運用數學思維巧解基因頻率計算題

安徽

基因頻率計算一直是高中教學的重難點，這部分習題往往在生物學原理的外殼下有著數學思維的內核，所以運用數學思維、借助數學工具解決此類題目往往可舉重若輕，事半功倍。利用數學原理揭示生物學規律，可以使得解題思路簡單清晰、直觀形象，學生便于掌握。本文就基因頻率計算的典型例題介紹三種常見的運用數學思維的解題思路。

1.函數圖形思維

【例1】隱性基因（a）可導致人患一種遺傳病，使得基因型為aa 的兒童在10 歲前全部死亡，而基因型為Aa和AA的個體都表現正常。在一個隔離的群體的第一代（Ⅰ）中，基因a 在成人中的頻率為0.01，如果沒有新的突變發生，在下一代（Ⅱ）的成人中基因a 的頻率以及下一代的新生兒中雜合子（Aa）的頻率的變化趨勢分別是 （ ）

A.下降、上升 B.上升、下降

C.下降、下降 D.上升、上升

【答案】C

【錯因分析】學生對于a 的基因頻率變化趨勢并不難推斷，按照題干信息（基因型為aa 的兒童在10 歲前全部死亡），其應該隨著基因型為aa 的個體數量減少而下降。而本題的難點是對Aa 基因型頻率的變化趨勢的判斷。a 的基因頻率一直在下降，A 的基因頻率一直在上升，Aa 的基因型頻率很難判斷，學生思考至此，往往很難繼續分析，無從下手，造成誤判。但解決此題的“金鑰匙”是分析Aa的基因型頻率隨著A 或a 的基因頻率變化而如何變化，這像極了高中數學常見的曲線函數問題。按照高中學生此時的數學思維能力，沒有哪一種方法比構建函數公式、繪制曲線圖更能恰當地描述這一變化規律。這種思考模式對于高中生的學科交叉思維的形成和發展有極其重要的促進作用，表面上看只是解決了一道題，其實學生已經可以利用構建的數學模型解決生物學問題了。

【正解分析】構建Aa 的基因型頻率的函數表達式，繪制相關的曲線圖。

設P（Aa）=y，P（A）=x，則P（a）=1-x；

［注：P（Aa）、P（A）、P（a）分別表示Aa的基因型頻率、A的基因頻率、a的基因頻率。］

按照“哈迪-溫伯格平衡定律”，P（Aa）=2·P（A）·P（a）=2·x·（1 -x）=2x -2x2；

化簡得：y=-2（x -1/2）2+1/2，

函數圖像如圖所示：

注意：此時P（A）的取值范圍是0.99 ≤P（A）＜1，即x ∈[0.99，1）。而通過函數曲線可以看到，當x ∈[0.99，1）時，y 值遞減，即P（Aa）的變化趨勢是下降。

所以，如果沒有新的突變發生，在下一代（Ⅱ）的成人中基因a 的頻率和下一代的新生兒中雜合子（Aa）的頻率的變化趨勢都是下降，應該選擇C。

【反思】本題利用的數形結合思想是常見的數學解題技巧，高中生應當并不陌生，但在生物學習題的解題情境中使用對學生來說可能會感覺到十分新穎，有助于激發其學習興趣。其實，生物習題的解題思維與圖形走勢的曲線分析聯系密切，如惡劣條件下自由水和結合水的變化曲線；細胞分裂過程中染色體、染色單體和DNA 的變化曲線；種群“J”型增長曲線及λ 值變化曲線等，這些題型的模型都可以在數形結合的數學思維體系中構建，教師在新課教學中應予以重視，在復習課教學中可以專題形式強化學生相關能力的訓練。

2.二項式展開的函數思維

【例2】在一個人類樣本群體中AB 血型23 人，O 血型441 人，B 血型371 人，A 血型65 人。則IA、IB、i 各等位基因的基因頻率分別為_________、_________、__________。

【答案】5% 25% 70%

【錯因分析】遺傳平衡定律在2 個等位基因的遺傳題中的應用比較常見，學生練習較多，已經形成定式思維。而此題涉及復等位基因遺傳，原有僅涉及2 個等位基因的遺傳平衡定律公式無法滿足解題要求，學生往往手足無措。那么如何應用遺傳平衡定律公式呢？此題也可運用遺傳平衡定律，不過由于涉及3 個等位基因，二項式公式需變形調整為三項式公式，像是對原有遺傳平衡定律的升級，其實核心只是三項式展開的運算技巧。關鍵是要對展開式中的各項賦予生物學含義，即各項代表某基因的基因頻率或某基因型的基因型頻率。

【正解分析】人的ABO 血型系統決定于3 個等位基因IA、IB和i。設基因IA的基因頻率為p，基因IB的基因頻率為q，基因i 的基因頻率為r，即且人群中p+q+r=1。根據基因的隨機結合，用下列三項式展開式可求出子代的基因型及頻率（如表1）。

表1

A 血型（IAIA，IAi）的基因型頻率為p2+2pr；B 血型（IBIB，IBi）的基因型頻率為q2+2qr；O 血型（ii）的基因型頻率為r2，AB 血型（IAIB）的基因型頻率為2pq。可羅列出方程組，并解方程組。

O 血型的基因型頻率應為解答本題的突破口，P（ii）=r2=441÷（23+441+371+65）=0.49，則r=0.7。

解得p=0.05，q=0.25。

所以，IA、IB、i 各等位基因的基因頻率分別為5%、25%、70%。

【反思】由計算基因頻率的遺傳平衡定律二項式展開推導到三項式展開，并且賦予各項生物學含義，體現的是學生解題技能的即時生成性，這是一種學以致用且能舉一反三的能力。在教學中，教師若想提升學生的其他類型習題解題能力，則這種公式化的變形訓練也是必不可少的。教學中，理論學習立足于公式，但解決實際情境的問題不能拘泥于公式，如對分離定律、自由組合定律的相關性狀分離比的變形分析。

3.“棋盤子”法解題思維

【例3】果蠅種群中，XB的基因頻率為80%，Xb的基因頻率為20%，雌雄果蠅數目相等，理論上XbXb、XbY的基因型頻率分別是___________、____________。

【答案】2% 10%

【錯因分析】這種題目往往都構建在理想狀態的情境下，即題干中所明示的雌雄果蠅數目相等，但還有暗示，即XB和Xb的基因頻率在果蠅種群的雌性群體和雄性群體中的分布是一致的，這是解決這一類題目的“潛規則”。學生往往易等同于常染色體的基因頻率或基因型頻率計算方法，從而出現錯誤。

【正解分析】雌雄果蠅數目相等，即在兩性果蠅群體產生的雌雄配子中，XB和Xb在雌性配子和含有X 染色體雄性配子中的基因頻率是一致的，而含有X 染色體雄性配子和含有Y 染色體雄性配子各占一半，所以雌雄配子的基因型和比例具有差異，十分容易出現混淆。若利用“棋盤子”構建雌雄配子類型及比例，可直觀反映出后代受精卵基因型及比例，如表2 所示。

表2

由上表可以看出，XbXb、XbY 的基因型頻率分別是2%、10%。

運用“棋盤子”法最為關鍵的一步是要準確求出雌雄配子中相關基因各自所占的比例，也就是構建“棋盤子”的邊長，在此基礎之上，邊長所轄的“棋盤子”面積（即雌雄配子自由組合）所涉及的各種子代基因型和表現型比例計算便水到渠成。

【反思】通過親代的基因型推導其配子基因型及比例，繼而推導子代的相關基因型頻率，是遺傳題常見的解題思路，但若雌雄個體出現多種配子類型甚至是異常配子類型，在推導子代基因型及比例的過程中，容易出現遺漏或錯配。使用“棋盤子”法，雌雄配子類型及比例清晰明了，各種組合對號入座，與使用教材中的連線法相比，學生的正確率更高。

4.總結

由以上三個實例可以看出在高中生物學的日常教學中，教師引導學生進行相關的數學思維能力訓練是十分必要的。其實生物學很多理論的得出往往依賴于數學模型的構建分析，來源于對數學工具的使用。如通過相對表面積公式了解細胞不能無限長大的原因，通過大量數據的統計學分析得到基因分離定律、自由組合定律，通過函數公式和曲線模型描述種群增長規律。利用數學思維，使用數學工具更能客觀、形象地揭示生物學規律，在揭示生物學規律的道路上，眾多生物學家對于數學的癡迷甚至使得生物學衍生出了一門和數學相關的分支學科——生物數學。所以，在生物學教學中適時、適度穿插數學思維及方法，不僅有助于學生解決實際的生物學問題，還能使得學生重溫數學在生物學理論的誕生過程中體現重大價值的科學史實，從而提高中學生的學科核心素養。