思維發展視域下的小學數學教學設計研究

劉可欣，姜立剛

(樂山師范學院 教師教育學院，四川 樂山 614000)

0 引言

思維作為“人腦反映外部世界本質和規律的能力，是對事物認識的活動過程和對信息的一種排序”[1]。教學設計是教學活動得以順利開展的基礎與保障，其內蘊的思維方式既反映了課堂教學的基本出發點，又對教學目標的指向與達成產生直接影響。近年來我國小學數學教學改革如火如荼，但很多教師在教學設計中不能有效把控實體思維與關系思維的相互關系，仍以實體思維為主，尤為關注知識點的掌握，而忽略了知識學習與學生發展及社會發展之間的相互關系，致使課堂教學效果大打折扣，教學目標難以有效達成。數學作為思維訓練的體操，教師應如何以教學設計為基礎，充分實現其發展學生思維的重要價值呢？本文擬基于北京教育科學研究院劉延革老師“抓住度量本質，串聯面積教學”一課[2]，著重分析該課例在教學設計中對實體思維與關系思維的凸顯，以“反推”的形式對思維發展視域下的小學數學教學設計操作要點進行探討，旨在為未來創新小學數學教學設計、深化小學數學變革提供借鑒與參考。

1 小學數學教學中的實體思維與關系思維

實體思維與關系思維作為教學研究的認識論基礎，對小學數學的教學設計與實施、改革與發展具有重要影響。在小學數學學科教學體系中，實體思維與關系思維并不是完全割裂性的存在，而是通過相互作用、彼此促進的關系共同推進教學目標的有效達成。

1.1 小學數學教學中的實體思維

“實體”作為實體思維的原始概念，體現著事物的“第一性質”，是事物固有的，不因人的意志而轉移的客觀存在。實體思維是一種預設世界有其終極性本原或“始基”，并以探尋這種終極性本原作為研究旨歸，以普遍的理性抽象為研究方式，以終極性、封閉性、簡單性、靜止性為特征的二元對立思維方式[3]，其思維邏輯突出表現為二元對立、非此即彼。數學作為一門科學，有其自身客觀性，體現了事物本質具有不依賴于他人或他物的改變而存在的根本特征。例如，根據皮亞諾算術公理系統，0是“數與代數”內容領域的基本概念，是所有數產生的始基或本原；同樣的，依據希爾伯特公理體系，“點”“線”“面”是圖形產生的原始概念，而“點”又是“線”和“面”產生的基礎，故而“點”是所有圖形的本原。再如，數的本質是大小、量的本質是多少、度量的本質是單位的疊加等等。在教學設計過程中，對于上述數學學科基礎知識點的溯源與深究，則是實體思維在小學數學教學實踐中的重要體現。

《義務教育數學課程標準》(2011年版)明確提出，“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應社會生活和進一步發展的所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”[4]。“基礎知識”作為“數學四基”中的“首基”，不僅是數學學科知識體系的基礎，更是小學數學學科教學得以開展的基礎。在教學實踐中，教師通過不斷挖掘數學學科知識的實體或本原，引導學生準確理解數學知識的本質，學會以客觀的態度把握數學學科，從而凸顯實體思維與小學數學教學實踐的相互關系及其重要價值。但由于實體思維過分強調知識本原，極易導致教師在教學實踐中割裂知識內部及知識與他物之間的關系，忽略了“人”在學科教學中的主體能動性，使得學科教學淪為了“知識實體”的機械傳承與簡單識記，從而失卻了教學的“育人”本真。

1.2 小學數學教學中的關系思維

關系思維立足于“關系”，強調“以關系的眼光看待一切”。“關系”體現了事物的“第二性質”，是借助事物的“第一性質”，在人們主觀意志下對本事物與他事物、本事物發展過程、本事物與人之間關系的主動性反映。馬克思就曾在《關于費爾巴哈的提綱》中提道，“人的本質不是單個人所固有的抽象物，在其現實性上，它是一切社會關系的總和”。教學作為學校教育的主要活動形式，其基本職能在于以文化人[5]。故而，教學不僅是一種活動性存在，更是一種關系性存在，是師生在教學活動中借助教材等相關媒介實現教學相長、人文化成的過程。

“關系思維”下的小學數學教學實踐，尤為強調“關系”在學習中的重要價值，重在關注小學數學與學生發展、社會發展之間的相互關系，突出表現為以“教學”為線索將學科、學生與社會三者進行緊密相連，從而引導學生構建系統的知識網絡體系、提升數學思維水平及發展問題解決能力等。如，學生對“數”的理解，須建立在明確“數”與生活、生產之間的關系基礎上，進而把握“數”是對“量的多少”在“大小”屬性上的抽象，并借助生活、生產中的問題情境感悟“數”對人的發展與社會發展的重要價值。同理，對圖形的認識，是基于對原始概念“點”的理解，利用“點動成線”“線動成面”“面動成體”的相互關系來理解圖形之間的關系，并借助不同類型的問題解決進而感受圖形對人自身發展、改善生活及推動社會生產的價值。

總之，在小學數學教學實踐中，實體思維能幫助我們從本質上深刻地認識數學與理解數學，關系思維能幫助我們全面而系統地認識數學。數學作為發展學生思維的重要學科，教師在教學設計過程中，應基于實體思維的優勢，利用關系思維的特質，借助實體思維與關系思維的不同特點與相互作用關系，引導學生在全面而系統、片面而深刻地學習數學的過程中積累數學學科知識，提升數學思維水平，發展數學學習情感。

2 “抓住度量本質，串聯面積教學”的課例分析

本課例以“平行四邊形的面積計算”為基礎，適當拓展并整合了梯形、三角形及圓等圖形的面積計算內容。本課是繼“平行四邊形的特征”“長方形與正方面的面積計算”基礎上的后續學習內容，以平行四邊形面積的具體計算為重點，深化面積推導方法為難點。劉延革[2]老師在教學過程中，強調“以度量本質串聯面積教學”，既關注了實體思維的基礎作用，又凸顯出關系思維的發展作用。本文將以本課為例，簡要分析實體思維與關系思維在小學數學課堂教學中的具體應用及價值所在。

2.1 以“實體”為基引入新知：直接引入，揭示課題

實體思維強調“實體”是認識事物的本原，本課例以“面積”的本質定義，即“面的大小”，作為教學過程開展的基礎。學生在此之前已學過“面積的概念”與“長方形及正方形的面積計算”等內容，為本課教學順利開展打下良好的知識經驗基礎。關系思維下的小學數學教學要求關注知識之間的聯系，從關系出發來認識事物。因此，上課伊始教師便以回顧面積概念直接引入，引導學生在把握本質定義的基礎上進行后續的面積計算方法學習，突出了實體思維在認識事物過程中的基礎性作用，亦內隱了關系思維在數學學習遷移中的重要價值。

2.2 以“關系”深化“實體”：回憶舊知，發現規律

關系思維強調“關系”是認識事物的出發點與著眼點。在本課教學中，教師引導學生通過回顧長方形和正方形的面積計算公式及各部分含義來突出“長”“寬”與“面積”之間的關系，進而體會面積計算的本質即度量，度量的本質即面積單位的疊加。在課堂教學中，教師緊緊圍繞“面積=每行單位面積的個數×行數”的關系，深刻凸顯面積計算的本質即度量，并以此為學習出發點，更好地幫助學生理解面積計算的本質，為學生更好地發展“數學四基”奠定基礎。

2.3 以“實體”促生“關系”：創設沖突，引發猜想

以“面積計算的本質理解”為基礎，本環節中教師以問題“能用‘每行單位面積的個數×行數’的方法計算平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積嗎”為線索，引發學生思考每一種圖形各構成要素之間的關系及長方形與不同平面圖形之間的相互關系。本環節旨在通過對圖形之間多元關系的思考，引發學生自主構建已有知識經驗與新問題之間的關系并主動生成圖形面積計算方法，從而為后續的探究學習之旅打開思維之鑰。

2.4 以“關系”再深“實體”：動手操作，探索發現

在本環節中，學生利用已有知識經驗與新問題“應怎樣求得平行四邊形的面積”之間的關系，通過動手操作，將平行四邊形的面積計算轉化為長方形的面積計算，再次深化了面積計算的本質實為度量，即面積單位的疊加。同時，通過對平行四邊形面積計算公式中各部分含義的強調，強化“底與高”和“面積單位的行數與列數”之間的關系，從而深化了學生對度量本質與面積含義的深刻理解。

2.5 以“關系”強化“關系”：經驗遷移，再次猜想

基于以上教學，學生已通過實體思維與關系思維之間的相互聯系，掌握了不同圖形面積計算的轉化方法，理解了平行四邊形面積公式的含義，明確了面積計算的本質。本環節中，教師再次利用平行四邊形與三角形、梯形、圓之間的不同關系，拋出問題“這些圖形的面積計算都可以用轉化的方法解決嗎”，引導學生能夠自主利用面積計算的本質、圖形之間的關系、已有知識經驗與新問題之間的關系，再次對圖形的面積計算展開探究，通過觀察、操作與想象等多種方式探究不同圖形面積計算方法之間的關系，從而實現“關系”的進一步深化。

總之，本課教學從面積的本質出發，以“平行四邊形的面積計算”為基礎，借助長方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓之間的相互關系，將“平面圖形的面積計算”進行串聯，從而逐步深化面積計算的本質，明晰各圖形面積計算方法之間的關系。如圖1所示，本課教學基于實體思維并從實體思維出發，通過挖掘知識與知識之間、知識與經驗之間的關系，實現了實體思維與關系思維在教學中的相互融通與作用，從而促進了學生對數學知識的深刻理解、活動經驗的積累及思想方法的自主生成。

圖1 “抓住度量本質，串聯面積教學”課例分析思路

3 基于思維發展的小學數學教學設計建議

如前所述，實體思維視域下的小學數學課堂教學存在著單一性與對立性的局限。教學作為一種關系性的存在，只有“基于實體，凸顯關系”，小學數學教學才能更加全面而深刻。小學數學教學作為一個復雜的動態系統，如何在教學設計過程中協調各組成要素之間的關系，充分發揮其各自作用，提高教學效能，是教學設計的主要任務。因此，本文以促進思維發展為目標指向，以小學數學教學設計的一般理論[6]為理論基礎，以人教版小學數學教科書一年級上冊第六單元“11-20各數的認識”[7]為例，提出創新小學數學教學設計的具體建議。

3.1 教學內容分析，突出以知識實體構建關系網絡

教學內容分析是教師開展教學設計的前期工作，主要回答“教學什么”與“為什么教學”的問題。教科書作為教學內容的主要載體，亦是教師進行教學內容分析的重要藍本。如何更好地基于教科書，學會創造性地使用教材，關鍵取決于教師對教材內容的理解與再加工。“知識包”(knowledge package)[8]作為數學教學中的重要概念，強調以概念實體為基礎根據“關系”構建一系列數學教學知識包。而關系思維視域下的小學數學教學設計，重在突出對教學內容進行系統分析[9]，即以小學數學學科知識的概念實體為基礎，通過系統挖掘教學內容中內蘊的學科知識、學生發展與社會需求之間的相互聯系，以構建小學數學學科教學關系網絡。

“11-20各數的認識”屬于小學數學“數與代數”內容領域，本單元是繼“1-10各數的認識”與“加、減法的初步認識”的后續學習，是“數數”與“簡單加減計算”等知識的拓展與深化，為后續學習“十進制”“數位”和“四則混合運算”奠定基礎。教科書在編排中以“生活中各類物體卡片”為情境進行導入；以“擺小棒”活動深化“數是數量的抽象”之本質認識；以“捆扎活動”探究“十”與“一”之間的關系，通過“數多少”“比大小”等活動滲透“十進制”，突出教學難點；以“計數器”擺數進行“數位”概念教學，深化“十進制”理解；以“擺小棒解決問題”，深化簡單加減法計算的知識學習；以“排隊問題”凸顯自然數的基數與序數屬性。如圖2所示，本課教學內容以數的抽象數本質為基礎，圍繞數運算的“關系”屬性，借助“小棒”滲透數學抽象思想，從而引導學生建立“數模型”與“數運算模型”，發展數學思維，提升數學運用能力。

圖 2 “11-20各數的認識”學科教學關系網絡

3.2 教學目標設計，重在以關系線索凸顯系統視域

教學目標，就是“教學中師生預期達到的學習結果和標準”[10]。教學目標本身即為一個系統性存在，具有內容多維、類型多樣、層次多元的基本特點。依據《義務教育數學課程標準(2011年版)》基本要求，小學數學教學目標可概括為“三個維度四個方面”；依據目標實現周期的長短，小學數學教學目標可區劃為學年教學目標、學期教學目標、單元教學目標和課時教學目標；依據布盧姆教育目標分類學的基本理念，小學數學教學目標又可劃分為了解、理解、掌握、運用等不同層次。關系思維即強調本事物與他事物的相互關系，又關注各事物與人之間的關系，尤其關注事物與人之間的相互作用之關系。因此，小學數學教學目標設計，應在考察課程標準、學科發展、教學內容、學生實際與教師自身等多重關系的基礎上，構建不同時長、不同維度、不同方面、不同層次的教學目標系統，以滿足學生全面發展的需要。

一年級學生以具體形象思維為主，抽象思維較弱，他們對具體事物的“數量”相對熟悉，但對數本質及基本屬性的理解尚未形成。本單元是學生對“10以內數的認識”的拓展，重在利用小棒等直觀教具，引導學生對十、十進制、數位等知識點建立抽象概念，初步形成數感。基于課標要求，本單元教學目標設計，應相互聯系，三維整合，逐層遞進。第一課時作為本單元的教學起點，更是后續學習的基礎。因此，本課時應重在建立“十”的數概念，并以此為基對“一”和“十”的相互關系進行探究，從而滲透“十進制”及“數位”，深化數的基數屬性與序數屬性。因此，本單元第一課時教學目標可設計如下：a) 準確認讀11-20各數，準確知道各數的組成；b) 熟練掌握20以內數的順序并能準確比較大小；c) 能夠熟練數出相應物體的個數，經歷從數量抽象出數的過程，對數學抽象形成一定的了解；d) 初步體會數與生活的聯系，感受數學學習的重要性。

3.3 教學過程設計，強調以知識實體促動關系探究

教學過程設計是教師為實現教學目標而制定的具體實施方案，回答“如何教學”的問題。教學在本質上，就是基于問題解決的學習過程[11]。因此，教學過程設計，應著力幫助或引導學生形成問題解決意識，發展問題解決能力。實體思維在教學過程中往往體現為靜態知識點的理解與識記，主要回答“是什么”的問題；而關系思維則往往體現為對知識內外部之間關系的分析與綜合，主要回答“怎么樣”與“為什么”的問題。實體思維具有基礎性，關系思維具有深入性。基于思維科學視域下的小學數學教學過程設計，應充分把握兩種思維的不同特性，在遵循學科知識、學生認知與教學展開的三重邏輯基礎上，以知識實體構成教學重點，以關系探究生成教學難點，以問題設計為線索貫穿教學全程，促使學生在掌握基本知識點的基礎上建立起知識與知識之間、知識與生產生活之間的聯系，從而深化學習效果，促動自主生成。

圖3 “11-20各數的認識”第一課時教學過程的問題設計思路

基于上述內容分析與目標設計，“11-20各數的認識”第一課時的教學過程以各數的組成、大小與順序為教學重點，以“一”和“十”的關系探究構建數概念為教學難點。在教學過程設計中，以問題引領新知探究，逐步構建數概念。如圖3所示，問題設計貫穿教學全程，不同環節的問題設計具有不同的功用，按照“問題引出—問題探究—問題應用—問題深化”的邏輯思路逐步展開教學活動，引導學生通過“數一數”“擺一擺”“說一說”“看一看”等探究活動逐步構建數概念，明確數關系，了解數應用，深化數知識。

3.4 課堂教學評價設計重在凸顯概念實體及相互關系

教學評價設計，作為小學數學教學設計的基本內容[12]，對有效開展小學數學課堂教學與科學評估課堂教學水平具有重要意義。隨著基礎教育課程改革的持續推進與學生發展核心素養的深入探討，當下小學數學課堂教學評價逐漸從關注“教學得如何”向“如何才能更好地以教促學”進行轉變。實體思維重在關注對事物本質的探索，關系思維更加強調對事物本身內部關系及其與外部之間的關系探究。小學數學教學在關注教學活動各個組成部分的同時，亦強調教學的“時效性”。因此，在課堂教學過程中，教學評價往往以即時性評價為主，強調及時性，重在凸顯知識實體及其相互間關系，以引導學生理解學習內容、明確學習方向，為教學過程的繼續開展與改進提供思路。

以“11-20各數的認識”教學設計為例，在教學過程中教師可基于學生的課堂表現進行即時性評價，以“實體式評價”考察學生是否理解知識，以“關系式評價”考察學生是否內化知識。教師可利用提問、練習、觀察或板演等方式進行評價，并可借助問題設計引導學生進行后續學習。在課堂教學中，教師可設計提問“一捆小棒代表幾”“十幾是怎樣構成的”來考察學生是否理解了“十”的數概念及數的組成；還可設計“捆扎活動”的變式練習，借助一盒10支裝鉛筆、一捆10本裝書籍、一盒12枚雞蛋等生活中常見物品圖片，考察學生是否內化了“一和十的相互關系”及“數與生活的聯系”。需要注意的是，在教學評價設計中，教師不應僅關注對數學學科知識學習水平的評價設計，還應關注知識學習與全面發展之間的關系性評價，以從根本意義上促進學生可持續性的全面發展。

思維活動作為課堂教學中的核心活動[13]，對課堂教學質量具有重要影響。隨著基礎教育課程改革的持續推進，二元對立、非此即彼的實體思維方式已無法滿足當前教育教學旨在促進學生全面發展的目標實現需要。因此，為有效改進當下小學數學教學現狀，促動小學數學教學的改革與創新，教師需著眼于思維發展的基本視域，充分把握并發揮實體思維與關系思維的不同特性及優勢，在把握教學本質的基礎上，綜合考慮教學系統內外部之相互關系，以發展性的眼光進行教學設計，從而最終實現促進人的全面發展的教育目標。