網格中銳角三角函數問題解題策略研究

張月 湯強

【摘要】銳角三角函數是初中階段學習的一個重要知識點，將網格與銳角三角函數相結合是考試命題的一個方向.學生對此類銳角三角函數問題往往抓不住關鍵點，構造、面積、轉化等解題策略將有助于此類問題的解決.

【關鍵詞】銳角三角函數;網格;構造策略;面積策略;轉化策略

銳角三角函數問題的解決需要“直角三角形”，同樣地，解決網格中的銳角三角函數問題的關鍵也是如何將所求角或所求角的等角放到一個直角三角形中.將角放到網格中有兩個天然的優勢：①每一個小方格為一個正方形，其對角線可以形成45°角;②兩個端點均在格點上時，線段的長度可以直接利用勾股定理進行求解.網格為構造直角三角形提供了便利.

1 構造策略

“構造策略”是解網格中的銳角三角函數問題常用的策略之一，基本思路是以已知條件為原料，以所求結論為方向，應用數學知識，構造一種輔助形式，從而使問題在新形勢中簡捷地得到解決.

1.1 直接構造

我們通過觀察找到角所在的直角三角形，然后利用勾股定理求出角所在的直角三角形的三邊長，并根據銳角三角函數的定義進行求解.

例1 如圖1所示，△ABC的三個頂點均在邊長為1的正方形網格格點上，則tan∠BAC=.

【方法探究】

由圖1可觀察知，AB由長為2、寬為1的長方形的對角線組成;AC由邊長為1的小正方形的對角線組成;線段AC與網格邊夾角為45°.因此，有兩種構造思路：①從AC上選一個格點，使其與AB邊的一格點構成正方形的對角線;②在AC上選一格點G，使得BG⊥AB.如圖2所示.

【過程展示】（以思路①為例）

連接HI，則∠AHI=90°，所以∠BAC在Rt△AHI中.

AI=2× 22+12=25，AH=3× 12+12=32，HI=2，所以tan∠BAC=232=13.

1.2 間接構造

我們通過直接觀察，找不出直角三角形時，可以通過作高線構造兩個共邊的直角三角形，然后利用勾股定理求出公共邊，這種方法既體現了對勾股定理的靈活運用，也鍛煉了學生的方程思想.

例2 如圖3，網格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC每個頂點都在網格線的交點處，則sin∠A=.

【方法探究】

如圖4所示，構造兩個有公共邊的直角三角形，利用公共邊建立方程，由此解出兩直角三角形的各邊，sin∠A也隨即可求.

【過程展示】

過點C作CM⊥AB交AB于點M，

在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2，且AC=25，

在Rt△BCM中，CM2=BC2-BM2，且BC=22，

所以有AC2-AM2=BC2-BM2

設BM長為x，則AM=25-x，

故（25）2-（25-x）2=（22）2-x2，

解得x=255，所以CM=655，所以sin∠A=CMAC=35.

2 面積策略

我們通過觀察找不出直角三角形時，可以通過在三角形內部作高（若是求鈍角三角形中銳角的三角函數值，則是外部作高），用等面積法得出三角形的高，然后求解.

如上例2，如圖5所示，網格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC每個頂點都

在網格線的交點處，則sin∠A=.

【方法探究】

因為通過觀察，∠A不在直角三角形中，而要求一個銳角的三角函數值，必須要把這個角放到直角三角形中，所以在此應該構造一個包含∠A的直角三角形，故過點C作CM⊥AB交AB于點M，即需求出CM與AC的長度.

【過程展示】

如圖6，過點C作CM⊥AB交AB于點M.

利用三角形面積公式可知S△ABC=12AB·CM.

利用割補法得：S△ABC=S四邊形ADEF-S△ADC-S△EBC-S△ABF，

所以12AB·CM=S四邊形ADEF-S△ADC-S△EBC-S△ABF，即12·25·CM=16-4-2-4，

解得CM=655，所以sin∠A=CMAC=35.

3 轉化策略

對于頂點不在格點上的角，如果求其三角函數，最通用的作法是將角轉化成頂點在格點上的角，然后根據頂點在格點上的三角形的解法，解出其銳角三角函數.在遇到這類題時其求解方法有以下三種：①平移法;②相似三角形法.

3.1 平移法

將角所在的邊進行平移使得角的頂點在格點上，在平移的過程中利用平行線的性質定理易知平行后的

角和原來的角是一對同位角，故角的大小一樣.通過角的轉化使問題得到求解，在這個過程中學生體會到轉化思想在解三角函數題中的應用.

例3 在如圖7的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形且邊長為1，A，B，C，D都在格點處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于.

【過程展示】

如圖8，平移AB至A1B1，連接A1C，

則得到等腰三角形A1CO1，過A1作A1M⊥CO1，交CO1于一點M.

因為A1B1∥AB，所以∠AOC=∠A1O1C，

由勾股定理可知：MO1=12CO1=22，A1O1=5，

進而求得A1M=A1O21-MO21=322.

所以，tan∠BOD=tan∠COA=tan∠A1O1C=A1MMO1=3.

3.2 相似三角形法

對于部分特殊的角（如一邊為方格對角線的角）可以在角所在的網格內構造直角，并利用三

角形相似求解相關線段長.

如上例3，在如圖9所示的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形且邊長為1，A，B，C，D都在格點處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于 .

【過程展示】

如圖10，過A作AM⊥CD，交CD于點M，過E（E為AB上一點，且為格點）作EN⊥CD于點N，顯然M，N為格點.

因為∠OMA=∠ONE=90°，∠COA=∠BOD，

所以△AMO∽△ENO，所以AMEN=MOON，

設ON=x，則OM=MN-x=2-x，代入上式

得222=2-xx，解得x=23.所以tan∠BOD=ENON=3.

【注釋】相似三角形的選取不是任意的，需使得新構成的兩個三角形除了公共點外其余點均在格點上，而且這兩個三角形必須是直角三角形.

以上三種解題策略不僅有助于網格中銳角三角函數問題的求解，而且對于其他銳角三角函數問題的解決也具有參考價值，比如，對于兩角差或和的銳角三角函數問題的解決，有興趣的研究者可以進行更深入的探究.

【參考文獻】

[1]葉留青.中學數學解題的“構造”策略[J].數學通報，2000（12）：19-21.