關注學生學習過程，積累數學活動經驗

陳康沛

【摘要】《新課標》指出：“學生學習應當是一個生動活潑、主動和富有個性的過程……學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，獲得基本的數學活動經驗.” 在培養學生核心素養的現代教育理念下，數學活動經驗的積累已然是提高學生數學素養的重要標志.但在實際教學中，部分教師為追求所謂的“高效”，簡化了引導學生經歷知識形成過程的探索活動，還有部分教師為“省事”，用師生對話和做題替代了應用數學知識解決實際問題的綜合實踐活動.筆者結合兩年以來圍繞“度量”主題所進行的行動研究，談談在關注學生學習過程時，積累數學活動經驗的幾點做法.

【關鍵詞】數學活動經驗;幾何度量;行動研究

近兩年圍繞“度量”專題進行研究時，筆者發現在教材中與度量相關的內容廣泛，涉及計算、計算單位、幾何測量等，在教學安排上比較分散.而在“幾何與圖形”模塊中，則有著較系統的架構.因此，筆者沿“線—面—體”這一主線，從一維到二維再到三維的研究順序，應用凱米斯的行動研究模式對一些典型課例進行了計劃、行動、考察和反思，并結合具體的學習內容，設計了一系列有效的數學探究活動，關注學生經歷數學知識的發生發展過程，以積累數學活動經驗，感受實際測量在生活中的實際意義.研究結果表明，豐富多樣的操作活動能更好地幫助學生理解數學知識的來龍去脈，培養學生的創造力.現具體談談幾點做法：

一、巧妙借助導學與游戲，充分感受知識形成過程

瑞士兒童心理學家皮亞杰等人研究認為，空間表象是通過兒童主動地將內化行為逐步組織而構建起來的.因此，空間表象不是兒童感性地讀出空間環境，而是來自操作活動的積累.

在二年級“鉛筆有多長”一課中，探究幾個常用的長度單位之間的關系是本課的教學重點，教師通常的做法是讓學生在米尺上數一數有多少個1分米.在課堂觀察中，筆者發現學生對此興趣不大，直到用同樣的方法在直尺上數一數“1分米里面有多少個1厘米”時，大多數學生已失去了興致.課后與對此環節表現得最無趣的12名學生聊天，他們中大部分表示對這個知識點早就聽過，少部分表示只要記住進率就可以換算了.再進一步問他們，你能用手較準確地比畫出一米有多長嗎？再比畫1米里面有多少個1分米呢？孩子們露出了困惑，且在后續“應用適當的長度單位填空”時錯誤率達到50%以上.可想而知，學生對知識的理解止步于進率，其空間觀念并未得到發展.

低年級兒童的空間觀念尚處于具體形象認知階段，對直觀的依賴性強，他們往往利用日常生活經驗來思考或描述.新課標的基本理念也提到“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎上”，即無論從心理學角度，還是課標要求，均要求教師要根據具體情況，重視兒童的操作經驗，幫助他們進行一定的數學意義的思考和對知識的重構.也只有“以學定教”，才能使學生體驗到提出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程.因此，為了讓低年級學生體會米與分米之間的聯系，經歷知識形成的過程，教學團隊設計了接龍游戲：分小組進行活動，每名學生拿一支1分米長的綠色鉛筆，在米尺上接龍.仔細觀察：首尾相連的情況下一共可以擺多少支？比畫一下，再認真思考：你發現了什么？在游戲的過程中，可視具體情況邀請其他小組一起合作完成接龍游戲.

游戲環節的設計，符合低年級孩子的心理年齡需要.學生自然而然地先觀察米尺和1分米長的鉛筆這兩個需要進行比較的量，結合已有的知識經驗進行了估計（利用身體的小尺子），再進行接龍游戲，最后歸納、交流自己的發現.而一個小組的鉛筆數不夠，又激發了學生合作交流的意愿，進一步促進自主探索.在這個游戲中，學生主動嘗試、主動參與、主動思考的行為表現非常明顯，充分經歷了知識形成的過程，深刻感受到米與分米之間的聯系，為下一階段的學習積累了數學活動經驗.

二、引導經歷猜想與驗證，深刻感悟數學思想

面積，是常見的幾何度量的概念之一，但在學習和生活中往往發現大部分學生的空間觀念薄弱，尤其對公式推導的思想方法認知膚淺.思其原因，筆者認為是在相關的實際教學中，學生缺乏探究推導面積公式的體驗，即重結果而輕過程.《新課標》基本理念明確了“教學內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系……”.因此在五年級“平行四邊形的面積”教學中，對于公式的推導，筆者團隊做了以下的活動設計：

1.基于已有知識進行猜想

在學習平行四邊形的面積之前，學生已經學過了長方形和正方形的面積公式，所以，在已有知識經驗的基礎上讓學生進行數學猜想：平行四邊形的面積與什么有關？學生會認為平行四邊形的面積與相鄰的兩邊長有關，也有部分學生認為平行四邊形的面積與它的底和高有關，這些都是重要的數學信息，并非“瞎想”，因此，教師要鼓勵學生大膽說出自己的想法，并肯定他們敢于猜測的數學習慣，告訴學生數學史上有很多著名的問題都是被大膽猜想提出的，如哥德巴赫猜想等，讓學生感知到從數學角度出發的猜想都有探究的價值和驗證的必要.

2.基于已有技能進行驗證

猜想的意義在于激發驗證，而驗證的關鍵在于引導學生自主進行.為了不落入“牽著學生鼻子走”的俗套，教學中團隊準備了方格紙、尺子、剪刀、膠水、平行四邊形紙板、與平行四邊形等面積的長方形紙板等工具，活動要求如下：1.選擇自己想要使用的工具，可獨立進行、可合作進行驗證.2.討論、歸納你的發現.這種開放性的活動設計激發了學生的探究欲望，出現了五花八門的驗證方式.如有的學生把圖形放在方格紙上面，用數格子的方式尋求平行四邊形的面積;也有的學生把平行四邊形剪成幾部分，試圖拼成一個學過的圖形;還有的學生在“剪壞”了一個圖形后，主動湊到旁邊的小組把自己失敗的經驗告訴同伴，然后優化了方法，剪拼成一個長方形;還有個別學生把平行四邊形紙板剪拼成長方形后，與學具中的長方形紙板對比，發現它們面積相等;也有的學生使用直尺進行測量，用數據對比說明平行四邊形的底、高與所拼成的長方形的長、寬之間的關系……像這樣，調動學生自主性，學生在經歷了觀察、剪拼、比較、分析、綜合后，形成了對平行四邊形面積的共性認識，最后驗證猜想，不僅積累了豐富的數學活動經驗，更深刻地理解了平行四邊形面積公式的來龍去脈.

而后，“三角形的面積”的教學中，基于已有活動經驗的積累，學生在探究“三角形面積計算公式”時，能自發地通過剪拼活動，將圖形轉化為一個已知求面積方法的圖形，從而歸納出公式.在匯報時可見，學生將三角形轉化成了平行四邊形、長方形、正方形等圖形，其創造性思考層出不窮，令人贊嘆不已.學生數學學習過程的充實和活動經驗的積累，使面積公式的推導乃至體積公式的推導也愈來愈順理成章，水到渠成.

3.基于活動經驗感悟思想

《新課標（2011）》指出，教學內容不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法，也就是說，數學思想方法不是教師“教”給學生的，而是學生在操作中體驗、在體驗中感悟、在感悟中發展起來的.結合以上兩個課例，學生在充分經歷了推導平行四邊形、三角形面積公式的活動后，體驗到所用的驗證方法，其本質都是將探究的圖形轉化成學過的圖形，再進行觀察、試驗和總結的過程.從而使蘊含的“化歸”思想、“合情推理”思想得以在具體的活動過程中體現，也使學生的“空間觀念”和“幾何直觀”等核心素養得到了進一步發展.在“平行四邊形的面積”一課后，筆者還播放了一段“曹沖稱象”的小視頻，加深了學生對等積轉化的理解，進一步感悟數學思想在生活中應用的價值，揭示數學本質.

三、合理設計綜合與實踐，積累數學活動經驗

教材雖然將內容分成了幾個獨立的模塊，但數學知識之間卻是一個有著密切聯系的龐大的結構體.筆者認為，要把這些盤根錯節，螺旋上升的知識點和學生多元化的思考融合在一起，“綜合與實踐”活動是一個良好的平臺.“綜合與實踐”活動是一類以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動，有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授，其教學目標是幫助學生積累數學活動經驗，培養學生的應用意識與創新意識.只有當學生把數學知識和已有的生活經驗、周圍的世界聯系起來時，才能真正體會到數學的價值.

基于以上認識，筆者團隊在“鉛筆有多長”一課的教學中設計了綜合與實踐環節：小組合作，測量自己感興趣的物體長度.在綜合與實踐活動中，激發學生關注數學內部知識的聯系，如測量黑板的長度，先抽象出所要測量的直直的邊，從頭開始，進行實物測量;注重數學與生活實際的聯系，如在測量空調的高、黑板的長時，學生主動選擇了卷尺;測量講臺的高時則選擇了米尺，這是生活經驗積累和運用的體現;還注重了數學與其他學科的綜合應用，如在記錄好任務卡進行匯報時，小組長組織了較豐富的語言和運用多樣的記錄方式來進行表述綜合與實踐的過程與結果.這一綜合與實踐環節，在促進學生對基本知識和技能掌握的同時，更在選擇長度單位、測量工具中進一步深化空間觀念的培養.

隨著學生活動經驗的不斷累積，秉持“以生為本”的理念，筆者在五年級“長方體的表面積”一課的教學中也設計了五分鐘的綜合與實踐活動：測量教室.設計問題如下：學校打算重新粉刷教室的四周和天花板，請同學幫忙進行實地測量，完成任務單，以便知道要購進多少油漆.學生在掌握和理解了本課知識后，通過簡單的交流便明確了只需要三個數據（即教室的長、寬、高）就可以求出要粉刷的面積.在操作過程中，高年級學生的合作能力、動手操作能力得到了充分彰顯.學生熟練地使用適當的工具進行測量，對度量方法、度量單位、度量數據及結果等進行了回顧與應用.由于教室的高很難測量，所以只能進行估測.而估測的過程是學生借助以往活動經驗的積累所建立起來的長度表象進行的.在匯報時，學生還在交流中不斷調整之前估測的結果，使估計的數據愈發接近精準值，呈現了真實的思考應用過程.在整個綜合與實踐活動過程中，工具的使用、思考的方式都具有一定的數學專業性，進一步讓學生體會到了估測習慣的養成、數學經驗的積累在生活應用中有著極其重要的作用，體會到度量的意義，感受到學習數學的價值.

智力是一種思維結構的連續形成和改組的過程.像這樣的綜合與實踐活動環節，被筆者內化成上課時的常態行動，讓學生有著充分的時間和空間進行思考、操作、積累和創造，即是一種思維結構重組和創新的過程，促進智力的發展.

培養學生核心素養是21世紀學生發展的重要議題.通過對不同國際組織、國家和地區核心素養指標的對比發現，雖然基于各自的社會現實采用了不同的研究思路，但國際視野下的核心素養無一不包括了“問題解決”這一核心能力的培養.我國的核心素養體系“學習與發展”領域中也明確了“問題解決與實踐”的內涵：培養學生探究精神和實踐能力.筆者在“幾何度量”專題研究中對此略有所思、略有所得，更深感數學學習必須將已掌握的知識與技能用于實踐，而非紙上談兵.因此，關注學生學習過程，積累數學活動經驗作為培養問題解決與實踐能力這一核心素養的重要途徑，筆者將繼續在引導學生進行探究與實踐方面做進一步的行動研究.

【參考文獻】

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