基于LuGre 摩擦模型的接觸約束法旋轉(zhuǎn)柔性梁斜碰撞研究1)

范紀(jì)華 谷通順 王明強(qiáng) 諶 宏 陳立威

?(江蘇科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212003)

?(江蘇科技大學(xué)蘇州理工學(xué)院,江蘇張家港 215600)

??(無(wú)錫交通高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校機(jī)械工程學(xué)院,江蘇無(wú)錫 214000)

引言

接觸碰撞是工程界普遍存在的現(xiàn)象,例如航天器的對(duì)接和抓取[1-3]、太陽(yáng)能帆板的展開(kāi)[4-5]、旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的間隙碰撞[6]、車輛碰撞[7]、火箭的回收著陸[8]、工程機(jī)械作業(yè)[9-10].由于碰撞過(guò)程存在法向碰撞和切向摩擦作用,具有非光滑、不連續(xù)的特性[10-11].因此,有必要對(duì)高效精確的接觸碰撞建模方法進(jìn)行研究.

在接觸碰撞過(guò)程中存在法向接觸速度跳躍、能量突變和切向摩擦的滑動(dòng)?黏滯互相切換等問(wèn)題.對(duì)于解決柔性體接觸碰撞過(guò)程中含切向黏滯/滑動(dòng)狀態(tài)摩擦的碰撞非光滑問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了光滑化方法[11-13],該方法采用光滑曲線來(lái)描述Coulomb 摩擦模型滑動(dòng)?黏滯的切換過(guò)程,有效解決了切換引起的穩(wěn)定性問(wèn)題,然而該方法存在失去黏滯時(shí)動(dòng)力學(xué)特征的缺陷,針對(duì)光滑化方法存在的缺陷,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出建立互補(bǔ)關(guān)系來(lái)求解接觸碰撞非光滑問(wèn)題[14-17].互補(bǔ)關(guān)系算法通過(guò)Hertz 接觸理論描述法向接觸力,在切向上建立正負(fù)加速和正負(fù)摩擦余量的互補(bǔ)關(guān)系從而通過(guò)求解出摩擦余量得出靜摩擦力[14].然而互補(bǔ)算法需要計(jì)算互補(bǔ)方程同時(shí)還需要進(jìn)行狀態(tài)切換條件的判斷,相對(duì)增加了計(jì)算求解時(shí)間[18],有學(xué)者[18-21]提出直接根據(jù)接觸碰撞過(guò)程黏滯/滑移條件進(jìn)行程序判斷計(jì)算的方法.文獻(xiàn)[18]對(duì)柔性滑塊接觸問(wèn)題研究中,采用彈簧阻尼模型計(jì)算碰撞力,以微小速度差作為滑動(dòng)和黏滯的切換判斷條件,黏滯時(shí)直接以滑塊受到的外力作為靜摩擦力,并且對(duì)于多節(jié)點(diǎn)接觸問(wèn)題求解不需要建立和計(jì)算互補(bǔ)方程,通過(guò)兩個(gè)仿真案例說(shuō)明該方法有效可行.文獻(xiàn)[21]基于時(shí)間步進(jìn)法直接引入預(yù)碰撞速度二次函數(shù)判別碰撞前黏滯/滑動(dòng)狀態(tài),并對(duì)Kane[22]案例進(jìn)行研究證明其方法的正確性.以上文獻(xiàn)對(duì)于接觸碰撞過(guò)程通常采用Coulomb 摩擦模型進(jìn)行描述,當(dāng)對(duì)柔性梁接觸碰撞的非光滑問(wèn)題進(jìn)行研究時(shí),為了對(duì)柔性梁碰撞中黏滯時(shí)摩擦力的準(zhǔn)確描述需要引入約束方程進(jìn)行計(jì)算.而LuGre 摩擦模型可通過(guò)平均鬃毛變形來(lái)反應(yīng)實(shí)時(shí)摩擦系數(shù)變化,其包含了運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最大靜摩擦、預(yù)滑動(dòng)、黏滯等現(xiàn)象,直接避免黏滯/滑動(dòng)切換的判斷,減少建模過(guò)程中動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo),且能完整描述預(yù)滑動(dòng)階段的摩擦特性,有學(xué)者[23-27]將LuGre 模型用于多體系統(tǒng)接觸碰撞中,證明該模型能夠解決接觸碰撞過(guò)程中的非光滑問(wèn)題.以上文獻(xiàn)對(duì)于接觸碰撞過(guò)程中法向接觸力的計(jì)算通常采用連續(xù)接觸法,該方法需要進(jìn)行嵌入假設(shè),而接觸碰撞過(guò)程的實(shí)際情況應(yīng)該是非嵌入的,此時(shí)更符合工程實(shí)際情況的附加約束法被國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出[28-32].段玥晨等[30]證明該方法能夠方便準(zhǔn)確求解出法向碰撞力并與連續(xù)接觸法的作對(duì)比.Yuan 等[32]針對(duì)柔性梁和剛性斜面斜碰撞問(wèn)題進(jìn)行研究,在法向碰撞時(shí)引入約束方程求解碰撞力,在切向上根據(jù)滑動(dòng)/黏滯判斷條件分別采用切向接觸約束法直接求解靜摩擦力和Coulomb 模型計(jì)算滑動(dòng)摩擦力的混合建模方法,并與采用修正庫(kù)倫模型和無(wú)摩擦模型作對(duì)比證明該方法能夠相對(duì)準(zhǔn)確描述碰撞時(shí)的摩擦力.

如上述文獻(xiàn)研究可知,接觸約束法和LuGre 模型在碰撞問(wèn)題研究中有各自的優(yōu)勢(shì),然而目前柔性梁采用接觸約束法結(jié)合LuGre 摩擦模型對(duì)斜碰撞問(wèn)題研究的文獻(xiàn)相對(duì)尚少.本文首先以剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)建立無(wú)碰撞時(shí)重力作用下旋轉(zhuǎn)柔性梁的動(dòng)力學(xué)方程;其次在碰撞時(shí)引入法向加速度約束計(jì)算出法向碰撞力建立無(wú)摩擦的碰撞動(dòng)力學(xué)方程,在切向摩擦力計(jì)算上對(duì)于LuGre 模型提出兩種不同處理方法,第一種是對(duì)LuGre 摩擦模型在黏滯時(shí)建立接觸約束方程引入拉格朗日乘子計(jì)算出黏滯時(shí)切向摩擦力,滑動(dòng)時(shí)根據(jù)摩擦系數(shù)和法向碰撞力計(jì)算出相應(yīng)摩擦力(與Coulomb 摩擦模型處理切向摩擦力的方法一致).第二種是無(wú)論滑動(dòng)還是黏滯狀態(tài)直接使用LuGre 摩擦模型的摩擦力計(jì)算方法,碰撞全部過(guò)程采用相同的摩擦力計(jì)算方程.最后基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程編寫(xiě)含摩擦的碰撞動(dòng)力學(xué)仿真程序.通過(guò)動(dòng)力學(xué)仿真發(fā)現(xiàn)LuGre 模型在黏滯狀態(tài)下兩種不同建模方式的動(dòng)力學(xué)特性無(wú)差別,Coulomb 摩擦模型建模方式的動(dòng)力學(xué)特性隨著碰撞次數(shù)增加與LuGre 摩擦模型的逐漸產(chǎn)生區(qū)別.

1 力學(xué)模型描述

如圖1 所述,柔性梁繞鉸O在重力場(chǎng)作用下作大范圍定軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),柔性梁上任意一點(diǎn)P與剛性坡面上點(diǎn)P′發(fā)生碰撞.以鉸O為慣性坐標(biāo)系原點(diǎn),水平方向?yàn)閼T性坐標(biāo)系X軸,建立慣性坐標(biāo)系OXY.在未變形時(shí)的柔性梁的中軸線為浮動(dòng)坐標(biāo)系的x軸,鉸O為原點(diǎn)建立單位矢量浮動(dòng)坐標(biāo)系Oxy.慣性坐標(biāo)系OX的軸和浮動(dòng)坐標(biāo)系Ox的夾角為柔性梁旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)角θ.取剛性斜坡與水平面傾角斜率為α,設(shè)O1X1軸與斜坡重合建立碰撞面坐標(biāo)系O1X1Y1.假設(shè)柔性梁為歐拉?伯努利梁,忽略梁的軸向變形,考慮橫向彎曲變形引起的縱向縮短量(即非線性耦合變形量).設(shè)柔性梁的物理參數(shù)分別為:長(zhǎng)度為L(zhǎng),橫截面為S,密度為ρ,彈性模量為E.

圖1 柔性梁碰撞模型圖Fig.1 Schematic of impact system of flexible beam

柔性梁在浮動(dòng)坐標(biāo)上任意一點(diǎn)Q變形后位移矢量表示為

式(1)中是uy表示任意點(diǎn)Q橫向變形位移、ux表示為橫向變形引起的縱向縮短量,采用假設(shè)模態(tài)法將柔性變形位移離散表示為

式中,Φy(x)表示為柔性梁的橫向振動(dòng)模態(tài)函數(shù)的行陣,B(t)表示橫向振動(dòng)模態(tài)坐標(biāo)列陣,H(x)表示耦合形函數(shù)矩陣.

2 碰撞動(dòng)力學(xué)建模

2.1 無(wú)碰撞時(shí)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程

柔性梁上任意一點(diǎn)Q變形后位置矢量在慣性坐標(biāo)下表示為

式中,W表示慣性坐標(biāo)到浮動(dòng)坐標(biāo)系的方向余弦矩陣,ρ0表示任意點(diǎn)Q未變形前在浮動(dòng)坐標(biāo)系的位置.柔性動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能為

不考慮剪切和扭轉(zhuǎn),柔性梁系統(tǒng)的勢(shì)能為

式中,VE和VG分別為柔性梁的彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能,g為慣性系下的重力加速度矢量陣,h(x) 為任意點(diǎn)Q變形后在浮動(dòng)坐標(biāo)Oxy上的位置矢量陣.將式(8)和式(9)代入第二類拉格朗日方程

式中,F為非保守力對(duì)應(yīng)的廣義力,其中F=[τ,0]T,τ為轉(zhuǎn)動(dòng)鉸中的驅(qū)動(dòng)力矩,通過(guò)推導(dǎo)可得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

2.2 無(wú)摩擦系統(tǒng)碰撞動(dòng)力學(xué)方程

梁上一點(diǎn)P與剛性斜坡上點(diǎn)P′會(huì)發(fā)生碰撞,碰撞面的單位法向量和切向量在慣性坐標(biāo)系分別為n=[nx,ny]T和τ=[τx,τy]T,WP為慣性坐標(biāo)系到剛性斜坡坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣.在發(fā)生碰撞時(shí),梁上碰撞點(diǎn)P相對(duì)于斜面接觸點(diǎn)P′的在斜坡法向上位移相同,因此法向位移約束方程為

2.3 碰撞的初始條件求解

在接觸約束法中,初始接觸瞬間速度是不連續(xù)的,在碰撞接觸時(shí)直接添加約束會(huì)導(dǎo)致該時(shí)刻運(yùn)動(dòng)不協(xié)調(diào)從而導(dǎo)致違約計(jì)算困難的情況.為了實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的協(xié)調(diào),在初始碰撞時(shí)刻需要實(shí)現(xiàn)無(wú)碰撞到碰撞的速度跳躍,得出碰撞時(shí)刻添加約束的速度.對(duì)于得出速度跳躍值,許多學(xué)者進(jìn)行了研究.Dong 等[29]根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的間斷面理論得到碰撞初始速度,段玥晨等[30]利用沖量?動(dòng)量法求出速度的跳躍值.本文采用沖量動(dòng)量法求出碰撞的初始速度

2.4 黏滯狀態(tài)時(shí)碰撞動(dòng)力學(xué)方程

柔性梁上碰撞點(diǎn)P在碰撞過(guò)程中還包含切向的摩擦力作用.切向運(yùn)動(dòng)可以分為黏滯狀態(tài)和滑移狀態(tài),在碰撞接觸過(guò)程中滿足一定條件可以相互切換.在黏滯的狀態(tài)下,因?yàn)榍邢驔](méi)有發(fā)生運(yùn)動(dòng),需要建立切向的約束方程求解摩擦力,在滑移狀態(tài)下,需要根據(jù)摩擦系數(shù)來(lái)確定,通過(guò)引入摩擦力勢(shì)能求解.

當(dāng)系統(tǒng)處于黏滯狀態(tài)時(shí),柔性梁上碰撞點(diǎn)P和斜坡上接觸點(diǎn)P′在斜坡上切向位移相同,由此切向的約束方程為

研究發(fā)現(xiàn)斜向碰撞過(guò)程和法向碰撞力和切向摩擦力變化同步[33],目前大多數(shù)學(xué)者認(rèn)為切向碰撞力和法向摩擦力相互獨(dú)立[10,34].可以將無(wú)摩擦動(dòng)力學(xué)和切向接觸約束方程結(jié)合,黏滯狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)方程為

為了同時(shí)滿足位移、速度和加速度的約束方程,分別對(duì)法向和切向接觸約束方程和切向約束方程進(jìn)行違約修正

修正后,黏滯狀態(tài)下碰撞動(dòng)力學(xué)方程為

由黏滯狀態(tài)下碰撞動(dòng)力學(xué)方程求出,即法向和切向的接觸約束反力為

2.5 滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)碰撞動(dòng)力學(xué)方程

在碰撞中發(fā)生滑移時(shí),碰撞點(diǎn)法向間距、速度、加速度始終為零,而切向產(chǎn)生碰撞點(diǎn)的位移、速度、加速度不為零,本文分別采用Coulomb 摩擦模型和LuGre 摩擦模型用來(lái)描述滑動(dòng)過(guò)程中的實(shí)際摩擦系數(shù).Coulomb 摩擦模型取動(dòng)摩擦系數(shù)μd,LuGre 模型摩擦系數(shù)為

式中,z和表示梁上碰撞點(diǎn)P與斜坡接觸點(diǎn)P′的平均鬃毛變形和變形速率;σ0,σ1,σ2分別表示鬃毛剛度系數(shù)、鬃毛阻尼系數(shù)、黏性摩擦系數(shù);vs為stribeck速率;μd和μs分別表示動(dòng)摩擦系數(shù)、靜摩擦系數(shù).

柔性梁上碰撞點(diǎn)摩擦力如下

2.6 碰撞時(shí)狀態(tài)的切換準(zhǔn)則

接觸/分離切換的準(zhǔn)則是通過(guò)與斜坡的法向間距矢量和法向相對(duì)速度,判斷是否是碰撞接觸狀態(tài)需要同時(shí)滿足:

(1)柔性梁與斜面接觸;

(2)梁上碰撞點(diǎn)相對(duì)于斜坡的法向速度為負(fù).

黏滯/滑移狀態(tài)切換準(zhǔn)則:在切向接觸狀態(tài)中存在黏滯、正滑移、逆滑移現(xiàn)象,在切向接觸過(guò)程其滑動(dòng)和黏滯的判斷條件為

其中,Coulomb 模型中μd和μ相同,因?yàn)榱銜r(shí)刻速度程序難以獲得,當(dāng)切向速度小于微小速度Dv時(shí),本文認(rèn)為發(fā)生黏滯.

基于接觸約束法的3 種碰撞動(dòng)力學(xué)建模方式如下:

(1)Coulomb 模型黏滯時(shí)考慮切向約束混合建模方式(即hybrid Coulomb model)和LuGre 模型黏滯時(shí)考慮切向約束混合建模方式(即hybrid LuGre model).

黏滯狀態(tài)時(shí)動(dòng)力學(xué)方程

滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)動(dòng)力學(xué)方程

(2)LuGre 模型黏滯時(shí)不考慮切向約束采用統(tǒng)一摩擦力公式建模方式(即LuGre model).

碰撞時(shí)動(dòng)力學(xué)方程

3 動(dòng)力學(xué)仿真

3.1 與現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)比

取柔性梁的參數(shù)為:L=1.0 m,S=3.14×10?4m2,ρ=27 667 kg/m3,E=68.952 GPa,I=7.85×10?9.假設(shè)柔性梁在初始狀態(tài)處于靜止和未變形狀態(tài);柔性梁在初始角度θ=π/4 處在重力場(chǎng)下作自由下落.旋轉(zhuǎn)過(guò)程中柔性梁和原點(diǎn)位于(0.3,0)處傾角α 為π/10的剛性斜坡發(fā)生;取動(dòng)摩擦系數(shù)μd為0.3,如圖2 和圖3 所示柔性梁的角位移和末端Y方向位移與文獻(xiàn)[32]仿真結(jié)果對(duì)比相同.

圖2 角位移Fig.2 Angular displacement

圖3 梁末端末端Y 方向位移Fig.3 Y-direction displacement of beam tip

3.2 仿真結(jié)果分析

取柔性梁尺寸與材料參數(shù)如3.1 節(jié)所示;取違約數(shù)χ 和β 為10 和1000.在慣性坐標(biāo)系(0.5,0) 處取剛性斜坡坐標(biāo)原點(diǎn),斜坡坡傾角為π/10;柔性梁在初始角度θ=π/4 處在重力場(chǎng)下作自由下落與斜坡發(fā)生碰撞.取動(dòng)摩擦系數(shù)μd為0.4、最大靜摩擦系數(shù)μs為0.5,通過(guò)對(duì)比取σ0為1.0×105N/m、σ1為1.0×102N·s/m;假設(shè)初始時(shí)刻柔性梁未發(fā)生變形,未碰撞時(shí)和碰撞結(jié)束后鬃毛平均變形z和平均變形速率為0.

圖4 和圖5 分別表示旋轉(zhuǎn)柔性梁在碰撞過(guò)程中角位移和角速度變化.如圖 4 和圖 5 所示LuGre 摩擦模型在仿真時(shí)考慮約束(黏滯時(shí)考慮切向約束方程混合建模方式——hybrid LuGre model) 和不考慮約束(黏滯時(shí)不考慮切向約束方程建模方式——LuGre model) 的角位移和角速度相同;如圖4 所示Coulomb 摩擦模型(即hybrid Coulomb model) 的角位移與LuGre 摩擦模型考慮約束和不考慮約束的變化趨勢(shì)相同,但變化并不完全相同,在第一次碰撞時(shí)和碰撞后3 種摩擦模型基本相同,第二次碰撞后Coulomb 摩擦模型和LuGre摩擦模型(hybrid LuGre model 和LuGre model) 的角位移存在不同,其反彈最大角位移相對(duì)偏大.如圖5 所示3 種摩擦模型在碰撞后角速度曲線變化趨勢(shì)相同,在第一次碰撞后LuGre 模型考慮約束和不考慮約束兩者沒(méi)有區(qū)別,Coulomb 模型與LuGre 模型考慮約束和不考慮約束的角速度有細(xì)微差別;但是第二次以后碰撞Coulomb 模型的速度變化范圍相對(duì)于LuGre 模型的區(qū)別較大.碰撞過(guò)程黏滯狀態(tài)時(shí),LuGre模型考慮切向約束和不考慮的兩種建模方式對(duì)旋轉(zhuǎn)柔性梁的角位移和角速度無(wú)影響.

圖4 柔性梁角位移Fig.4 Angular displacement of flexible beam

圖5 柔性梁角速度Fig.5 Angular velocity of flexible beam

圖6 所示為柔性梁末端橫向變形,由圖6(a)可知LuGre 模型兩種方式(即hybrid LuGre model 和LuGre model)與Coulomb 模型碰撞后的橫向變形的曲線變化趨勢(shì)相同.由圖6(a) 和圖6(b) 看出在第一次碰撞后3 種模型的末端變形曲線基本重合;在第二次碰撞后,Coulomb 模型相對(duì)LuGre 模型兩種方式柔性梁末端變形的變化基本相同但是變形量相對(duì)LuGre 模型兩種方式稍微偏大;第三次碰撞后Coulomb 模型變形量相對(duì)于LuGre 模型有明顯不同,碰撞后末端橫向變形量明顯偏大.LuGre 模型兩種方式在多次碰撞中末端變形仍然相同.圖7 和圖8 分別表示柔性梁末端Y方向的位移和速度,從圖7 和圖8 可以看出,3 種模型方式(即hybrid Coulomb model,hybrid LuGre model 和LuGre model) 柔性梁末端在Y方向位移和速度變化基本相同.在仿真時(shí)間內(nèi),LuGre 模型兩種方式Y(jié)方向位移和速度變化曲線重合,Coulomb 模型隨著碰撞次數(shù)增多和LuGre 模型兩種方式Y(jié)方向位移和速度曲線差別先變大后變小.LuGre 模型考慮約束和不考慮約束柔性梁末端變形、位移、速度變化相同.

圖6 柔性梁末端橫向變形圖Fig.6 Transverse deformation of flexible beam tip

圖6 柔性梁末端橫向變形圖(續(xù))Fig.6 Transverse deformation of flexible beam tip(continued)

圖7 柔性梁末端Y 方向位移Fig.7 Y-direction displacement of flexible beam tip

圖8 柔性梁末端Y 方向速度Fig.8 Y-direction velocity of flexible beam tip

圖9 表示3 種摩擦模型方式柔性梁碰撞過(guò)程中法向碰撞力的變化圖,如圖9 所示,在第一次碰撞中法向的碰撞力完全相同,隨著碰撞次數(shù)增加3 種模型碰撞時(shí)間和法向碰撞力大小出現(xiàn)明顯區(qū)別.在仿真時(shí)間內(nèi),LuGre 模型黏滯時(shí)考慮約束和不考慮約束的碰撞力大小無(wú)明顯區(qū)別,而Coulomb 模型隨著碰撞次數(shù)增加碰撞力相對(duì)LuGre 模型兩種方式差異逐漸明顯.圖10 表示3 種摩擦模型柔性梁碰撞過(guò)程中切向摩擦力的變化,由圖10(b)放大圖可知,切向摩擦力在第一次碰撞過(guò)程中變化曲線基本相同,在碰撞開(kāi)始階段LuGre 模型兩種方式相對(duì)Coulomb 模型摩擦力相對(duì)略微偏大,隨后3 種方式曲線重合.LuGre模型的兩種方式在多次碰撞中摩擦力沒(méi)有明顯區(qū)別,而Coulomb 摩擦力在多次碰撞后和LuGre 模型出現(xiàn)明顯差異.說(shuō)明LuGre 模型黏滯狀態(tài)考慮約束和不考慮約束方程兩種碰撞建模方式不影響系統(tǒng)的碰撞力和摩擦力.

圖9 碰撞力變化圖Fig.9 Variation of impact force

圖10 摩擦力變化圖Fig.10 Variation of friction force

圖11 表示柔性梁3 種摩擦模型方式的能量變化,從圖11(a)可以看出3 種摩擦模型方式機(jī)械能整體變化的趨勢(shì)相同,隨著碰撞次數(shù)增加,每次碰撞過(guò)程損耗的機(jī)械能逐漸減少.第一次碰撞過(guò)程中LuGre模型的兩種方式消耗的能量比Coulomb 模型略微多點(diǎn)但是不明顯,由于第一次碰撞過(guò)程中3 種模型法向碰撞力相同,能量差異只能是LuGre 模型切向摩擦力和Coulomb 模型出現(xiàn)略微不同而引起的.隨著碰撞次數(shù)增加,柔性梁系統(tǒng)能量的大小變化差異呈現(xiàn)先增大后減小趨勢(shì),但在仿真過(guò)程中LuGre 模型考慮黏滯約束和不考慮黏滯約束方程機(jī)械能無(wú)明顯區(qū)別.從圖11(b) 可以看出,在碰撞過(guò)程中會(huì)引起動(dòng)能的突變,在第一碰撞后動(dòng)能變化基本相同,但是后面幾次碰撞后逐漸可以看出Coulomb 模型相對(duì)其他兩種模型明顯不同.由圖11(c) 看出,3 種模型方式的柔性梁彈性勢(shì)能曲線趨勢(shì)相同,對(duì)比圖6 可以看出在碰撞時(shí)柔性梁會(huì)出現(xiàn)大的變形隨后引起高頻振蕩,其彈性勢(shì)能體現(xiàn)為在碰撞時(shí)產(chǎn)生大的突變、隨后數(shù)值發(fā)生大范圍周期變化.隨著能量的損耗,彈性勢(shì)能數(shù)值變化幅度能隨著碰撞次數(shù)也逐漸減小、梁末端變形幅度也隨著減小.Coulomb 模型的彈性勢(shì)能隨著碰撞次數(shù)增加和其他兩種方式逐漸產(chǎn)生區(qū)別后隨著能量消耗區(qū)別減小,在仿真過(guò)程中LuGre 模型兩種方式的彈性勢(shì)能沒(méi)有區(qū)別.由圖12(d) 看出,重力勢(shì)能變化趨勢(shì)和角位移變化趨勢(shì)基本相同,重力勢(shì)能的變化主要受剛性的轉(zhuǎn)動(dòng)影響,在第二次碰撞后Coulomb 模型和LuGre 模型兩種方式有明顯區(qū)別,柔性梁碰撞后Coulomb 模型反彈高度相對(duì)較高,機(jī)械能在反彈重力勢(shì)能最大時(shí)刻能量以重力勢(shì)能為主,還有少部分機(jī)械能以彈性勢(shì)能存在,重力勢(shì)能碰撞最大反彈高度區(qū)別能夠反應(yīng)出相同條件下Coulomb能量消耗略低而LuGre 模型考慮約束和不考慮約束能量消耗相同.反彈高度在第二次碰撞反彈同樣影響碰撞力區(qū)別,第三次碰撞由于前兩次LuGre 模型兩種方式消耗能量大,出現(xiàn)反彈高度小再次碰撞就出現(xiàn)碰撞力和摩擦力減小,LuGre 模型兩種方式能量損耗減小,從而呈現(xiàn)3 種摩擦模型方式能量之間差異減小的現(xiàn)象.在仿真時(shí)間內(nèi)LuGre 模型黏滯狀態(tài)下考慮約束和不考慮約束方程建模的兩種方法所有能量曲線重合,說(shuō)明LuGre 模型黏滯狀態(tài)下引入計(jì)算切向約束反力和LuGre 模型計(jì)算黏滯狀態(tài)下摩擦力的能量損耗相同.

圖11 柔性梁能量變化圖Fig.11 Energy variation of flexible beam

圖11 柔性梁能量變化圖(續(xù))Fig.11 Energy variation of flexible beam(continued)

圖12 表示第一次碰撞梁上碰撞點(diǎn)相對(duì)于斜坡原點(diǎn)的切向位移,從圖12 看出在第一次碰撞過(guò)程中3 種模型方式的位移基本相同,且在碰撞過(guò)程中都反映出正反滑移和黏滯現(xiàn)象.其中LuGre 無(wú)論是否考慮約束的滑動(dòng)位移完全相同,說(shuō)明LuGre 模型黏滯狀態(tài)下不考慮約束同樣能準(zhǔn)確表現(xiàn)出該模型黏滯狀態(tài)的位移.圖13 表示梁上碰撞點(diǎn)碰撞時(shí)在斜坡上切向滑動(dòng)速度,可以看出隨著碰撞次數(shù)增加,Coulomb 摩擦模型的速度相對(duì)于LuGre 模型的兩種方式逐漸產(chǎn)生區(qū)別.圖14 表示LuGre 摩擦模型碰撞過(guò)程摩擦系數(shù)變化,從圖14(a) 和圖14(b) 摩擦系數(shù)變化可知LuGre 摩擦模型黏滯考慮約束和不考慮約束的建模的摩擦系數(shù)變化相同,由圖14(b)第一次碰撞時(shí)摩擦系數(shù)變化可以看出,在碰撞時(shí)摩擦系數(shù)會(huì)出現(xiàn)高于和低于動(dòng)摩擦系數(shù)的值,對(duì)比切向滑動(dòng)位移和速度變化,得出在開(kāi)始滑動(dòng)的階段摩擦系數(shù)出現(xiàn)超過(guò)滑動(dòng)摩擦系數(shù)(0.4)的現(xiàn)象,這與實(shí)際情況相符,預(yù)滑動(dòng)到宏觀滑動(dòng)時(shí)推力必須大于臨界摩擦力.這個(gè)現(xiàn)象反映在摩擦力上為碰撞開(kāi)始階段,LuGre模型的兩種方式的摩擦力相對(duì)于Coulomb 模型偏大.圖14(b)和圖12 結(jié)合同時(shí)看出,在切向位移發(fā)生黏滯時(shí)(即位移不變時(shí)),摩擦系數(shù)值出現(xiàn)小于或大于滑動(dòng)摩擦系數(shù)(0.4)的現(xiàn)象,這說(shuō)明黏滯時(shí)摩擦力是小于當(dāng)時(shí)狀態(tài)最大靜摩擦力而不是小于滑動(dòng)摩擦力,反應(yīng)在摩擦力上在黏滯時(shí)出現(xiàn)LuGre 模型的兩種方式會(huì)出現(xiàn)大于Coulomb 摩擦力.因?yàn)槟Σ料禂?shù)不同會(huì)導(dǎo)致在碰撞開(kāi)始階段和黏滯狀態(tài)下不同模型摩擦力不同,因此不同模型能量損耗等動(dòng)力學(xué)特性也不同.采用Coulomb 模型雖然第一次碰撞時(shí)滑動(dòng)位移、速度等動(dòng)力學(xué)特性與LuGre 摩擦模型基本相同,但是隨著碰撞次數(shù)增加,期間能量損耗逐漸累積的差異逐漸體現(xiàn)出來(lái),Coulomb 模型相對(duì)LuGre 模型的兩種方式動(dòng)力特性區(qū)別也逐漸明顯,從而明顯看出柔性梁末端變形差異、Coulomb 模型能量損耗小、再次碰撞時(shí)間間隔較長(zhǎng)等現(xiàn)象,不過(guò)這種現(xiàn)象隨著能量消耗趨于穩(wěn)定值差異也逐漸減小.如圖5 柔性梁角速度的變化上亦能看出Coulomb 模型和LuGre 模型的區(qū)別,第一次接觸碰撞因切向摩擦力微小區(qū)別導(dǎo)致柔性梁角速度變化微小;在第二次碰撞時(shí),Coulomb 模型的摩擦力相對(duì)于LuGre 模型兩種方式的有明顯區(qū)別,在碰撞反彈后柔性梁角速度產(chǎn)生差異;在第三次及接下來(lái)的碰撞中由于多次碰撞累積效應(yīng),Coulomb 模型碰撞力明顯偏大,導(dǎo)致碰撞時(shí)其柔性梁末端變形變大,進(jìn)而柔性梁的柔性作用反向影響柔性梁大范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),體現(xiàn)在柔性梁角速度變化上.在切向摩擦力上考慮和未考慮黏滯的LuGre 摩擦建模時(shí)摩擦系數(shù)、摩擦力和切向位移、速度并未出現(xiàn)差異,說(shuō)明LuGre摩擦模型能夠反應(yīng)出該模型的黏滯時(shí)摩擦力、位移和速度的變化.在柔性梁斜向碰撞動(dòng)力學(xué)建模時(shí),法向接觸碰撞使用接觸約束法,符合碰撞過(guò)程中非嵌入的實(shí)際情況;切向使用LuGre 摩擦模型引入摩擦勢(shì)能,能夠反應(yīng)碰撞過(guò)程中切向運(yùn)動(dòng)的實(shí)際情況.這樣斜向碰撞動(dòng)力建模相對(duì)于采用Hybrid LuGre model建模減少了計(jì)算程序中黏滯滑動(dòng)的切換,同樣推導(dǎo)公式相對(duì)方便簡(jiǎn)潔.

圖13 碰撞時(shí)切向速度變化Fig.13 Variation of tangential velocity during impact

圖14 碰撞時(shí)摩擦系數(shù)變化Fig.14 Variation of friction coefficient during impact

4 結(jié)論

(1) 在碰撞接觸過(guò)程中,3 種模型的動(dòng)力學(xué)特性相似,但隨著碰撞次數(shù)的增加Coulomb 摩擦模型和LuGre 摩擦模型兩種方式動(dòng)力學(xué)特性差異逐漸明顯,后隨碰撞時(shí)能量消耗柔性梁系統(tǒng)趨于穩(wěn)定,差異又逐漸減小.

(2)LuGre 摩擦模型相對(duì)于Coulomb 摩擦模型對(duì)于碰撞過(guò)程中的斜向摩擦描述更加準(zhǔn)確,可以描述預(yù)滑動(dòng)到宏觀滑動(dòng)之間的臨界摩擦力及在黏滯狀態(tài)下介于正負(fù)最大靜摩擦力之間的摩擦力變化.

(3)LuGre 摩擦模型在黏滯狀態(tài)下考慮約束和不考慮約束在仿真時(shí)間內(nèi)動(dòng)力學(xué)特性沒(méi)有區(qū)別,摩擦力、摩擦系數(shù)、碰撞時(shí)切向位移等均相同.這些現(xiàn)象說(shuō)明在黏滯狀態(tài)下LuGre 摩擦模型的動(dòng)力學(xué)特性和切向約束描述的相同且減少了黏滯狀態(tài)動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo),避免了計(jì)算程序中黏滯/滑動(dòng)狀態(tài)判斷.