考慮太陽帆板振動的空間繩系拖曳動力學與控制

盧 山，姜澤華，劉 禹，陳敏花

(1. 上海航天控制技術研究所，上海 201109；2. 上海市空間智能控制技術重點實驗室，上海 201109)

0 引 言

近些年來，空間碎片數量伴隨著人類航天活動出現了快速持續的增長。據NASA最新數據顯示，截止2019年12月19日已監測到20052個大型在軌運行目標，其中包括5376個有效載荷和14676個火箭箭體，而直徑大于1 cm的碎片總數估計在百萬量級，主要集中分布于高度在2000 km以下的近地軌道和地球同步軌道[1]。NASA科學家Kessler在1978年就指出，空間碎片之間的碰撞會產生更多的碎片，從而極大地增加潛在的碎片碰撞概率，并由此導致碎片數量呈指數級增長[2]。事實上，2009年2月10日發生的美國銥星33與俄羅斯宇宙號2251的衛星碰撞事件表明，空間碎片的碰撞連鎖反應已經被觸發了[3]。來自碎片的碰撞可能造成航天器不同程度的損傷和破壞，對人類航天活動的安全開始造成了極大的威脅[4]。相比于中小型空間碎片，大型空間碎片發生撞擊的危害性更高，撞擊產生的碎片也更多。大型空間碎片主要是指失效航天器，它們由于材料老化、器件失效、輻射損傷等原因而廢棄在太空。與其他空間碎片不同的是，失效航天器往往保持著完整的衛星外形，并帶有柔性附件如太陽帆板或天線。據統計，目前在軌運行著約2600個失效航天器。由于地球大氣對于失效航天器的減緩效果十分有限，因此有必要采取主動方式清理失效航天器[5]。

失效航天器主動清除方式主要有電動力繩索降軌、機械臂抓捕、繩網捕獲拖曳、太陽帆增阻和激光照射等[6]。其中，繩網拖曳概念因其重量輕、靈活性高和控制簡單等優點，成為近幾年最受學者關注的碎片清除技術之一[7]。典型的失效航天器繩網拖曳系統由三部分組成：具備機動能力的拖船航天器，待清除的失效航天器，連接目標和拖船的繩網結構。通過對拖船航天器實施軌道機動，可牽引失效航天器進入墳墓軌道或墜入大氣層燒毀。

從繩系拖曳概念提出以來，各國學者對于失效航天器繩系拖曳系統的動力學和控制問題進行了較為廣泛的研究[8-12]。文獻[13]針對組合體沿系繩方向的振動控制問題提出一種時間最短以及能耗最小的最優控制策略，并進行了地面仿真試驗，試驗證明張力控制機構對張力指令具有很好的跟蹤性能。Cho和McClamroch[14]提出了一種最優變軌技術，作用于拖船航天器上的連續推力以實現在兩個圓軌道間的軌道轉移。針對小的連續常值推力的化學推進繩系衛星系統，Sun等[15]基于歐拉-拉格朗日方法，采用啞鈴構型建立了繩系拖拽系統的模型，將推進作用歸一化為繩系衛星系統的推進系數，詳盡分析推進系數對繩系衛星系統平衡點的影響，并利用分層滑模的設計方法設計了系繩張力控制律，實現了變軌過程中對面內擺角的抑制。Liu等[16]研究了GEO軌道上繩系拖曳離軌問題，將空間碎片和拖船航天器看作質點，考慮系繩斷裂、拖船航天器與空間碎片碰撞和系繩纏繞等風險，著重研究了包含加速、平衡、旋轉和返回的四階段變軌策略。考慮空間碎片轉動慣量、初始角速度和系繩長度的影響，Aslanov等[17]研究了通過系繩連接的空間碎片與拖船航天器組合體的動力學問題，結果表明，若拖船航天器推力的方向與系繩方向一致，且系繩保持張緊，那么離軌過程就是安全的。一般來說大氣阻力的影響在軌道高度300 km以上可以忽略不計，若空間碎片相比拖船航天器有較大的橫截面積，那么在拖船航天器拖曳碎片再入過程中，由于氣動力作用空間碎片將快速減速，兩者間可能會發生碰撞，在文獻[18]中，Aslanov等設計了一種推力控制策略以避免碰撞。由于在網捕和拖曳過程中，碎片的旋轉容易導致碎片與系繩發生纏繞的問題，文獻[19]提出了一種自適應反演控制方法來保持碎片的姿態穩定。

以上諸研究在建立動力學模型時均未考慮失效航天器帶有柔性附件的情況，而在拖曳過程中柔性附件產生的振動會對系統的穩定造成影響，且柔性附件可能斷裂并產生更多更小的碎片。本文將對拖曳過程中太陽帆板等柔性附件振動對繩系組合體的拖曳過程的影響進行分析，并通過數值仿真的方式研究常值拉力控制下繩系拖曳系統的響應。

1 繩系拖曳系統動力學建模

繩系拖曳離軌的一般過程為：拖船航天器發射飛網捕獲失效航天器后，通過拖船航天器的軌道機動拖曳失效航天器進入墳墓軌道。拖曳過程中由安裝在拖船航天器上的系繩收放裝置提供抑制失效航天器姿態章動的系繩張力，對于帶有自旋的失效航天器，采取在繩結點處安裝萬向節的方式消除目標自旋導致的系繩扭轉對拖曳過程的影響。

對攜帶柔性帆板的失效航天器進行拖曳移除是比傳統剛體航天器的移除更為復雜的任務。帆板和系繩的振動，使得系統很有可能出現不穩定振動，因此對該系統的動力學建模和分析尤為重要。本節采用凱恩方法[20]對攜帶兩個對稱柔性帆板的失效航天器繩系拖曳系統進行動力學建模。由于飛網包裹住失效航天器后，將會鉤掛在失效航天器本體外側突出的大型太陽帆板上，因此在建模中將繩網簡化為“四繩模型”，即系繩在繩結點處分叉成四根系繩連接在失效航天器兩個對稱安裝的太陽帆板的四個角點上，實現對整個碎片的可靠連接。凱恩方程又稱為具有虛功率形式的達朗貝爾原理，由于其兼具牛頓歐拉法和達朗貝爾方法的優點并且適用于非完整約束系統，在多體撓性航天器動力學建模中應用廣泛[21]。

1.1 建模思路及坐標系建立

繩系拖曳系統由拖船航天器，失效航天器和系繩三部分組成。其中拖船航天器視為純剛體，失效航天器視為帶有柔性附件的剛體，系繩視為無質量的彈簧阻尼結構，主繩從拖船航天器上釋放伸出，在繩結處分叉為四根子繩，分別連接于目標帆板的角點上。連接于拖船一端的系繩稱為主繩，連接于碎片一側的則稱為子繩，以下將拖船航天器簡稱為拖船，失效航天器簡稱為目標。

為描述整個帶有失效航天器的繩系拖曳系統中各部分的相對運動和在慣性空間中的絕對運動，首先定義如下坐標系：

1) 慣性坐標系fe(oexeyeze)，原點oe位于地球質心，方向固定在慣性空間中。

2) 軌道坐標系fo(ooxoyozo)，原點oo位于繩系拖船系統的質心，zo軸由系統質心指向地心，xo軸在軌道平面內與zo軸垂直并指向衛星速度方向，yo軸與xo，zo軸滿足右手定則。上述坐標系的表述可參見圖1。

圖1 繩系拖曳系統的軌道運動示意圖Fig.1 A schematic diagram of the orbital motion of the tethered towing system

3)拖船的本體坐標系fb1(ob1xb1yb1zb1),原點ob1為拖船的質心，三個坐標軸分別沿拖船的慣性軸方向。

4)目標的本體坐標系fb2(ob2xb2yb2zb2),原點ob2為碎片的質心，三個坐標軸分別沿碎片的慣性軸方向。

5)帆板k的本體坐標系fak(oakxakyakzak),oak固定在帆板本體上，oak為帆板與目標本體連接線的中心(帆板厚度忽略不計)，yak為帆板長邊方向，zak為帆板橫向，xak,yak和zak滿足右手定則。上述坐標系的表述可參見圖2。

圖2 繩系拖曳系統結構示意圖Fig.2 A schematic diagram of the tethered towing system

拖船的質量為mb1,轉動慣量為[Jx1,Jy1,Jz1], 目標中心體的質量為mb2,轉動慣量為[Jx2,Jy2,Jz2]。帆板k的質量為mak,系繩分叉點B的質量為m3。系繩與拖船的連接點A在拖船本體系fb1(ob1xb1yb1zb1)的位置矢量為ρ,系繩與目標的帆板的連接點Bi在目標的帆板k的本體坐標系下的位置矢量為ρBi。拖船的姿態角表示為[φ1,θ1,ψ1], 是拖船本體系相對于軌道系fo的歐拉角，表示在拖船本體系fb1下。目標中心體的姿態角記為[φ2,θ2,ψ2], 是目標本體系相對于軌道系fo的歐拉角，表示在目標本體系fb2下。

1.2 系統的凱恩方程

對攜帶2個柔性附件的失效航天器的繩系拖曳系統，選取系統的廣義坐標為：

(1)

式中:R1,R2和R3分別為oe到ob1,ob2和B的位置矢量在fe下的分量列陣，φb1和φb2分別是拖船和目標的本體系相對于慣性系的絕對轉角在fb1和fb2下的分量列陣，qa1和qa2為柔性附件的前l階模態坐標組成的l×1列陣，與時間有關。選取廣義坐標的時間導數作為廣義速率，并設置廣義速率列陣為：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

式中:上標“～”表示向量的叉乘矩陣，Ae,b1和Ae,b2分別表示拖船本體系和目標本體系到慣性系的轉換矩陣，逆矩陣表示為Ab1,e和Ab2,e;Ae,ak表示第k個柔性附件的本體系到慣性系的轉換矩陣，逆矩陣表示為Aak,e;Aak,b2表示目標本體系到第k個柔性附件本體系的轉換矩陣，逆矩陣為Ab2,ak;Kak和Cak分別為失效航天器上柔性附件k的模態剛度陣和模態阻尼陣；rbak為柔性附件k未變形時Ob2到其安裝位置Oak的位置矢量在fb2下的分量陣；QR1,QR2和QR3分別表示拖船，目標和系繩分叉點B所受的廣義外力的合力矩陣，表示在慣性系下；Qωb1為拖船合外力對ob1的力矩列陣，表示在拖船本體系下；Qωb1為目標所受合外力對ob2的力矩列陣，表示在目標本體系下；Qak為對應于廣義坐標qak的廣義外力，表示在柔性附件k的本體系下。

1.3 系統的廣義外力

拖船所受合外力在慣性系中的列陣表示為QR1,該合外力由拖船所受重力FG1,繩子的張力FlA,阻尼力FdA,和發動機拉力Ft組成，即：

QR1=FG1+FlA+FdA+Ft

(9)

目標所受合外力在慣性系中的列陣表示為QR2,該合外力由目標中心體和柔性附件所受重力合力FG2,繩子的張力FlBi和阻尼力FdBi組成，即：

(10)

式中:i為子繩的編號，其最大值為4。

繩節點B所受的合外力在慣性系中的列陣表示為QR3,即：

(11)

拖船所受的合外力矩在fb1中的列陣表示為Qωb1,該合外力矩由拖船所受重力梯度力矩MG1和系繩提供的力矩MA組成，即：

Qωb1=MG1+MA

(12)

目標所受的合外力矩在fb1中的列陣表示為Qωb1,該合外力矩由目標中心體和柔性附件所受重力梯度力矩MG2及系繩提供的力矩MBi組成，即：

(13)

對應于廣義坐標qak的廣義外力在fak中的列陣表示為Qak,它由作用在柔性附件k上的分布力Fqak和系繩與柔性附件的連接點Bi處柔性附件所受廣義外力FBi組成，即：

(14)

1.4 系統的動力學方程

將第1.3節中描述的各廣義外力代入方程(3)～(8)中，則獲得整個帶有太陽帆板的失效航天器繩系拖曳系統的完整動力學模型，該模型可表達為如下形式：

(15)

其中，

(16)

(17)

QT=[QR1,QR2,QR3,Qωb1,Qωb2,Qa1,Qa2]

(18)

(19)

2 穩定性分析

李雅普諾夫第一法的基本思路是通過系統狀態方程的解來判別系統的穩定性。對于線性定常系統，只需解出特征方程的根即可作出穩定性判斷。對于繩系拖曳系統這類非線性不很嚴重的系統，則可通過線性化處理，取其一次近似得到線性化方程，然后再根據其特征根來判斷系統的穩定性。

由于系統整體運行于中高軌道，重力梯度力矩對拖船和目標姿態的影響相比于系繩張力引起的力矩是小量。因此在平衡狀態分析階段，考慮短時間內拖船和目標的姿態運動時，忽略重力梯度力矩對拖船和目標姿態造成的影響。

繩系拖曳系統中各廣義坐標的平衡狀態取值為θe1=0,φe1=0,ψe1=0；θe2=0,φe2=0,ψe2=0。在拖船無主動姿態控制時，為保證拖船姿態平衡，主繩與拖船的連接點須位于拖船質心位置，即ρ=0。同時忽略重力梯度力矩的影響，因此在平衡狀態時拖船不受力矩的作用，其姿態運動為剛體運動形式，不存在振動狀態，在線性化模型中予以省略。

平衡狀態附近的系統廣義坐標均表示為Γ=Γe+δΓ的形式，其中Γ是動力學系統中廣義坐標和其一階、二階導數組成的列向量，Γe表示其在平衡位置的取值，δΓ則表征其偏離平衡位置的小量偏差。將以上各廣義坐標及其一階、二階導數的表達式代入動力學方程(15)中，令l31=R1-R3,l31=R1-R3,δXT=[δl31δl32δφb2δqa1δqa2], 得到線性化的繩系拖曳系統系統動力學方程：

(20)

線性化后的帶有失效航天器的繩系拖曳系統的特征方程表示如下：

(21)

其中，λ表示系統的特征根。特征根實部表示系統狀態量長期變化趨勢，其值為負說明相關系統狀態量呈現收斂趨勢，系統穩定。特征根的虛部表征系統參數的各階振蕩頻率，特征根若為純虛數則表征等幅振蕩運動。根據廣義坐標平衡狀態取值，計算平衡狀態附近的線性化模型，采用特征方程(21)求解系統的特征根，結果如表1所示。

表1 系統的特征根Table 1 The characteristic roots of the system

表1為系統5個狀態量[δl31δl32δφb2δqa1δqa2]在空間3個方向的特征值，每個狀態量在每個方向上各有1組2個特征根，故共求得15組30個特征根。特征根的實部為負數表示對應物理量衰減振蕩趨勢，實部為零，即特征根是純虛數表征了等幅振蕩運動。實部為正則說明對應物理量呈發散趨勢，系統不穩定。本算例中系統狀態量在系統軸向出現特征根為正,主要是由于該四繩分叉對稱安裝的繩系拖曳系統建模中忽略了各繩的扭轉剛度，系繩無法提供沿系統軸向的扭轉力矩對失效航天器沿系統軸向的姿態運動進行穩定控制。工程中采取在繩結點處安裝萬向節的方式消除系統軸向的姿態運動對拖曳過程的影響。

3 基于系繩張力的目標姿態控制

由于系繩尺寸相比于目標和拖船較大，所以可以將目標和拖船的姿態變化對系繩擺動的影響忽略，當拖船和目標相對位置不變時，可以近似認為系繩張力方向為恒定。據此，可以選取一個新的參考系，該參考系的坐標原點位于目標本體的質心上，z軸沿著目標與拖船的連線方向指向拖船，如圖3所示。根據前面的假設，該坐標系的z軸指向與系繩張力方向相同。圖中θ角為目標質心與繩結點連線和選取的參考系z軸間的夾角。

圖3 參考系示意圖Fig.3 A schematic diagram of the frame

在圖3所示的坐標系中,觀察目標在系繩張力作用下的姿態運動，實際上是觀察目標相對于系繩方向的姿態運動。其優點為在拖船和目標相對方向基本不變時，可以不考慮系繩空間指向的影響，簡化了分析過程。若在此基礎上將系繩張力大小固定，則系繩張力對目標的影響可以等效為一個有勢力的作用，張力在該參考系中所作的功只與繩結點在該參考系下的初末z軸位置有關。與此同時，在該參考系下張力的勢能與目標的轉動動能之和所代表的機械能是守恒的，也就是張力所做功會全部轉化為目標的轉動動能，即：

(22)

1) 當兩星連線與目標自旋軸夾角θ≥θmax時，系繩張力為較大張力Tb。

2) 當兩星連線與目標自旋軸夾角θ≤θmin時，系繩張力為較小張力Ts。

在工程應用中，常使用一種安裝在主動星上的系繩收放裝置來輸出所需的系繩張力，由該裝置實現張力的切換控制。目前該裝置輸出張力誤差約為0.1 N，相比于選取的切換張力較小，可以滿足控制要求。同時該裝置響應速度較快，可根據姿態章動角的變化在較短時間內完成張力切換控制過程。此外，由于系繩始終保持張力，可能導致兩星加速靠近發生碰撞的問題，提出采取系繩收放裝置不斷收放系繩，配合主動星推力器開機關機加速減速的協同控制來實現兩星距離始終保持在一個安全的范圍內的目標。

4 仿真校驗

考慮仿真對象為繞本體主慣量軸自旋的攜帶柔性帆板的失效衛星，自旋角速度為5 (°)/s。采用第4節所述常值切換控制律抑制拖曳初始階段失效衛星的姿態章動，選取切換張力為2 N和4 N,仿真結果如圖4～9所示。

圖4 失效衛星姿態角變化情況Fig.4 Change of attitude angle of invalid satellite

圖5 失效衛星章動角變化情況Fig.5 Change of nutation angle of invalid satellite

圖6 帆板模態坐標變化情況Fig.6 Change of the model coordinates of the panels

圖7 主繩張力變化情況Fig.7 Change in tension of main tether

圖8 四根子繩張力變化情況Fig.8 Change in tension of four sub-tether

圖9 系繩長度變化情況Fig.5 Change of the length of the tether

在常值切換張力控制下，通過系繩收放裝置輸出主繩張力。由仿真結果可知，由于失效航天器具有繞本體自旋軸5 (°)/s的初始角速度，導致失效航天器在拖曳過程中的俯仰方向和偏航方向出現了大小不同的姿態角，通過切換張力控制，失效衛星的俯仰角和偏航角得到了有效鎮定，而失效衛星的自旋角速度由于缺少該方向的控制力矩，一般采用在繩結點處安裝萬向節的方式消除目標自旋對拖曳過程的影響；在仿真模型中加入目標帆板撓性振動因素后，采用切換張力控制律，失效衛星章動角≤6°，控制目標為將章動角抑制在5°以內，目標帆板的小幅振動未對目標姿態造成明顯影響。由于四根子繩繩長固定不可調節，失效衛星的姿態運動導致四根子繩的某幾根出現松弛無張力的情況，如圖9所示。本文中采用實時觀測繩結點位置的方法判斷子繩是否松弛，進而通過主繩張力實時解算每根子繩上的張力，如圖8所示，使得系統具有真實的動力學特點。帆板的振動情況如圖5所示，可以看出，帆板的振動在切換張力的時刻振幅增大，在無切換張力的時刻振幅在帆板阻尼影響下減小。由于不斷進行張力切換控制，使得帆板始終存在小幅振動，由失效航天器姿態變化情況可以看出，帆板的小幅振動對繩系拖曳過程無明顯影響，但對帆板自身結構的影響需結合帆板的材料、結構特性做進一步分析，考察是否可能發生帆板斷裂的情況。

5 結 論

本文針對帶有柔性附件的失效航天器的繩系拖曳離軌系統進行了動力學分析和控制方法研究。首先采用凱恩方法建立了完整的繩系拖曳系統軌道姿態動力學模型，該模型充分考慮了拖船航天器的姿態、系繩的質量、目標的姿態和柔性附件的振動；然后將非線性系統線性化后，求解了該線性化系統的特征根，通過李雅普諾夫方法對系統的穩定性進行了分析；之后針對目標可能產生的姿態章動設計了常值張力切換控制律；最后采用數值仿真的方式研究了失效航天器的繩系拖曳離軌過程，分析了帆板受力振動對拖曳過程穩定性的影響，校驗了動力學模型的真實性和控制律的有效性，對采用繩系拖曳方式清除攜帶太陽帆板的失效航天器的空間碎片清除任務提供理論基礎。