冪級數(shù)求和函數(shù)的方法探究

李瑞瑞 孫銘娟

(信息工程大學(xué)基礎(chǔ)部， 河南 鄭州 450001)

1 和函數(shù)的分析性質(zhì)

逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。

逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑。

以上性質(zhì)告訴我們，冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)，可以逐項積分和逐項求導(dǎo)，并且逐項積分與逐項求導(dǎo)不改變冪級數(shù)的收斂半徑。在利用該性質(zhì)求和函數(shù)時，我們往往關(guān)注性質(zhì)的前半部分。借助分析性質(zhì)求和函數(shù)常見步驟如下圖所示：

2 典型例題

常規(guī)解法：先求收斂域。

再求和函數(shù)：

由和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項可導(dǎo)的性質(zhì)，得

常規(guī)解法：先求收斂域。

當x=0時，級數(shù)顯然收斂。

再求和函數(shù)：

再利用和函數(shù)的逐項可積性質(zhì)

簡化解法：

由和函數(shù)在收斂域內(nèi)逐項可積的性質(zhì)，得：

3 結(jié)論

通過逐項求導(dǎo)或逐項積分求冪級數(shù)的和函數(shù)，是求冪級數(shù)和函數(shù)的一種常用方法，本文利用和函數(shù)分析性質(zhì)中收斂半徑不變的特點，由已知到未知，簡化求解過程。另一方面，常規(guī)解法是“由果索因”的過程，是用分析法處理問題，而上述方法則是“由因?qū)Ч保蔷C合法，兩者是可以相互轉(zhuǎn)化的。但是教輔中經(jīng)常是兩種解法靈活運用，對初次接觸這類問題的學(xué)生來說容易產(chǎn)生困惑，本文通過“由果索因”和“由因?qū)Ч眳^(qū)分兩種方法，以期使學(xué)生的解題思路更加清晰。