不定積分計算方法的歸納小結

欒金鳳

【摘要】不定積分的計算是積分學內容常用的基本工具.除了多做題以外，如何方便快捷地提升學生計算不定積分的能力呢？這是一線教師，教材編寫工作者，以及各類參考書編寫工作者一直思考的問題.為此，本文提出了計算不定積分的結論1、結論2、結論3、結論4和結論5.這些結論不僅通俗易懂，而且方便記憶，并且每個結論對應一個典型的例子.筆者希望本文對學生解題水平能力的提升和一線教師的教學工作有所幫助.

【關鍵詞】高等數學;不定積分;被積函數;原函數

以函數作為主要研究對象的高等數學課程是大部分高等院校的必修基礎課程之一，也是多數報考理工科專業的考研學生必考的學科.高等數學建立在初等數學的基礎上，首先研究函數的極限，計算極限的方法，然后應用極限先后分別給函數的連續性、間斷點、函數的導數、微分和積分下了定義和推導出了它們的性質、計算公式和定理.在某區間上定義的連續函數一定存在原函數，不定積分只是積分學中尋找原函數的一種常用的主要工具.計算不定積分最簡便快捷的方法是使用計算機的數學軟件，如MATLAB數學軟件、maple數學軟件、mathematic數學軟件等，學生只需懂得數學軟件的命令程序，便能很快且準確地計算出被積函數所對應的原函數.然而，從實際情況出發，一方面學生往往面臨的是考試，另一方面一線教師往往面臨的是板書（或PPT）教學，他們只能用手算.另外，學生只有很好地掌握了不定積分的計算技巧和方法才能計算出原函數，才能掌握后續應用牛頓—萊布尼茨公式求定積分、二重積分、三重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分的方法.可見，不定積分是積分學的常用的基本工具.然而，不定積分的被積函數的表達式多種多樣，課本上通常會介紹第一類換元法，第二類換元法，分部積分法，有理函數積分法，積分表的使用等.總之，由于被積函數種類多，計算不定積分的方法不確定，因此，初學者做不定積分題時往往會出現以下的問題：當看到被積函數時，不知用什么方法，無從下手;計算不定積分時，起初方法不對，這樣不僅導致運算煩瑣，計算量增大，而且還得不出原函數.解決這些問題，只靠盲目做題顯然是行不通的，目前歸納總結是最有效的辦法.筆者根據多年的教學經驗，以結論的形式提出五個通俗易懂、簡明扼要的求解不定積分題的歸納小結方法，與同行分享.

結論1 當被積函數表達式中含有x，3x等無理式時，通常首先進行變量代換，把無理式變成有理式，然后進行積分運算

例1 計算不定積分∫dx（x+3x）x.

解題分析 被積函數中不僅含有x，而且含有3x，令x=t3，則3x=t2，此時可以把兩個無理式變成有理式.

解 令x=t6（t>0），則dx=6t5dt.

∫dx（x+3x）x=∫6t5dt（t3+t2）t3

=6∫dtt+1

=6ln（t+1）+C

（由于x=t6，因此把t=6x代入上式）

=6ln（6x+1）+C.

除此之外，如果被積函數中含有a2-x2，那么可作變量代換x=asin t去掉根號;如果被積函數中含有x2+a2，那么可作變量代換x=atan t去掉根號;如果被積函數中含有x2-a2，那么可作變量代換x=asec t去掉根號.這些總結在多數高等數學課本中出現過，這里就不再贅述.

結論2 當被積函數表達式為基本初等函數乘積時用分部積分法

例2 計算不定積分∫eaxsin bxdx（a≠0）.

解題分析 被積函數是指數函數eax和正弦函數sin bx的乘積，因此用分部積分法.

解 ∫eaxsin bxdx

=1a∫sin bxdeax

（首先，用一次分部積分法）

=1aeaxsin bx-ba∫eaxcos bxdx

=1aeaxsin bx-ba2∫cos bxdeax

（然后，再用一次分部積分法）

=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx-b2a2∫eaxsin bxdx，

上述等式左、右兩端都出現∫eaxsin bxdx，移項整理，得

∫eaxsin bxdx=asin bx-bcos bxa2+b2eax+C.

除此之外，一些不定積分題的被積函數需要首先通過變量代換后把被積函數化簡為基本初等函數的乘積，然后再用分部積分法，如∫arctan xdx，∫e3x+1dx等.

結論3 被積函數為分式結構，分母復雜，通過變量代換后變得簡單些

例3 計算不定積分∫dxx（x+1）3（x>0）.

解題分析 被積函數1x（x+1）3的分母x（x+1）3比較復雜，為此，令x=tan 2t0

解 令x=tan 2t，則dx=2tan tsec2tdt，

∫dxx（x+1）3

=2∫tan tsec2ttan tsec3tdt

=2∫cos tdt

=2sin t+C.

由于x=tan 2t，因此把sin t=x1+x代入上式，得

原式=2x1+x+C.

除此之外，多數不定積分的被積函數經過化簡分母后，分母同樣會保留，如∫dxex+e-x，∫x2（x+2）3dx等.

結論4 被積函數為冪函數xn（x∈Z+）和正弦函數、余弦函數或指數函數乘積時，以降低冪函數次數的方式采用分部積分法

例4 計算不定積分∫x2exdx.

解題分析 被積函數是冪函數x2和指數函數ex的乘積，用分部積分法只能采用降低冪函數次數的方式.

解 ∫x2exdx=∫x2dex

（首先，用一次分部積分法）

=x2ex-2∫xexdx

（上述被積函數由x2ex變為xex，冪函數的次數降低一次）

=x2ex-2∫xdex

（然后，再用一次分部積分法）

=x2ex-2xex-∫exdx

（上述被積函數由xex變為x0ex，冪函數的次數又降低一次）

=ex（x2-2x+2）+C.

除此之外，如∫xnsin xdx，∫xncos xdx等形式的不定積分只能以降低冪函數次數的方式采用分部積分法.

結論5 被積函數為冪函數xn（x∈Z+）和對數函數、反三角函數乘積時，以增加冪函數次數的方式采用分部積分法

例5 計算不定積分∫x2ln xdx.

解題分析 被積函數是冪函數x2和對數函數ln x的乘積，用分部積分法只能采用增加冪函數次數的方式.

解 ∫x2ln xdx=13∫ln xdx3

x2ln xdx=13ln xdx3，冪函數的次數升高，應用分部積分法

=13x3ln x-13∫x2dx

=13x3ln x-19x3+C.

除此之外，如∫xnarcsin xdx，∫xnarctan xdx等形式的不定積分只能以增加冪函數次數的方式采用分部積分法.

數學題本身具有靈活性、多樣性的特點，有些題需用綜合上述五個結論中的若干個才能計算出原函數.這就需要學生通過做題來靈活體驗.

結束語

本文建立在高等數學教材的基礎上.本文給出了五個結論及與其相應的典型例子，以歸類的形式介紹了解不定積分題的若干容易掌握的方法.學生在記住基本積分表，掌握兩類換元積分法，分部積分法和有理函數積分法的基礎上，繼續掌握本文的五個結論，并通過勤練，很容易就能達到求解中等難度或者偏難的不定積分題的水平.對于大學生或者考研的學生來說，他們掌握了本文就在積分學中獲得了尋找原函數的有力工具.學無止境，本文作者將在以后的工作中繼續探究求解不定積分的方法.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]劉海軍.高等數學（上冊）[M].北京：中國農業出版社，2019.

[3]宋顯花.幾類三角函數的不定積分[J].高等數學研究，2018（06）：16-19.

[4]徐英杰，范海寧.一類有理函數不定積分的求解[J].數學學習與研究：教研版，2020（10）：6-7.