巧用思維導(dǎo)圖 提升核心素養(yǎng)

唐亞蘭

【摘要】將思維導(dǎo)圖引入數(shù)學(xué)教學(xué)，不但可以促進學(xué)生思維能力、創(chuàng)新能力與自主構(gòu)建知識框架能力的發(fā)展，還可以豐富師生的學(xué)習(xí)評價方式，加深對數(shù)學(xué)知識和本質(zhì)的理解，從而提高學(xué)習(xí)效率，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文旨在聚焦三角形的誘導(dǎo)公式這一教學(xué)片段，引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)活動，在構(gòu)建思維導(dǎo)圖的過程中，感悟知識所蘊含的數(shù)學(xué)思想，在關(guān)注學(xué)生知識技能掌握的同時，促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

【關(guān)鍵詞】思維導(dǎo)圖;核心素養(yǎng);誘導(dǎo)公式

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的無效與低效的教學(xué)問題嚴重影響教學(xué)質(zhì)量，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.新課標背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)要與時俱進，調(diào)動學(xué)生主體自覺性，引導(dǎo)思維過程，促使學(xué)生自主構(gòu)建數(shù)學(xué)知識框架.思維導(dǎo)圖通過繪制圖形構(gòu)建思維框架，引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)，形成數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)體系，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的技巧和方法，達到靈活運用知識的目的.

一、思維導(dǎo)圖的含義及特征

思維導(dǎo)圖的概念是在19世紀60年代由“記憶之父”東尼·博贊提出的，是表達發(fā)散性思維的有效圖形思維工具，是學(xué)習(xí)者對特定主題的一種構(gòu)建過程.思維導(dǎo)圖的最終目的是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，以一種新穎的筆記方式呈現(xiàn)出來.它的中心位于中央圖形上，就像一棵樹，樹的主干上分出各個分支，主干的主題作為中心，各分支形成一個連接的節(jié)點結(jié)構(gòu)[1].與傳統(tǒng)直線記錄方式不同，思維導(dǎo)圖以放射性思考為基礎(chǔ)，是一個發(fā)散性、形象化的工具，隨著思維的不斷加深，逐步形成一個有條理和有順序的樹狀圖[2].運用思維導(dǎo)圖，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可以促進知識的遷移與整合，更清晰地構(gòu)建知識體系，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.思維導(dǎo)圖的核心在于將學(xué)生的思維可視化，將學(xué)生內(nèi)心所想以樹狀圖的形式呈現(xiàn)出來，在建構(gòu)導(dǎo)圖的過程中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

通過上述對思維導(dǎo)圖功能的討論，我們對思維導(dǎo)圖進行一個新的定義：它是幫助學(xué)習(xí)者厘清思維活動，由不同形狀、不同顏色繪制而成的工具.它將紛繁雜糅的信息通過不同的顏色、圖形與層級形式進行表征，將不同的思想觀點進行區(qū)分，學(xué)習(xí)者可從全局角度厘清思路，提高自身的思維能力.關(guān)于其基本特征，創(chuàng)立者東尼·博贊總結(jié)如下[3]：①核心在中央圖形上;②分支從中央圖向四周發(fā)散出去;③每一個分支由一個關(guān)鍵的圖形或關(guān)鍵詞構(gòu)成，更次要的內(nèi)容在下一個層次的分支中體現(xiàn)出來;④各個分支形成一個節(jié)點結(jié)構(gòu)，表達該分支的意思.因此，我們在繪制思維導(dǎo)圖時也應(yīng)注意上面四點.

二、思維導(dǎo)圖應(yīng)用于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

（一）思維導(dǎo)圖應(yīng)用于培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要性

數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)性學(xué)科之一，其主要的學(xué)習(xí)目的是訓(xùn)練與培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)思維能力，并將其自如地運用在學(xué)習(xí)乃至生活中，在運用的過程中不斷發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新.數(shù)學(xué)教育是以理解、探究、解決問題為價值取向，培養(yǎng)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》[4]中，具體提出了：將數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六個方面作為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，并且提出了“四基”（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗）和“四能”（發(fā)現(xiàn)問題能力、提出問題能力、分析問題能力、解決問題能力）的基本課程要求.不僅重視數(shù)學(xué)的“四基”的教學(xué)與“四能”的培養(yǎng)，還指導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光看世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達世界（“三會”）.核心素養(yǎng)強調(diào)知識和思維能力，因為只有思維能力才是提升未來人才核心競爭力的關(guān)鍵.如何提升思維能力，這就需要教師把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，了解學(xué)生發(fā)展的特性，提高教學(xué)技能的水平，在提出問題、分析問題、解決問題、拓展問題一系列的教學(xué)活動中達到這一目標.

（二）思維導(dǎo)圖應(yīng)用于數(shù)學(xué)核心思維培養(yǎng)的優(yōu)勢

（1）思維導(dǎo)圖有助于學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系

數(shù)學(xué)學(xué)科具有其特殊性，是一門思維性、邏輯性較強的學(xué)科，高度抽象、邏輯嚴密、環(huán)環(huán)相扣是其顯著特點.數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程呈螺旋式上升結(jié)構(gòu)，新知識點的學(xué)習(xí)需要已經(jīng)掌握的知識作為基礎(chǔ)，而思維導(dǎo)圖恰恰可以幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系，學(xué)生可以從一個核心概念入手，發(fā)揮自己的思維，將各個相關(guān)的知識點緊密聯(lián)系在一起，以圖式的方式厘清所有知識點，使學(xué)生加深對知識點的認識與理解，擺脫固有的學(xué)習(xí)套路，增強學(xué)習(xí)興趣，在腦海中建立起完整有序的數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系，進而促進學(xué)生學(xué)習(xí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率.

（2）思維導(dǎo)圖有助于學(xué)生邏輯思維與發(fā)散思維相結(jié)合

數(shù)學(xué)學(xué)科知識是抽象的，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，對那些抽象煩瑣的數(shù)字和概念往往很難理解，并不能將已掌握的知識與新知識聯(lián)系起來，形成一套完整的知識體系.教師引導(dǎo)學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖，從學(xué)生角度來看，學(xué)生可跳出固有的思維定式，可從一個知識點發(fā)散到各種相關(guān)的知識點，在整個過程中，學(xué)生也達到了邏輯性和發(fā)散性的統(tǒng)一，從而對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了一定的幫助.

三、教學(xué)片段設(shè)計

新課教學(xué)在教學(xué)過程中是個重要的環(huán)節(jié)，也有許多教學(xué)理論都在探討如何教授一個新知識點，能夠使學(xué)生達到預(yù)期的教學(xué)目標，提高教學(xué)質(zhì)量.思維導(dǎo)圖生動形象，圖文并茂，將一長串枯燥的數(shù)學(xué)知識點變成彩色的、容易記憶的、有高度組織性的圖畫.下面筆者以蘇教版必修4第1章1，2，3小節(jié)“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”為例，具體闡釋如何依托思維導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素質(zhì).

問題1：求值：

（1）cos390°;（2）sin 150°;（3）sin 7π6;（4）tan-π6.

圖1解：（1）cos 390°=cos（360°+30°），發(fā)現(xiàn)與30°角的終邊相同，且30°角在第一象限，因此cos 390°=cos 30°=32.

（2）sin 150°=sin（180°-30°）.畫出單位圓如圖1，發(fā)現(xiàn)30°角與150°角的終邊關(guān)于y軸對稱，點P與點Q的縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)，因此sin 150°=sin 30°=12.

（3）sin 7π6=sinπ+π6.由于7π6與π6的終邊在同一條直線上，且7π6在第三象限，而第三象限的正弦值為負，故sin 7π6=-sin π6=-12.

圖2（4）tan-π6.畫出單位圓如圖2，發(fā)現(xiàn)-π6與π6的終邊關(guān)于x軸對稱，點A與點B的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，

所以sin π6=-sin-π6，cos π6=cos-π6，

tan-π6=sin-π6[]cos-π6=-sin π6[]cos π6=-3[]3=-tan π6.

設(shè)計意圖：學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的知識，利用已有知識解決新問題，增強學(xué)生對新舊知識的關(guān)聯(lián)與反思能力.

問題2：在解決問題1中，有什么萌生的想法？

探求：①-α→α②α+2kπ→α（k∈Z）

③π+α→α

④π-α→α

設(shè)計意圖：從問題1中我們可以發(fā)現(xiàn)，對于正弦、余弦、正切來說，存在以上4種誘導(dǎo)變化，那么它們的誘導(dǎo)變化究竟是怎樣的，則需要同學(xué)們一起去探索發(fā)現(xiàn).提出問題，讓學(xué)生通過剛才做的題目，發(fā)散其思維，找出誘導(dǎo)關(guān)系，并證明其誘導(dǎo)關(guān)系的正確性.

問題3：你打算如何推導(dǎo)出下列三組角之間的三角函數(shù)關(guān)系？（問題2中的①③④）

解：由②α+2kπ→α（k∈Z）出發(fā)，這是問題1中的（1）求cos 390°的值的具體體現(xiàn).由之前學(xué)過的三角函數(shù)定義可知，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（390°是由30°的角逆時針旋轉(zhuǎn)360°得來的，故兩者終邊相同），即有cos α=cos（α+2kπ）（k∈Z），

sin α=sin（α+2kπ）（k∈Z）.又因為tan α=sin αcos α，則：

tan α=tan（α+2kπ）（k∈Z）.

首先推導(dǎo)① -α→α，

可以看到這是問題1中（4）求tan-π6值的特殊表現(xiàn).那么我們可以將-π6擴大為普通的一個角α（由于我們一般多將α設(shè)定為銳角，所以在這里我們假定α為銳角），根據(jù)三角函數(shù)的定義得：

點P1（cos α，sin α），點P2（cos（-α），sin（-α））（如圖3），由于P1，P2關(guān)于x軸對稱，則橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，則有：

cos α=cos（-α），

sin α=-sin（-α）.

又因為tan α=sin αcos α，所以

tan α=-tan（-α）.

接著推導(dǎo)③π+α→α，

可以看到這是問題1中（3）求sin 7π6 值的特殊表現(xiàn).同理我們可以將其看成一個普通的角α，來探求這其中的三角函數(shù)關(guān)系.

點P1（cos α，sin α），點P4（cos（π+α），sin（π+α））（如圖3），由于P1，P4關(guān)于原點對稱，則橫坐標、縱坐標都互為相反數(shù).則有：

cos α=-cos（π+α），

sin α=-sin（π+α）.

又因為tan α=sin αcos α，所以

tan α=tan（π+α）.

最后推導(dǎo)④π-α→α，

可以看到這是問題1中（2）求sin 150°值的特殊表現(xiàn).同理：

點P1（cos α，sin α），點P3（cos（π-α），sin（π-α））（如圖3），由于P1，P3關(guān)于y軸對稱，則橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同.則有：

cos α=-cos（π-α），

sin α=sin（π-α），

又因為tan α=sin αcos α，所以

tan α=-tan（π-α）.

圖3

設(shè)計意圖：從問題1到問題3，從特殊具體的三角函數(shù)到一般抽象的三角函數(shù)，一一對應(yīng)，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.由單位圓出發(fā)，通過一個清晰的圖便可看出這四類角的三角函數(shù)關(guān)系，簡潔明了，帶領(lǐng)學(xué)生分析其推導(dǎo)過程：角的關(guān)系→終邊關(guān)系→終邊與單位圓的交點坐標→三角函數(shù)關(guān)系.一步步推進，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力與整體能力，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

思考：是否有更簡便的證明方法？（課后思考）

設(shè)計意圖：關(guān)注學(xué)生解題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

在學(xué)習(xí)完相關(guān)理論之后，開始練習(xí)，解答例題，將所學(xué)的知識靈活運用.

應(yīng)用1：求值：

（1）sin 19π6; （2）cos 11π4;

（3）tan-1560°;（4）sin-16π3.

解：（1）sin 19π6=sin2π+π+π6=sinπ+π6=-sin π6=-12.

（2）cos 11π4=cos2π+π-π4=cosπ-π4=-cos π4=-22.

（3）tan-1560°=-tan 1560°=-tan1800°-240°=tan 240°=tan 60°=3.

（4）sin-16π3=-sin 16π3=-sin4π+π+π3=-sinπ+π3=sin π3=32.

設(shè)計意圖：快與準地選取恰當?shù)恼T導(dǎo)公式，與問題1進行對比，讓學(xué)生感受到誘導(dǎo)公式的便捷性，鞏固學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)的知識，加強知識點與具體題目之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的解題能力以及解題的靈活性和變通性.

應(yīng)用2：判斷下列函數(shù)的奇偶性：

（1）f（x）=1-cos x;

（2）f（x）=x-sin x.

解：解決奇偶性問題，首先要回顧之前所學(xué)內(nèi)容，步驟如下：定義域→判斷f（x）與f（-x）的關(guān)系→得出結(jié)論.

對于（1）來說，f（-x）=1-cos（-x），由誘導(dǎo)公式知：cos（-x）=cos x，因此f（x）=f（-x），則f（x）為偶函數(shù).

對于（2）來說，f（-x）=-x-sin（-x），由誘導(dǎo)公式知：sin（-x）=-sin x，因此f（-x）=-x-（-sin x）=-x+sin x，f（x）=-f（-x），則f（x）為奇函數(shù).

設(shè)計意圖：由應(yīng)用2，我們可發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式不僅僅只用于求三角函數(shù)的值上，還可以用來判斷函數(shù)的奇偶性.“思考·運用”的題目設(shè)計讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)知識的廣泛性，各個知識點存在相通的地方，學(xué)生應(yīng)從整體把握，要具備“學(xué)會思考”的能力，這就要求教師在傳授知識的過程中也要培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，而學(xué)會解題也正是高中數(shù)學(xué)課程的主要目標之一.

課堂小結(jié)：

（1）我們是怎樣獲得誘導(dǎo)公式的？

（2）如何利用誘導(dǎo)公式？如何將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)？

本節(jié)課在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式時，緊緊圍繞單位圓這張圖，依托思維導(dǎo)圖來建構(gòu)新知識點，將所要講授的知識直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，引導(dǎo)他們梳理知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建一個清晰明了的知識結(jié)構(gòu)框架，對三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式這一節(jié)知識點有全面的認識與把握，在解題過程中可以更快地找到方法.

通過課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對之前所學(xué)的任意角、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)關(guān)系進行一個回顧復(fù)習(xí)，并以典型的例題作為新知識講授的載體，滲透數(shù)形結(jié)合思想、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，促進他們最終建構(gòu)與生成如圖4所示的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式思維導(dǎo)圖.

第二象限：sin為正sin（π-α）=sin α

cos（π-α）=-cos α

tan（π-α）=-tan α

第三象限：tan為正sin（π+α）=-sin α

cos（π+α）=-cos α

tan（π+α）=tan α

sin（α+2kπ）=sin α（k∈Z）

cos（α+2kπ）=cos α（k∈Z）

tan（α+2kπ）=tan α（k∈Z）

第一象限：全為正

sin（-α）=-sin α

cos（-α）=cos α

tan（-α）=-tan α

第四象限：cos為正

整節(jié)課的設(shè)計思路是通過問題引入新課，由舊知識引入新知識，利用單位圓清晰地將四種角在圖上反映出來，從具體的例子出發(fā)，探索一般情況下誘導(dǎo)公式的正確性，認知心理學(xué)表明，個體心智的提升可以通過后天大量有目的的練習(xí)來完成，并且我們不斷更新頭腦中的概念和語義，將已有知識和新知識緊密聯(lián)系，已有知識作為新知識的消化酶，作為新知識的建構(gòu)基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上新知識才能得以建立.因此，設(shè)計的例題起到承上啟下的作用，一方面與舊知識緊密聯(lián)系，另一方面也拋出了新知識的學(xué)習(xí)，并且與練習(xí)題相互對應(yīng)，從而檢驗公式的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，最后繪制出三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的思維導(dǎo)圖，學(xué)生參與、體驗數(shù)學(xué)活動，經(jīng)過獨立思考、合作交流、逐漸感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)思維，進而形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).運用思維導(dǎo)圖建立數(shù)學(xué)框架、知識脈絡(luò)是非常重要的，繪制思維導(dǎo)圖時，個體利用已有的脈絡(luò)和框架，按照知識點的順序去畫，在整理導(dǎo)圖分支時，要特別注意各分支之間的關(guān)聯(lián).我們將思維導(dǎo)圖運用在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，能改善學(xué)生的認知方式，提高學(xué)生整合知識的能力，是提高學(xué)生解題能力和思維能力的有效手段.

從知識與技能的學(xué)習(xí)來看，思維導(dǎo)圖的繪制需要學(xué)生找到關(guān)鍵主題，促使學(xué)生深入思考，厘清知識的主干和分支，從而使知識點清晰地展現(xiàn)出來.從學(xué)生學(xué)習(xí)的本質(zhì)來看，思維導(dǎo)圖有助于學(xué)生進行思維建構(gòu)，讓學(xué)生在思維困頓時利用思維導(dǎo)圖，突破思維定式，讓思維向縱向深處發(fā)展.從教師教學(xué)來看，思維導(dǎo)圖能把復(fù)雜的關(guān)系條理化，思維導(dǎo)圖作為一種教學(xué)工具，可有效克服語言交流的抽象，促使師生、生生之間的交流更加生動有效，提高教師的教學(xué)質(zhì)量與學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量.

數(shù)學(xué)教學(xué)如何為學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展做出貢獻呢？章建躍博士認為：“應(yīng)以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為目標指向，以數(shù)學(xué)知識為載體，以數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在邏輯為線索，精心選擇學(xué)習(xí)素材，構(gòu)建學(xué)習(xí)情境，設(shè)計符合學(xué)生認知規(guī)律、建立目標明確的系列活動，引導(dǎo)學(xué)生通過多樣化的學(xué)習(xí)方式掌握數(shù)學(xué)‘雙基，形成思維能力.并在運用數(shù)學(xué)知識解決問題的過程中，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力，從而實現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展目標[5].”理想的數(shù)學(xué)教學(xué)過程應(yīng)注意以下幾個環(huán)節(jié)：把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，提出合適的數(shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生自主思考，鼓勵學(xué)生相互交流，感悟蘊含的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是學(xué)生日積月累的結(jié)果，需要學(xué)生和教師共同努力.

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