基于壓電纖維復合材料的旋轉葉片主動控制1)

張 博 丁 虎 陳立群

?(長安大學理學院,西安 710064)

?(上海大學力學與工程科學學院,上海 200444)

??(哈爾濱工業大學(深圳)理學院力學系,廣東深圳 518055)

引言

旋轉葉片結構是航空發動機、重型燃氣輪機等國家核心裝備制造業的關鍵熱端部件.惡劣的服役條件往往會導致葉片發生大幅非線性振動,出現多種共振形式,加速損耗了葉片乃至整機的疲勞壽命.亟需精準把握旋轉葉片結構的運動規律并發展高效穩定的振動控制方法,避免葉片因大幅振動而造成過早損毀.

首先,需要針對典型的旋轉葉片結構建立精確的動力學模型,準確預測這類結構的運動規律.大多數研究[1-7]通常將葉片抽象為中軸線為直線的梁、板或殼,建立線性或非線性動力學方程描述旋轉葉片的運動規律,研究其動力學特性以及非線性動力學行為.然而葉片服役時所處的熱梯度環境,導致這類結構預變形是不可避免的.20 世紀90 年代初,日本學者Takabatake[8]報道了恒載(dead load) 引起的預變形對結構的動力學行為存在顯著影響.為了建立更為精確的動力學模型,Zhang 和Li[9]考慮了溫度梯度引起的預變形,從而將旋轉葉片考慮為一個非對稱振動系統,建立了考慮預變形的旋轉葉片非線性動力學方程.在此模型基礎上,文獻[10-14] 研究了預變形旋轉葉片2:1 內共振、3:1 內共振、參數共振、諧波共振等多種不同形式共振可能性以及所蘊含的豐富動力學現象.

其次,針對旋轉葉片結構,發展相應的被動或主動振動控制方法對于減輕葉片重量,提升葉片性能,延長葉片壽命具有重要意義.被動控制具有成本低,易于維護等優點[15-16].但通常存在工作頻帶窄,不便調節,產生較大的附加質量等缺陷[17].因此,很多學者開始將目光轉向探索主動控制方法.在主動控制中,時滯效應對受控系統穩定性影響是一個重要問題.由于信號采集測量、傳輸延遲、信號濾波、數據運算以及作動器響應等過程,時滯效應很難避免.王在華和胡海巖[18-19]針對不同的簡化動力學模型,研究了比例微分(proportional derivative,PD) 控制中時滯量對控制系統穩定的復雜影響.早期學者們[20]大多采用壓電陶瓷材料作為主動控制裝置的主要材料.但壓電陶瓷材料的柔韌性差強度低等缺點限制了其在工程中的廣泛應用.壓電纖維復合材料由交叉指形電極、環氧樹脂、壓電陶瓷纖維三部分組成,顯著提升了傳感和驅動性能,且能更好地適用于曲面結構.近年來,基于MFC 設計的主動控制設備越來越多,學者們廣泛將其應用到梁[21]、平板[22]、復合材料板[23]等典型結構的振動抑制中.最近,孫杰等[24]采用MFC 驅動器實現了含間隙鉸接航天器姿態運動與結構振動的協調控制.2013 年,NASA 格倫研究中心通過實驗驗證和多物理場有限元仿真證明了壓電片可顯著降低葉片振動[25].文獻[26-28]在Yao 模型上引入非線性飽和控制器,正位置反饋控制器等,實現了對空心壓縮機葉片的振動控制.唐冶等[29]采用壓電材料對脈動旋轉懸臂梁進行主動振動控制,得到了壓電旋轉懸臂梁在諧波共振時的穩定性邊界.

雖然基于壓電復合材料的振動控制取得一些進展,但針對旋轉葉片的主動振動控制方面,目前相關研究還比較少[30-31].本文采用MFC 作為傳感器和作動器,與旋轉葉片組成具有一定時滯效應的閉環控制系統.并在葉片發生2:1 內共振條件下,探究控制器各主要參數對葉片振動控制效率及穩定性的影響規律.

1 模型描述和控制系統運動方程

本文研究的基于MFC 的旋轉葉片振動控制系統如圖1 所示.在葉背和葉盆兩側對稱地布置MFC傳感器和MFC 作動器.控制器工作時,MFC 傳感器測量葉片弦向(chordwise)位移信號并傳輸給計算機,經過分析運算后得到控制信號,并將控制力信號輸出給MFC 作動器,通過作動器的響應實現對旋轉葉片的振動控制.

圖1 包含MFC 傳感器和作動器的旋轉葉片振動控制示意圖Fig.1 Schematic diagram of rotating blade controller system with MFC sensors and MFC actuators

文獻[9-10]使用Lagrange 原理結合假模態設法,再通過模態變換,得到了線性部分解耦的熱梯度環境下旋轉預扭葉片的動力學方程.本文在上述方程的基礎上引入具有時滯效應的PD 反饋控制.另外,根據文獻[10,14]立方非線性對葉片2:1 內共振影響十分微弱,因此本文忽略立方非線性項,最終得到受控葉片系統在模態空間下的運動微分方程為

其中q1,q2分別為弦向和翼向模態坐標,cd為無量綱阻尼系數.ω1,ω2為葉片前兩階無量綱固有頻率,葉片轉速通過離心效應,顯著影響葉片的低階固有頻率,在一定的轉速條件下,ω1與ω2之間會出現可公度關系,使得系統存在內共振的可能性[13].f1,f2為模態空間下的激振力,與簡諧變化的燃氣壓力的幅值成正比例關系.η11,η12,η13,η21,η22,η23為系統平方非線性項系數,是由于考慮了葉片在服役環境下的預變形效應而產生的,平方非線性項系數的大小與預變形程度成正比關系.以上參數的具體定義可參考文獻[14].u(t)為PD 控制器輸出的控制力,這里為了簡化分析,假設控制力僅是葉片弦向位移信號和速度信號的線性反饋,且僅作用在弦向位移上,通過系統內共振引入的前兩階模態間的能量交換機制,實現對整個預扭葉片的振動控制.u(t)具體表達為

其中,kp為位移反饋增益,kd為速度反饋增益,τ 為信號采集、傳輸、運算、響應等環節產生的時間延遲,通常是一個小量.理論上講,位移通道和速度通道反饋時滯均可以是任意值[32-33],這里為了簡便,僅考慮最簡單的一種情形,即認為位移時滯與速度時滯相等.

2 基于多尺度法的攝動分析

對控制方程進行重刻度,并引入兩個時間尺度

其中?1=σ1T1?2β1+β2,?2=σ2T1?β1.為了研究該受控系統的穩態響應,令受控系統演化方程(14)～(17)等號左側為0.系統的穩定性可由李雅普諾夫運動穩定性理論確定.本文采用數值延拓與分岔分析工具包Matcont,對受控系統的動力學行為進行研究.

3 受控系統響應演化規律

本文動力學方程采用文獻[9-10]中的參數:σ1=0,σ2=1.5,cd=0.1,ε=0.01,ω1=4.487 3,η11=?9.227 0×102,η12=4.093 0×103,η13=?3.983 5×102,η21=1.934 8×103,η22=?7.532 2×102,η23=3.725 9×103,f1=2.553 0×10?3,f2=7.803 1×10?3.由演化方程(14)～(17) 分析旋轉葉片發生2:1 內共振附近時,受控旋轉預變形葉片的穩態動力學響應.

如圖2 所示,當無控制(kd=0)時,系統頻響曲線呈現典型的雙跳躍現象[9],在兩側跳躍附近分別存在一個極限點(用圓圈和字母LP 表示),兩個極限點之間的分支是不穩定的,在完全外共振(σ2=0)附近系統存在一個Hopf 分岔(用星號和字母H 表示).后面為了整潔,略去表示分岔點類型的字母,僅用點型來區分.系統引入速度增益后,跳躍現象被抑制,Hopf 分岔消失,響應峰值明顯降低,頻響曲線變得更加平坦.從受控系統動力學方程(1)和(3)來看,若忽略時滯效應,速度增益的作用類似于給系統引入新的阻尼.

圖2 不同速度增益kd 下受控系統頻響曲線(kp=0)Fig.2 Frequency response curves of controlled system for different velocity gain kd (kp=0)

圖2 不同速度增益kd 下受控系統頻響曲線(kp=0)(續)Fig.2 Frequency response curves of controlled system for different velocity gain kd (kp=0)(continued)

如圖3 所示,隨著位移增益增大,頻響曲線呈現硬化現象,1 階響應增大,2 階響應減小,即系統前兩階模態響應耦合降低,響應峰值向高頻方向移動.由此說明位移增益必須恰當選取,否則會引起系統新的共振.實際上,從受控系統動力學方程看,若忽略時滯效應,位移增益的作用類似于給系統引入新的剛度,系統原有的2:1 內共振條件被打破.

圖3 不同位移增益kp 下受控系統頻響曲線(kd=0)Fig.3 Frequency response curves of controlled system for different displacement gain kp (kd=0)

由圖4 可見,速度增益跨越0 附近,存在一個Hopf 分岔,負的kd使得系統喪失穩定性.小延遲下的速度增益對系統響應抑制效果更為明顯.由圖5 所示,當位移增益kp變化中,存在一個范圍使得系統響應存在多值現象,兩個極限點之間的分支系統穩態響應是不穩定的.且不穩定區域將會被時滯效應放大.系統穩態響應隨位移增益的演變對時滯效應十分敏感,對于較大時滯,系統有可能會出現Hopf 分岔,失去穩定性.如果不恰當選取位移增益,會使得系統響應迅速增長,喪失控制效果.

圖4 不同時滯量下受控系統穩態響應隨速度增益(kd)的演變情況(kp=0)Fig.4 Variation of the controlled system steady response with velocity gain kd for different time delay(kp=0)

圖5 不同時滯量下受控系統穩態響應隨位移增益(kp)的演變情況(kd=0)Fig.5 Variation of the controlled system steady response with displacement gain kp for different time delay(kd=0)

4 時滯量對控制器穩定性的影響

圖6 繪制了不同時滯量下,受控系統在增益平面(kp,kd)內穩定區域.顯然時滯越大穩態區域越小.穩定性區域和非穩定區域的分界線大致呈現一條直線,該直線的斜率隨時滯量增大而增大.kp在8 ～12附近,非穩定區域出現一塊戟形隆起.這一隆起和系統隨kp演變過程中的多值現象相關.這一隆起隨時滯增大而向上移動且面積縮小.

圖6 不同時滯量下受控系統增益穩定性區域Fig.6 Stability regions of the controlled system for different time delay

在圖6(b)穩定性區域和非穩定區域的分界線上找一點kp=32,kd=1.5,細致討論.圖7 給出了受控前后,系統力響應曲線.控制前系統力響應曲線存在兩個極限點,有明顯的滯后現象.加入反饋控制后,系統的滯后現象被顯著抑制,僅在較大的時滯下出現跳躍現象.下面以時滯為變量,以零時滯為起點,對系統平衡點做延拓分析,如圖8 所示.時滯較小時受控系統具有穩定的平衡點,滯效應對系統穩態響應大小影響很微弱.在τ=0.05 附近出現Hopf 分岔,表明系統穩定平衡點失穩而產生極限環,出現新的周期運動.深入研究將發現,Hopf 分岔后,受控系統會緩慢進入新的周期運動,在新的周期運動下系統振動幅值遠遠大于分岔前.因此本文將Hopf 分岔時的時滯量,稱為臨界時滯.由圖8 可見,不同外調諧參數σ2下,臨界時滯大致相同.

圖7 控制前(kp=0,kd=0)與控制后(kp=32,kd=1.5)系統的力響應曲線(σ2=4.5)Fig.7 Force response curves of the system before(kp=0,kd=0)and after(kp=32,kd=1.5)control(σ2=4.5)

為了驗證多尺度分析的正確性,對原系統(1)和(2)受控前后進行Runge-Kutta 數值積分,其中控制力項(3) 采用差分法處理.由圖9(a)～圖9(c) 可見,不同時滯量下,受控系統進入穩態后響應幅值幾乎不變,印證了圖8 得到的結論.此外,時滯越小,系統進入穩態所用的時間越短,符合物理預期.當時滯接近或大于臨界時滯(0.05)時,系統將緩慢進入新的周期運動,為了能清晰展示新的周期運動,在圖9(f)中將τ=0.051 條件下的時間積分長度延長20 倍,發現此時受控系統十分緩慢的進入新的周期運動,且振動幅值放大了近三個數量級,受控前的系統響應歷程被完全被淹沒,控制器失去控制效果,與前文采用多尺度法計算得到的圖6、圖8 展示的結果吻合.

圖8 受控系統穩態響應隨時滯量的演變情況(kp=32,kd=1.5)Fig.8 Variation of the controlled system steady response with time delay(kp=32,kd=1.5)

圖9 不同時滯量下原受控系統響應的時間歷程(kp=32,kd=1.5)Fig.9 Time history of the controlled system for different time delay(kp=32,kd=1.5)

5 結論

本文針對基于壓電復合材料的預變形旋轉葉片閉環控制系統,采用多尺度法得到了系統發生2:1 內共振條件下受控系統的演化方程,采用延拓法得到了系統穩態響應隨速度增益、位移增益等系統參數的演化規律,揭示了時滯量對系統穩定性的影響.通過分析得到如下結論:

(1)速度增益的作用類似于阻尼,具有抑制跳躍,降低響應峰值的作用.

(2)頻響曲線隨位移增益向高頻方向移動,不恰當選取位移增益會給控制系統引入新的共振,位移增益存在一個范圍使得系統響應出現多值現象.

(3)增益平面內穩定性區域和非穩定區域的分界線大致呈現一條直線,非穩定區域出現一塊跟多值現象相關的隆起.

(4)時滯量對系統穩定性影響顯著,超過臨界時滯時,系統將緩慢進入一個大振幅的周期運動,從而喪失控制效果.

(5)通過數值仿真驗證了解析解的正確性.