廣義Volterra型算子在導數Hardy空間上的有界性及緊性

羅慶仙

(廣東茂名幼兒師范?？茖W校 理學院, 廣東 茂名 525200)

0 引言

Volterra型算子在各種函數空間上的有界性和緊性等問題的研究一直是一個熱門的研究課題。其中，數學家Pommerenke[1]首次刻畫了Volterra型算子在Hardy-Hilbert空間H2上的有界性[1]。在他的工作基礎上，Aleman、Siskakis和Cima[2-3]系統地研究了Volterra型算子在Hardy空間Hp(0

在本文里，我們將繼續研究作用在導數Hardy空間上廣義Volterra型算子。廣義Volterra型算子由李頌孝和Stevic所引進并很快吸引了大量學者的研究興趣[14-15]。最近，Mengestie[16-17]研究了廣義Volterra型算子在加權Fock空間上的有界性和緊性。受文獻[13,18]的啟發，本文將利用加權復合算子在Hardy空間上的性質給出廣義Volterra型算子在導數Hardy空間(即導數屬于Hardy空間的解析函數所組成的函數空間)上的有界性和緊性的完整刻畫，推廣了文獻[19]中的結果。最后刻畫了該類算子的伴隨算子的泰勒展開式。

1 廣義Volterra型算子在導數Hardy空間上的有界性和緊性

首先，我們用H(Δ)表示復平面單位圓盤Δ上所有解析函數f組成的函數空間。對于0

其中m是單位圓盤Δ的邊界?Δ上的Lebesgue測度且m(?Δ)=1。由文獻[20]中的定理9.4可知，上面的范數定義與如下的范數是相等的：

其中對于任意的ξ∈?Δ，f(ξ)是f在邊界?Δ上的徑向極限(由Fatou引理，這是幾乎處處存在的)。

當p=∞時，H∞是單位圓盤Δ上所有有界解析函數f組成的函數空間且定義它的范數為f在Δ上的上確界。

對于g∈H(Δ)，Volterra型算子Tg及其伴侶算子Sg的定義分別如下：

其中，z∈Δ,f∈H(Δ)。

近年來，林慶澤等人研究了Volterra型算子在導數Hardy空間上的有界性[19]。對于0

當1≤p≤∞時，Sp是一個Banach代數且有嵌入關系：Sp?H∞。關于導數Hardy空間Sp的一些基本結構性質可參考文獻[18-19,21-23]。本文的研究需要用到加權復合算子的相關性質。對于給定的φ∈H(Δ)以及Δ的解析自映射φ，加權復合算子Wφ,φ的定義如下：

對于導數Hardy空間上的算子的研究可追溯到Roan的關于復合算子在導數Hardy空間上的有界性的工作[22]。隨后的相關工作可參考文獻[29-32]。

這一節主要研究作用在導數Hardy空間上的廣義Volterra型算子

的有界性和緊性。首先，我們先研究廣義Volterra型算子Tg,φ:Sp→Sq的有界性和緊性。

定理1 令1≤p,q≤∞。則廣義Volterra型算子Tg,φ:Sp→Sq是有界的當且僅當g∈Sq。

證明 對于f∈Sp，我們有恒等式

反過來，我們也有恒等式

通過上面的類似證明和文獻[18]中的命題3.3，我們得到下面關于算子Tg,φ:Sp→Sq的緊性的充要條件：

定理2 令1≤p,q≤∞。假定廣義Volterra型算子Tg,φ:Sp→Sq是有界的，則算子Tg,φ:Sp→Sq是緊的當且僅當

(a)如果(p,q)≠(1,∞)，則g∈Sq；

下面，我們研究另一類廣義Volterra型算子Sg,φ:Sp→Sq的有界性和緊性。

定理3 令1≤p,q≤∞。則廣義Volterra型算子Sg,φ:Sp→Sq是有界的當且僅當

(c)如果1≤q≤p=∞，則gφ′∈Hq；

(d)如果1≤q

證明 對于f∈Sp，我們有恒等式

反過來，對于f∈Hp，我們可以驗證下面的恒等式成立：

(Wgφ′,φf)(z)=f(φ(z))g(z)φ′(z)

因此，算子Sg,φ:Sp→Sq的有界性等價于加權復合算子Wgφ′,φ:Hp→Hq的有界性。從而由文獻[25]中的定理4可得到定理中的條件(a)，由文獻[24]中的命題2.6可得到定理中的條件(b)和(c)，再由文獻[25]中的命題2可得到定理中的條件(d)。證畢。

通過上面的類似證明，我們得到下面關于算子Sg,φ:Sp→Sq的緊性的充要條件。

定理4 令1≤p,q≤∞。假定廣義Volterra型算子Sg,φ:Sp→Sq是有界的，則廣義Volterra型算子Sg,φ:Sp→Sq是緊的當且僅當

(c)如果1≤q

證明類似于定理3的計算，算子Sg,φ:Sp→Sq的緊性等價于加權復合算子Wgφ′,φ:Hp→Hq的緊性。從而由文獻[25]中的定理5和文獻[20]中的定理2.3可得到定理中的條件(a)，由文獻[24]中的命題3.2可得到定理中的條件(b)，由文獻[18]中的命題3.4和文獻[25]中的定理6可得到定理中的條件(c)，再由文獻[33]中的推論4.3可得到定理中的條件(d)。證畢。

2 廣義Volterra型算子在導數Hardy空間S2上的伴隨算子

定理5 若廣義Volterra型算子Tg,φ:S2→S2是有界的，則其伴隨算子具有如下的級數展開式：

因此，對于任意的z∈Δ，我們得到

((Tg,φ)*f)(z)=<(Tg,φ)*f,kz>S2

=S2

因此，我們得到：

其中z∈Δ。定理得證。

類似于定理5的證明，我們得到：

定理6 若廣義Volterra型算子Sg,φ:S2→S2是有界的，則其伴隨算子具有如下的級數展開式

其中z∈Δ。