考慮纏結效應的超彈性本構模型1)

肖 銳 向玉海 鐘旦明 曲紹興

(浙江大學工程力學系,杭州 310027)

引言

建立超彈性模型對于橡膠和其他軟材料的工程應用具有重要的意義[1-2].當前關于軟材料超彈性理論模型主要包括唯象模型和分子統計理論模型[3-4].唯象模型的建立主要是基于連續介質力學以及軟材料的實驗所觀察到的宏觀力學行為.常見的唯象模型包括Neo-Hooken 模型、Mooney-Rivlin 模型、Ogden模型、Gent 模型、Yeoh 模型等[3].其中Neo-Hookean模型、Gent 模型和Yeoh 模型都是柯西?格林應變張量第一不變量I1的函數,Mooney-Rivlin 模型同時依賴于柯西?格林應變張量的第一和第二不變量(I1,I2),而Ogden 模型是3 個主方向拉伸比的函數.這些唯象模型在描述橡膠材料的超彈性變形行為取得了一定的成功[5-7],例如,張希潤等[5]采用壓入法研究軟材料的力學性能,結果顯示基于Mooney-Rivlin 模型的有限元結果能與壓入實驗結果吻合.Sasso 等[6]發現Ogden 模型和二階的Mooney-Rivlin 模型可以描述橡膠在單軸、等雙軸和鼓泡實驗中的力學響應.

針對唯象超彈性模型的不足之處,部分學者[8-9]對上述模型作了擴展,例如,李雪冰等[8]在Yeoh 模型的自由能基礎上增加了依賴于應變張量第二不變量的部分,克服了經典Yeoh 模型在預測等雙軸曲線時“偏軟”的特性.近年來,國內外相關學者[10-13]也提出了多種新型的超彈性唯象模型,例如,Lopez-Pamies[10]提出了基于應變第一不變量的指數型自由能形式,Mangan 等[11]提出了同時依賴于柯西?格林應變第一和第二不變量的新型超彈性自由能形式,該模型能準確表征大變形條件下簡單剪切變形切應力和切應變的線性關系,以及單軸變形下的應變強化行為.

另一類被廣泛用來描述軟材料超彈性行為的模型是基于分子統計理論模型,其主要建模思路是將統計理論應用于分子鏈網絡中,進而得出變形自由能函數.常見的分子統計理論模型包括Treloar 高斯鏈模型[14],Wang-Guth 三鏈模型[15]、Arruda-Boyce 八鏈模型[16]以及全鏈網絡模型[17].Treloar[14]提出的高斯鏈分布模型,與唯象的Neo-Hookean 模型,在數學形式上是完全等價的,該模型只能描述輕度交聯橡膠材料的應力響應,而對于交聯度高的橡膠網絡,這類模型僅能描述小應變范圍內的應力響應[18].Boyce等[19]發現唯象的Gent 模型和Arruda-Boyce 模型在多種加載條件下的應力?應變關系是接近的,這兩個模型均可較為準確地模擬不同交聯度橡膠材料的單軸加載條件下的應力響應.Wu 和van der Giessen[17]建立了全鏈模型,全鏈模型需要對各個方向進行積分,計算起來不夠方便.上述全鏈模型是基于仿射假設,而Diani 和Tallec[20]通過能量最小化原則建立了非仿射的全鏈超彈性模型.Hossain 等[21]針對八鏈模型和全鏈模型的不足,詳細評估了幾類擴展的八鏈和全鏈模型在模擬復雜加載情況下的表現.

針對Treloar[22]關于硫化橡膠的單軸、純剪切和等雙軸加載的經典實驗數據,Steinmann 等[23]詳細評估了14 種唯象模型和分子統計理論模型的預測能力,發現這些廣泛應用的模型并不能很好地預測硫化橡膠在多種變形模式下的力學響應.針對經典超彈性模型的不足之處,部分學者[24-28]提出了引入纏結約束效應,其主要的建模思路是將纏結約束效應用Doi和Edwards[29]所提出的管模型(tube model)來近似表征.相關模擬結果顯示,引入纏結約束效應的超彈性模型能更為準確地預測橡膠的力學行為,但上述模型也有相應的不足之處,例如,Miche 等[25]所建立的考慮纏結效應的超彈性模型是基于非仿射假設,需開展全方向積分計算,而Davodson 和Goubourne[27]以及Xiang 等[28]所建立的纏結約束模型的自由能是主方向拉伸比的函數,這導致這些模型有限元植入方面不夠方便.

基于微觀變形機制,本文建立了只依賴于應變不變量的超彈性模型,該模型同時包括熵彈性和纏結約束效應.并通過與文獻中的實驗數據進行對比驗證了本文所建立模型的預測能力.最后,本文比較了多個纏結約束模型在不同加載模式下自由能的變化.

1 本構理論

1.1 單鏈變形自由能

針對單根分子鏈的變形行為,這里采用Miehe等[25]提出的微觀力學模型來進行描述.該模型的自由能包括兩部分,第一部分是源于分子鏈自由變形所引起的熵彈性自由能,第二部分是由于周邊分子鏈纏結約束引起的自由能

采用Kuhn 和Gr¨un[30]提出的Langevin 統計模型來表示熵彈性所引起的自由能,其具體形式如下

其中,N是Kuhn 鏈段數量,λ 是單鏈的伸長比,￡?1是Langevin 逆函數,其中Langevin 函數的定義為￡(x)=cothx?1/x,Ψf0是常數.

采用Doi 和Edwards[29]提出的管模型(圖1)來表征周邊分子鏈纏結約束導致的變形自由能

其中,α 是與管的截面積形狀相關的系數,b是Kuhn長度,d0是管的初始直徑,υ 是管的截面積收縮比,Ψc0是常數.

圖1 高分子鏈變形的管模型Fig.1 Tube model for polymer chains

1.2 微觀?宏觀關系

在單鏈變形自由能的基礎上建立宏觀變形自由能,需首先確定宏觀和微觀變形之間的映射關系,這里采用微球模型和仿射假設來獲得相應的關系.如圖2 所示,認為初始未變形的分子鏈均勻分布在一個微球表面上,施加變形后,微球在主應變方向上變形為一橢球,其變形梯度張量可表示為

其中λ1,λ2,λ3為3 個主方向上的拉伸比.變形后,分子鏈的長度變為

其中φ 是在初始構型中分子鏈在XOY平面的投影與X軸的夾角,而θ 是分子鏈與Z軸的夾角(見圖2).

圖2 基于仿射假設的微球模型Fig.2 Microsphere model based on affine assumption

這里假設微球表面所有分子鏈長度的均方值為宏觀變形條件下分子鏈等效長度

采用同樣方式,將變形后微球微單元的面積與初始面積比的均方值假定為宏觀變形管面積收縮比[26],其中微球上無限小單元變形后面積dS與初始未變形面積dS0的比ξ 可表示為[31]

相應的面積比均方值為

1.3 宏觀變形本構關系

結合單鏈自由能函數和微觀?宏觀映射關系,采用式(6)中的代替式(2)中的伸長比λ,采用式(8)的代替式(3)中的微管截面積收縮比υ,并假定單位體積內的分子鏈數目為n.則宏觀的Helmholtz 自由能可表達為

其中Gc=nkT是分子鏈特征剛度,而Ge=αkTN(b/d0)2/3 是由于纏結約束所引起的剪切模量,Ψ0為常數,其作用是保證在初始未變形條件下自由能為0.這里在纏結約束的自由能部分添加了一個系數3,其主要原因是使得在小變形純剪切條件下,纏結約束效應的剪切模量為Ge,而當N?1 時,在小變形純剪切變形時,熵彈性部分的剪切模量近似為Gc.

在主方向上,柯西應力可表示為

其中p是靜水壓部分,以保證體積不可壓.將式(9)代入式(10)可得

在單軸和雙軸變形過程中,可假定變形是加載在e1和e2方向上,在e3方向上應力為0,可依據這一條件將靜水壓p消除,進而得到在加載方向上的應力

雖然Arruda 和Boyce[16]在推導八鏈模型時采用了不同的方法,但最終得到的自由能形式與本文的熵彈性部分是完全一致的,因此本文的模型可認為是在八鏈模型的基礎上進一步引入了分子鏈的纏結約束效應.當分子鏈的Kuhn 鏈段長度很大時,八鏈模型會退化為Neo-Hookean 模型.因此,這里也給出以Neo-Hookean 模型作為熵彈性部分,在單軸和雙軸加載條件下的應力表達式

相應的名義應力可表示為

2 結果

采用上述建立的本構理論來模擬文獻中關于橡膠材料在單軸和雙軸變形條件下的應力響應,并與相應的Arruda-Boyce 八鏈模型和Neo-Hookean 模型進行對比分析.首先模擬Treloar[22]開展的關于硫化橡膠和Zhao[32]開展的關于TPE 橡膠的實驗,上述工作對同一橡膠均同時開展了單軸拉伸、純剪切和等雙軸拉伸實驗.其中純剪切實驗的實驗設置與單軸拉伸實驗是一致的,其主要區別在于所采用的試樣的寬度遠大于長度(一般來說,寬度/長度>10),在該條件下,可認為寬度方向的拉伸比為1,長度方向拉伸比為λ1,厚度方向拉伸比為1/λ1.值得注意的是,純剪切變形和簡單剪切變形是不一樣的,具體可參加Thiel 等[33]的相關工作.

在單軸拉伸、純剪切和等雙軸變形情況下,3 個主方向的拉伸比可依次表示為

這里采用直接對實驗數據進行擬合來獲得模型參數,具體是獲得以下方程的最小值

圖3 給出了本文所建立的模型和八鏈模型對Treloar[22]所開展的關于硫化橡膠的實驗的模擬結果,相應的模型參數和模擬誤差見表1.由圖3(a)可見,考慮了纏結效應的超彈性模型能同時準確的模擬單軸、純剪切和等雙軸拉伸的實驗結果,與之相比,八鏈模型雖然能較好地預測硫化橡膠在單軸拉伸的應力響應,但對等雙軸拉伸的結果的預測明顯偏低(圖3(b)).此外,考慮纏結效應的模型也能更好地體現單軸和純剪切實驗中應力的區別.圖4(a)和圖4(b)給出了關于TPE 橡膠的實驗和相應的模擬結果,其主要結論與硫化橡膠是一致的.表1 的實驗結果和模擬結果的誤差值也進一步證實本文所建立的本構模型的預測能力明顯好于八鏈模型.

針對Treloar 的實驗數據,Treloar[34]和Steinmann等[23]系統地評估了經典唯象模型(Neo-Hookean 模型,Ogden 模型,Mooney-Rivlin 模型,Gent 模型,Yeoh模型等)和基于分子統計模型(三鏈模型、四鏈模型、八鏈模型、仿射模型等)的預測能力,結果顯示這些模型均不能同時較好地預測單軸、純剪切和等雙軸的實驗結果.為了與本文所建立的纏結模型進行對比,進一步采用以下兩個三參數模型來模擬TPE 橡膠的實驗結果.第一個模型是Yeoh 模型,其自由能形式為

其中c1,c2以及c31是Yeoh 模型的3 個參數.第二個模型是廣義Rivlin 模型,其自由能形式如下

圖3 關于硫化橡膠的實驗和模擬結果對比Fig.3 Comparison between the experimentally measured and simulated results of vulcanized rubber

其中,c1,c2以及c32是廣義Rivlin 模型的3 個參數.當c2=0,該模型退化為Mooney-Rivlin 模型.

表1 基于分子統計理論模型參數和模擬誤差Table 1 Parameters and simulation error for models based on statistical mechanics

表2 給出了Yeoh 模型和廣義Rivlin 模型的參數以及模擬誤差,其誤差均明顯大于本文所建立的考慮纏結效應的超彈性模型.由圖4(c)和圖4(d)可見,Yeoh 模型能較好地預測單軸實驗數據,但與八鏈模型類似,不能較好地模擬等雙軸加載條件下應力響應.在所有模型中,廣義Rivlin 模型的模擬效果最差,在單軸變形的大應變區間和雙軸變形的小應變區間與實驗結果都有較大偏差.由于Mooney-Rivlin 模型是該模型的一個特例,可預見Mooney-Rivlin 模型也不能較好的預測相關實驗結果.

圖4 關于TPE 橡膠的實驗和模擬結果對比Fig.4 Comparison between the experimentally measured and simulated results of TPE

表2 唯象模型參數和模擬誤差Table 2 Parameters and simulation error for phenomenological models

本文所建立的模型被進一步用來模擬Jones 和Treloar[35]所開展的關于另一類硫化橡膠(記為硫化橡膠B) 的實驗結果.其實驗設計如下:橡膠試樣先在e2方向上被拉伸至一固定伸長比,然后在e1方向上開展拉伸實驗,在e3方向上試樣不受力.圖5 給出了相應的實驗結果,其中,當X軸的伸長比的數值大于時,X軸對應的是λ1,Y軸對應σ1?σ2,而當X軸的數值小于時,X軸對應λ3,而Y軸對應?σ2.在擬合過程中,我們發現相對誤差值隨著拉伸極限N的增大而降低,因此這里選擇在Neo-Hookean 的模型的基礎上考慮纏結效應,即采用式(13) 來擬合實驗結果,相關的模型參數見表1.如圖5(a) 所示,考慮了纏結效應的本構模型能準確地預測實驗結果,而不考慮纏結效應的Neo-Hookean模型只能在一定的變形范圍內與實驗結果相吻合,而總體的模擬效果較差.在本文中,纏結約束部分是基于柯西?格林應變張量的第二應變量I2,在體積不可壓條件下,I2可表示為當λ3值較小時,I2隨著λ3的減小而迅速增大,進而導致一個較大的應力響應,這與實驗結果是一致的.Neo-Hookean 模型僅依賴于柯西?格林應變張量第一不變量,因此不能夠預測當λ3值較小時,隨著λ3減小應力響應的迅速增大.

圖5 關于硫化橡膠B 的實驗和模擬結果對比Fig.5 Comparison between the experimentally measured and simulated results of vulcanized rubber

3 討論

大量的實驗數據顯示,當用八鏈模型來模擬單軸變形實驗時,八鏈模型能很好地預測實驗結果,但本文和其他相關論文[8,23]的研究結果都顯示當需要同時考慮橡膠的多種加載模式時,八鏈模型不能較好地描述實驗結果,而考慮纏結效應的超彈性模型能克服八鏈模型的不足之處.

考慮纏結約束效應的超彈性模型的應力響應同時包含熵彈性部分和纏結約束部分,在本文中,前者依賴于柯西?格林應變張量第一不變量,而后者是柯西?格林應變張量第二不變量的函數,因此,這兩部分對不同加載情況下的響應是不同的.

這里給出在不同加載條件下兩部分的歸一化應力,即相應的應力除以剪切模量.如圖6 所示,在小應變條件下,來自熵彈性和纏結效應的歸一化應力是相同的.當變形逐步增大時,兩者之間逐漸偏離.在單軸拉伸和純剪切變形情況下,纏結效應的歸一化應力小于相應的熵彈性歸一化應力,且會逐步達到平臺并發生軟化行為,這與實驗結果相一致[27].與之不同,在等雙軸拉伸情況下,纏結效應的歸一化應力不出現軟化行為,且在一定的應變范圍,其數值大于熵彈性部分,直至接近材料的拉伸極限時,熵彈性歸一化應力急劇增加,其數值將高于纏結約束引起的歸一化應力.

經典八鏈模型能較好地模擬橡膠單軸加載的應力響應,但在模擬橡膠等雙軸拉伸時,會低估實驗所測得的應力響應,而圖6 的結果顯示纏結效應在單軸加載條件下對應力的貢獻較小,而在等雙軸加載條件下,纏結效應具有顯著效應,這解釋了考慮纏結約束效應的超彈性模型能同時預測單軸、純剪切和等雙軸實驗結果的原因.

圖6 熵彈性和纏結約束效應歸一化應力的對比Fig.6 Comparison between the normalized stress from entropy and entanglement effects

當前,國內外相關學者[24-28]也建立了相應的包含纏結約束效應的超彈性模型,其主要建模思路均是基于管模型,本文將這些模型進行對比分析.Davidson 和Goulbourne[27]采用非仿射的管模型給出了如下的纏結約束自由能

Xiang 等[28]基于三鏈模型,提出了如下的自由能方程來表示纏結約束效應

為了與本文的模型進行對比,在原模型的自由能基礎上增加了系數1/2,以保證上述模型在小應變條件下純剪切的剪切模量均為Ge.本文相應的纏結約束自由能可表達為

圖7 對比了上述模型在單軸、純剪切和等雙軸拉伸情況下的歸一化自由能,即相應的自由能除以纏結剪切模量.在單軸拉伸情況下,本文所采用的纏結約束自由能最小,而基于非仿射約束的自由能最大;在純剪切情況下,3 個自由能的大小比較接近,且基于非仿射假設的自由能和基于三鏈模型的纏結約束自由能是完全一致的;與單軸拉伸情況不同,在等雙軸拉伸情況下,基于非仿射假設的纏結約束自由能最小,而相應的基于三鏈模型的纏結約束自由能最大.

圖7 3 種纏結約束自由能的對比Fig.7 Comparison between three different forms of free energy density of entanglement effects

圖7 3 種纏結約束自由能的對比(續)Fig.7 Comparison between three different forms of free energy density of entanglement effects(continued)

在熵彈性模型的基礎上,引入上述3 種纏結約束自由能,均能較好地模擬文獻中的實驗數據[27,28].因此,基于當前文獻中的實驗數據不足以全面評估哪類纏結約束模型能更好地預測橡膠材料在不同加載情況下的變形行為.亟需開展針對單一橡膠的全面的實驗表征,其實驗表征可同時考慮單軸拉伸、壓縮、平面應變壓縮、純剪切、非等雙軸以及等雙軸拉伸變形等.這樣的實驗數據將有益于評估各類模型的適用性.

4 結論

本文建立了包含纏結約束效應的超彈性模型,其主要的建模思路是在微觀尺度上,對于單根分子鏈采用了Langevin 統計模型來表示熵彈性所引起的自由能,采用了管模型來表征纏結約束引起的自由能.采用仿射假設,將各個方向分子鏈伸長比的均方根作為宏觀變形分子鏈的伸長比,把微球表面微單元收縮比的均方根作為宏觀變形管橫截面積的收縮比.所建立的模型含有3 個參數:分子鏈特征剛度、分子鏈拉伸極限和纏結約束剪切模量.當不考慮纏結效應時,該模型退化為Arruda-Boyce 八鏈模型.

與經典熵彈性模型相比,本文所建立的模型能更好地表征文獻中橡膠在單軸、純剪切和等雙軸多個加載模式下的實驗數據,也能準確地預測不同預拉伸比雙軸拉伸條件下橡膠的力學響應.上述結果充分揭示了纏結約束效應對橡膠等軟材料宏觀力學行為的重要影響,在理論建模中需加以考慮.

本文所建立的宏觀本構關系僅依賴于柯西?格林應變張量的不變量,因此相比于文獻中考慮纏結約束的超彈性模型在有限元植入上更為方便,例如,常見的商業軟件ABAQUS 的UHYPER 子程序可通過直接輸入基于應變不變量的自由能進行有限元分析,而無需編寫相應的基于剛度矩陣的用戶自定義子程序,這為軟材料的超彈性行為的分析提供了方便[36].目前我們正在開展橡膠材料在多種變形條件下的變形行為和具有復雜幾何尺寸試樣的力學表征,以更為全面地評估各類超彈性本構模型.