i)----第j個(gè)粒子在i次迭代中的移動(dòng)速度；

Xj(i)----粒子當(dāng)前的位置；

ω----慣性常數(shù)；

c1----加速常數(shù)，每個(gè)粒子的個(gè)體學(xué)習(xí)因子；

c2----加速常數(shù)，每個(gè)粒子的社會(huì)學(xué)習(xí)因子；

rand----0～1的隨機(jī)數(shù)。

利用速度變化確定目標(biāo)函數(shù)變量空間中提出的粒子更新位置

Xj(i)=Xj(i)+Vj(i)。

(34)

使用全局粒子群優(yōu)化算法的優(yōu)點(diǎn)是不需要粒子變換或懲罰函數(shù)。為了更好地理解對(duì)安裝位置的優(yōu)化方法，文中給出優(yōu)化方法流程，如圖5所示。

圖5 目標(biāo)機(jī)構(gòu)安裝位置優(yōu)化方法流程

3 驗(yàn)證算例

為了檢驗(yàn)所提優(yōu)化方法的正確性，給定有時(shí)標(biāo)的20個(gè)點(diǎn)為目標(biāo)軌跡的采樣點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，見表1[15]。

表1 目標(biāo)給定點(diǎn)及對(duì)應(yīng)時(shí)標(biāo)輸入角θ1

在初始粒子數(shù)jmax=200和迭代次數(shù)imax=100的條件下對(duì)該問題進(jìn)行優(yōu)化，兩個(gè)優(yōu)化變量xA,yA∈[-50,50]，優(yōu)化輸出的最優(yōu)解X=[5.696 9,15.210 3]，誤差δ函數(shù)值為0.002 1。軌跡特征圓的半徑Lp=163.471,圓心(Cx,Cy)坐標(biāo)為(27.837 8,-0.00 82)。優(yōu)化收斂過程如圖6所示。

圖6 優(yōu)化收斂過程

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，對(duì)給定點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理后與軌跡特征圓的擬合如圖7所示。

圖7 給定點(diǎn)預(yù)處理后與軌跡特征圓的擬合圖

圖中圓點(diǎn)為給定點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理后的點(diǎn)，實(shí)線為最優(yōu)安裝位置對(duì)應(yīng)的軌跡特征圓，

4 結(jié) 語

針對(duì)全參數(shù)平面四桿機(jī)構(gòu)連桿軌跡綜合求解問題，通過對(duì)軌跡特征圓的發(fā)現(xiàn)及圓參數(shù)提取，將目標(biāo)軌跡進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，確定目標(biāo)機(jī)構(gòu)的安裝位置。通過算例驗(yàn)證，在對(duì)軌跡特征圓接近誤差函數(shù)進(jìn)行粒子群算法優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)化過程中，可以快速收斂到全局最優(yōu)解，得到目標(biāo)機(jī)構(gòu)機(jī)架安裝位置、輸入構(gòu)件的桿長(zhǎng)和連桿位置桿長(zhǎng)參數(shù)，使得綜合求解參數(shù)從10維變?yōu)?維，平面四桿機(jī)構(gòu)連桿軌跡可以分步綜合，降低了綜合求解難度，為其它全參數(shù)四桿機(jī)構(gòu)的軌跡綜合求解提供了思路。