HPM視角下數(shù)學史融入數(shù)學分析教學的探索

孫慶峰

【摘要】數(shù)學分析是高校數(shù)學專業(yè)一門十分重要的必修課程.在HPM視角下，將數(shù)學史融入數(shù)學分析教學可提升課程的教學效果，有助于學生了解整個數(shù)學概貌.本文結(jié)合教學實踐，以“無窮大量”為例，從數(shù)學史和數(shù)學教育的角度對數(shù)學分析教學進行了探討.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學史;HPM;數(shù)論;無窮大量;融合

【基金項目】 本文受到山東大學（威海）教育教學改革研究項目的資助（項目編號Y2019059）

引 言

德國著名數(shù)學家David Hilbert說過，數(shù)學是一個有機體，它的生命力的一個必要條件是所有各部分不可分離的結(jié)合.但在傳統(tǒng)的大學數(shù)學教學中，很多課程都是從抽象概念到理論體系，大部分學生四年大學讀下來，學到的只是一些似乎沒有什么聯(lián)系的數(shù)學片段，高等數(shù)學的概貌無法在學生心中呈現(xiàn)，這樣培養(yǎng)出來的學生將來很難找到數(shù)學的主干分支，進而從事數(shù)學研究.鑒于以上困境，HPM（History and Pedagogy of Mathematics）應(yīng)運而生.數(shù)學史可以提供整個數(shù)學概貌，不僅可以使某一數(shù)學課程的內(nèi)容相互聯(lián)系起來，還可以使它們跟整個數(shù)學的主干聯(lián)系起來，正如龐加萊（J.H.Poincaré）所說：“如果我們想要預(yù)見數(shù)學的將來，適當?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學的歷史和現(xiàn)狀.”當然，我們也不能滿堂灌，整節(jié)課都講數(shù)學史，將數(shù)學課講成歷史課，可以只介紹某一個有代表性的數(shù)學分支.本文主要圍繞以下兩個方面的問題進行探討：一是將數(shù)論研究歷史融入數(shù)學分析教學有何意義;二是如何將數(shù)論研究歷史融入數(shù)學分析教學.

一、數(shù)學史和數(shù)學教育

HPM起源于1972 年第二屆國際數(shù)學教育大會.在這次大會上，數(shù)學史與數(shù)學教學關(guān)系國際研究小組正式成立，標志著數(shù)學史與數(shù)學教育這個新的研究領(lǐng)域的誕生.如今，HPM也表示數(shù)學教學的一種視角.有學者指出，HPM 視角下的教學設(shè)計，需要從數(shù)學知識、數(shù)學發(fā)展史、學生對數(shù)學知識的認知出發(fā)，注重數(shù)學知識的歷史文化向度，不能簡單地重復(fù)歷史，也不能僅僅講述數(shù)學家的故事，切入點是數(shù)學概念和定理的形成、發(fā)展的歷史背景及蘊含的數(shù)學思想方法，讓學生能夠體驗到數(shù)學的價值，欣賞數(shù)學的美，享受數(shù)學的樂趣.張奠宙曾在《HPM：數(shù)學史與數(shù)學教育》一書的序言中寫道：我常將“為歷史而數(shù)學史”比喻成“和田玉礦床”的開采，而把“為教育而歷史”看成“玉石雕刻”的藝術(shù).和田玉籽料是玉器的源頭，當然重要，但是玉石雕刻藝術(shù)同樣具有學術(shù)價值和藝術(shù)魅力.我想，HPM就是這樣的一門藝術(shù).

二、數(shù)論研究歷史融入數(shù)學分析教學的意義

美國著名數(shù)學史家卡約里（Florian Cajori）說過：“數(shù)學的歷史是重要的，它是文明史的有價值的組成部分，人類進步和科學思想是一致的.”他還在他的《數(shù)學史》（A History of Mathematics）一書的前言中指出，教師通過對學生介紹數(shù)學史知識，可以使學生了解數(shù)學是一門在不斷演進并且有趣的學科.我國著名的數(shù)學教育家、華東師范大學教授張奠宙曾說過，數(shù)學史是數(shù)學文化的載體，學習數(shù)學史，還能豐富學生對數(shù)學的認識.張俊忠在他的博士論文中也指出，將數(shù)學史融于初中數(shù)學教育可以提高學生學習數(shù)學的信心，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，促進學生理解數(shù)學，形成正確的數(shù)學觀.對初中生尚且如此，對大學生的作用更加不容小覷.在德國漢堡大學舉行的第十三屆國際數(shù)學教育大會中的第25個研究專題強調(diào)，要認識數(shù)學史在數(shù)學課堂和教學中的作用.

數(shù)論是核心數(shù)學中歷史最為悠久、影響最為深遠的分支之一.數(shù)論研究不僅激勵著純粹數(shù)學的發(fā)展，還一直促進著應(yīng)用數(shù)學的擴展和提升，其相關(guān)理論成果在量子力學、計算方法、代數(shù)編碼、組合論、信息安全等領(lǐng)域都起到了重要的作用.數(shù)論是數(shù)學中最美的數(shù)學分支之一，它的很多猜想或者定理都有一個顯著的特點，就是只要具備初中甚至小學知識就能看懂，但其證明卻需要當前最深刻最前沿的數(shù)學理論.比如，著名的哥德巴赫猜想“每個大于等于4的偶數(shù)都可以表為兩個素數(shù)之和”;再如費馬大定理“當整數(shù)n大于2時，關(guān)于x，y，z的方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解”.鑒于這些特點，讓學生了解數(shù)論發(fā)展歷程可以激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣，提高學生的數(shù)學審美素養(yǎng).素數(shù)分布問題是數(shù)論中最重要的問題之一，同時素數(shù)又是所有學生都知道的數(shù)學對象，相比其他抽象的數(shù)學概念更加平易近人.將素數(shù)分布問題的研究歷史融入數(shù)學分析教學，能夠讓學生體會到微積分理論對促進數(shù)學發(fā)展所起到的重要作用.

所謂教學相長，將數(shù)學史融入數(shù)學分析教學對教師而言也有助于數(shù)學素養(yǎng)質(zhì)的提升和教學水平質(zhì)的提高.楊渭清在其發(fā)表的文章中指出，數(shù)學史是教師數(shù)學素養(yǎng)提升的精神源泉.教師更加了解數(shù)學史，可以提升其對數(shù)學的認識，改進教學方法，改變傳統(tǒng)的先介紹抽象的數(shù)學概念，再介紹理論體系的教學方法，而以活躍課堂氣氛為主，以學生為中心，讓學生更容易接受新概念和新理論.

三、數(shù)論研究歷史融入數(shù)學分析教學的途徑

在數(shù)學分析的教學中，在講解微積分的應(yīng)用時，舉例多來自物理方面，但由于現(xiàn)在很多學生物理知識薄弱，對一些物理概念比較陌生，所以如果能舉一些淺顯易懂的例子，效果會更好.汪曉勤將數(shù)學史融入數(shù)學教學的方式劃分為五種，即“點綴式”“附加式”“復(fù)制式”“順應(yīng)式”“重構(gòu)式”.“點綴式”是指在教學中提供插圖，如數(shù)學家畫像、古代數(shù)學著作的書影及能夠反映數(shù)學主題的繪畫、攝影作品等，這種方式以圖輔文，圖文相配，具有裝飾、美化的作用.“附加式”是指在教學中介紹數(shù)學史文字閱讀資料，包括數(shù)學家的生平，數(shù)學概念、符號、思想的起源，歷史上的數(shù)學問題、思想方法等，這種教學方式可以使教學更加有趣、生動，但過于淺顯，不能挖掘出知識的內(nèi)涵.“復(fù)制式”是指在教學過程中直接采用歷史的數(shù)學問題、問題解法、定理證法等，這種教學方法能夠提供數(shù)學問題，再現(xiàn)數(shù)學思想，促進數(shù)學學習.“順應(yīng)式”是指在教學過程中采用改編的歷史數(shù)學問題或根據(jù)歷史材料而編制的數(shù)學問題，或源于數(shù)學史但經(jīng)過簡化的數(shù)學問題.這種教學方式能夠增加學生探究問題的機會，激發(fā)學生的學習興趣.“重構(gòu)式”是指在教學中借鑒或重構(gòu)知識的發(fā)生、發(fā)展的歷史，采用發(fā)生法進行教學的方式，這種教學方式可以使學生再創(chuàng)造式的學習新知識，但重構(gòu)難度大，缺少直觀性，易使課堂枯燥無趣.現(xiàn)在廣泛認可的方式是將兩種以上教學方式融合起來，比如“附加式+重構(gòu)式”.下面以無窮大量教學片段及分析為例，探討數(shù)論研究歷史融入數(shù)學分析教學的途徑.

（1）教學片段1：由最熟悉的素數(shù)的分布問題引入

師：素數(shù)有多少個？

生（全體）：無窮個.

師：怎樣證明素數(shù)有無窮個？

生1：反證法.

生2：Euclid方法.

師：很好，很多同學都知道素數(shù)有無窮個的證法.但歷史上，有很多數(shù)學家想進一步證明特殊形式的整數(shù)是素數(shù).比如，費馬在1654年寫給數(shù)學家帕斯卡的信中告訴帕斯卡，自己新發(fā)現(xiàn)一個“定理”——形如22n+1（n為非負整數(shù)）的正整數(shù)都是素數(shù).即221+1為5，是素數(shù);222+1為17，是素數(shù);223+1為257，是素數(shù);224+1為65537，是素數(shù);如此以至無窮.不過他承認，上述“定理”的證明很難，他還沒有完全找到.對于費馬的發(fā)現(xiàn)，帕斯卡簡直是敬佩備至.同學們覺得費馬的證明對嗎？

生：不對！

師：為什么不對呢？

生：……

師：因為費馬的這個結(jié)論是由不完全歸納得到的結(jié)論，而不完全歸納得到的結(jié)論不具有說服力.事實上，一個世紀之后，數(shù)學家歐拉證明了當n=5時，費馬所說的數(shù)是合數(shù)，從而證明費馬所謂的“定理”是不成立的.所以，對數(shù)學結(jié)論的證明都要求是嚴格的.

（2）教學片段2：用數(shù)學語言表達

師：設(shè)π（x）表示不超過x的素數(shù)的個數(shù)，素數(shù)有無窮多個等價于什么？

生3：limx→+∞π（x）=+∞.

師：我們就把π（x）稱為當x→+∞時的正無窮大量.再比如ln x是當x→+∞時的正無窮大量，xα（α>0），ex，xx都是當x→+∞時的正無窮大量.類似地，還可以定義x→x0，x+0，x-0，∞，-∞等情況的無窮大量、正無窮大量和負無窮大量.大家能不能寫出這些情況的定義呢？

生4：若limx→x0f（x）=∞（或+∞，-∞），則稱當x→x0時，f（x）是無窮大量（或正無窮大量、負無窮大量）.

師：你能不能舉個例子說明一下？

生4：比如x-1是x→0時的無窮大量，ln x是x→0時的負無窮大量，-ln x是x→0時的正無窮大量.

師：很好！有哪名同學能說一下當x→x0+（x-0）時，f（x）是無窮大量（或正無窮大量、負無窮大量）的定義呢？

生5：若limx→x0+（x-0）f（x）=∞（或+∞，-∞），則稱當x→x0+（x-0）時，f（x）是無窮大量（或正無窮大量、負無窮大量）.

師：對的，請坐.比如x-1是x→0+時的正無窮大量，x-1是x→0-時的負無窮大量.還有哪名同學能說一下當x→∞（-∞）時，f（x）是無窮大量（或正無窮大量、負無窮大量）的定義？

生6：若limx→∞（-∞）f（x）=∞（或+∞，-∞），則稱當x→∞（-∞）時，f（x）是無窮大量（或正無窮大量、負無窮大量）.

師：非常好！相信大家都理解了無窮大量.同學們一定要注意，說哪個函數(shù)是無窮大量，必須點明是在哪個極限的無窮大量，比如x-1是x→0+時的正無窮大量，但不是x→1時的無窮大量.

（3）教學片段3：由素數(shù)分布問題研究歷史引入無窮大量的比較

師：德國數(shù)學家高斯和法國數(shù)學家勒讓德猜想：limx→+∞π（x）[]x/ln x=1意思是x無限增大時，π（x）和x/ln x趨于無窮的速度一樣.這個猜想由阿達馬和德·拉·瓦萊布桑在1896年按照黎曼的思路證明.

師：也就是說素數(shù)趨于無窮的速度和整數(shù)趨于無窮的速度不一樣，整數(shù)趨于無窮的速度和x趨于無窮的速度是一樣的.整數(shù)趨于無窮的速度快，還是素數(shù)趨于無窮的速度快呢？

生（全體）：整數(shù).

師：我們稱當x→+∞時，π（x）和x/ln x是等階無窮大量，x關(guān)于x/ln x是高階無窮大量，x/ln x關(guān)于x是低階無窮大量.

4.反思總結(jié)

馬赫說過：“沒有任何科學教育可以不重視科學的歷史與哲學.”數(shù)學史中包含著豐富的教學素材和數(shù)學思想，更富含歷代數(shù)學家的探索精神和愛國主義情操.在教學的道路上，教師要不斷探索好的教學方式，將這些數(shù)學思想和精神傳承下去，創(chuàng)造新時代數(shù)學的未來.

【參考文獻】

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