地震波形約束的蒙特卡洛—馬爾科夫鏈隨機反演方法

周爽爽 印興耀* 裴 松 楊亞明

(①中國石油大學(華東)地球科學與技術學院，山東青島 266580；②海洋國家實驗室海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室，山東青島 266071)

0 引言

地震反演是獲取地下介質彈性參數，揭示地下儲層展布規律、物性及含油氣性的有效途徑[1-4]。隨著油田勘探、開發的不斷推進，對儲層預測的精度要求也越來越高，因此高精度儲層反演技術在薄互層識別中的作用越來越重要[5-6]。地震反演分為確定性反演與隨機反演兩大類，其中確定性反演以正則化方法為基礎[7-10]，通過弱化反演過程的不適定性，求解一個逼近真實解的最優解或近似解，但是該方法受地震分辨率及帶限子波的限制，在識別調諧尺度內薄層時具有一定的局限性。

與傳統的確定性反演方法相比，隨機反演識別薄層具有一定優勢[11]。以地質統計學為基礎、以測井資料為條件數據的地震隨機反演方法的分辨率高于常規確定性反演[12-15]，因此迅速得到廣泛應用，但是提高計算效率以及消除隨機性一直是難點。基于序貫高斯、模擬退火等地質統計學算法的隨機反演利用垂向密集的井點數據求取空間變差函數進行隨機建模[16]，然而在求取各個方向的變差函數變程時人為因素影響較大，導致反演結果隨機性較強[17-19]。王保麗等[20]構建了基于FFT-MA(fast Fourier transform-moving average)譜模擬的快速隨機反演方法，采用逐步變形算法快速迭代求解重新構造的目標函數，將復雜的求解問題簡單化，有效提高了運算效率。針對隨機采樣，以蒙特卡洛—馬爾科夫鏈(Monte Carlo Markov chain，MCMC)算法為例，在獲取模型參數后驗概率密度分布隨機樣本的基礎上，采用統計分析手段獲取模型參數的統計特征(如均值、協方差等)[21-23]。Hong等[24]采用多尺度標準遺傳算法的MCMC方法不斷優化已知模型以獲得最優參數，提高了MCMC算法的計算效率以及估值精度；基于Metropolis算法[25]，Hastings[26]提出了Metropolis-Hastings(M-H)算法，介紹了蒙特卡洛估計誤差的相關理論、應用技術以及誤差評估方法；Smith等[27]利用MCMC方法獲取模型參數的后驗分布，嘗試利用MCMC算法逼近貝葉斯統計分析中的積分等運算，可提供大量與未知參數有關的全局信息；張廣智等[28-32]提出構建一種自適應的建議分布，能夠自適應并不斷更新構成的馬爾科夫鏈，有效地加快了馬爾科夫鏈的收斂速度；李坤等[33]在待反演參數服從混合概率先驗模型的前提下，提出了基于差分進化MCMC隨機模型的相約束疊前地震概率化反演方法，充分模擬了待反演模型的后驗概率密度分布(如均值、方差及置信區間)。

針對上述方法存在的隨機性強、運算效率低等問題，本文提出了基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法。充分利用觀測地震數據和待反演參數之間的地球物理映射關系，應用相關系數，根據已知的地震波形之間的相似性特征指導井數據進行偽普通克里金插值模擬，建立具有地震波形指示的初始模型；在此基礎上，進一步在貝葉斯框架下構建觀測地震數據和測井數據協同約束的后驗概率密度分布，結合M-H采樣算法多次隨機模擬具有地震波形指示的初始模型參數，利用后驗均值作為模型參數的最優解。該方法有效地提高了反演穩定性和橫向連續性，降低了隨機性，有效地弱化了地震噪聲對反演結果的影響，并且極大地加快了馬爾科夫鏈的收斂速度，有效地提高了該方法的運算效率和估算精度。

1 理論與方法

1.1 初始模型

地震振幅的變化間接地反映了地下儲層參數的空間變化，由于觀測地震數據和儲層參數之間存在一定的地球物理映射關系[33]，因此可以根據已知觀測地震數據指導已知井信息完成地下未知儲層參數的插值運算。基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法借鑒傳統的地質統計學建模思想，建立具有地震波形指示的初始模型的基本思想是：在工區所有井數據的基礎上，統計所有井的井旁地震道以及井上與井旁地震道對應位置的預測參數曲線，依據統計得到的待預測點處的地震波形與井旁地震道所有樣本點處的地震波形之間的相關系數，對所有井進行相關度排序，優選與待預測點關聯度高的井樣本建立初始模型；利用普通偽克里金插值方法對含有高頻成分的井數據進行無偏最優估計，最終反演的地震波形與原始地震特征一致，其中包含確定性較強的寬頻(高頻成分)彈性參數。

利用相關系數根據地震波形相似性優選井樣本(圖1)。根據觀測地震數據和待反演參數之間的地球物理映射關系，充分利用地震波形相似性由優選的井樣本模擬地下未知模型參數。用普通偽克里金插值公式表示待反演參數的建模過程

(1)

式中：Z(x0)為待模擬插值參數x0處的值；Z(xi)為由井旁地震數據篩選的已預測井樣本點xi處的對應值；λi為Z(xi)在待插值處的權重；n為參與井的個數。本文根據普通克里金的定義，推導了一種新的利用地震波形相似性指導井數據進行無偏最優估計的插值方法，并建立了具有波形指示的初始模型。

在普通克里金定義中，假設對于某區域內任意點p(x，y)的期望c與方差σ2都是相同的，即對于任意一點p(x，y)，都有

圖1 地震波形和井參數優選示意圖[5]①為優選樣本，②為統計樣本E[p(x，y)]=E(p)=c

(2)

Δ[p(x，y)]=σ2

(3)

無偏估計條件為

(4)

普通克里金插值公式為

(5)

(6)

化簡可得

(7)

相應地，估計方差為

(8)

令Cij=Cov(zi，zj)，則有

(9)

相關系數為

(10)

式中rij為地震數據點zi地震波形與地震數據點zj地震波形的相關系數。將式(10)代入式(9)，則有

(11)

我們的目標是尋找使J最小的一組λi，且J是λi的函數。因此將J對λi求偏導數并令其為0，即

(12)

(13)

(14)

由于rkj=rjk，則式(14)變為

(15)

由式(15)得到了求解權重系數λj的方程組

(16)

寫成矩陣形式

對矩陣進行逆運算即可求出已知點處地震數據在待預測點處所占的權重，根據觀測地震數據和待反演參數之間的地球物理映射關系，以此矩陣求得的權重λj代替式(1)中的λi，從而完成初始模型的建立(圖2)。

圖2 初始模型建立流程

從初始模型建立流程(圖2)可知，應用地震波形相似性指導已知井參數信息建立初始模型的過程與常規序貫采樣方式不同，在每一個待預測點都經過嚴格的波形優選進行偽克里金插值，已插值點并不參與下一個未知點的插值過程，每個插值點的模擬都從實際優選樣本出發進行無偏最優估計，有效降低了地震噪聲的影響和隨機誤差的累積。

建立具有波形指示的初始模型過程中需要注意地震波形樣本選取的時窗和樣本井的最高截止頻率這兩個重要參數的選取。地震波形樣本選取的時窗用于對比待預測點地震波形和井旁地震道波形組成點的個數，下文將該參數簡稱為有效樣本數。參與井樣本的最高截止頻率代表參與井的目標層井數據達到一定相似性時的頻率；當參與井目標層的井旁地震道地震波形達到一定的相似度時，通過不斷對參與井的目標層縱波阻抗數據進行高頻濾波，發現參與井的目標層井數據之間的相關系數隨著最高截止頻率的降低而增大，當其與井旁地震道的相關系數相同時，頻率范圍遠遠大于地震數據的有效頻寬[34]。最后，利用普通偽克里金插值方法在地震波形相似性的指導下對含有高頻成分的優選井樣本數據進行無偏最優估計，并將優選井的縱波阻抗數據作為先驗信息，從而建立具有地震波形指示的初始模型，該模型包含了確定性較強(大于地震有效頻寬)的寬頻縱波阻抗參數。

1.2 M-H算法

MCMC算法的主要目的是構成一條平穩分布的馬爾科夫鏈，同時該鏈是不可約的[21]。M-H算法是構造馬爾科夫鏈的一種常用方法。本文采用M-H算法根據某個建議分布不斷迭代后驗概率密度函數，使其達到平穩條件。

首先，設q(θ，v)是與目標后驗概率密度分布π(θ|D)較接近的某已知分布D，一般稱其為建議分布，也稱為備選生成密度，q(θ，v)表示參數θ的潛在轉移θ→v，滿足

(17)

(1)任意選擇一個初值θ(t)，并令t=0 ；

(2)從q[θ(t)，v]中生成一個備選值θ*，并從均勻分布U(0，1)中抽取隨機數μ；

(3)若μ≤α[θ(t)，θ*]，則θ(t+1)=θ*，否則令θ(t+1)=θ(t)，此時接受概率[26](轉移核概率)為

(18)

(4)令t=t+1 ，并返回到步驟(2)，反復迭代直至平穩狀態。

很容易證明，以此種方式構建的接受概率α(θ，v)滿足細致平衡條件。

1.3 基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法

基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法，充分利用地震數據之間的相關系數代替測井數據之間的相關系數，構建具有地震波形指示的初始模型。以此為基礎，在貝葉斯框架下構建觀測地震數據和測井數據協同約束的后驗概率密度分布，并將其作為目標函數，結合M-H算法不斷擾動模型參數，利用后驗均值作為模型參數的最優解，并且取多次有效實現的均值作為期望值輸出，有效提高了反演穩定性和橫向連續性。

反演問題[35]可以表述為

p(m|d)=f(m)+e

(19)

式中：p(m|d)為待反演參數的后驗概率密度函數，m為地震波形指示初始模型約束，d為觀測數據；f為正演算子；e為觀測噪聲。在貝葉斯框架下聯合似然函數p(d|m)和先驗信息p(m)的p(m|d)可寫為[36]

p(m|d)=p(m)·p(d|m)

(20)

(21)

(22)

式中N為采樣點的個數。式(20)變為

(23)

式中：ε為可調因子；λ為常數。

為了得到所估參數的后驗概率密度分布p(m|d)，利用M-H算法生成馬爾科夫鏈，其建議分布函數取為高斯分布

(24)

其中q(mk，m*)表示采樣點為k時的初始模型的值mk的潛在轉移(mk→m*)，轉移概率[22]為

(25)

為了使馬爾科夫鏈最終收斂于未知參數m的后驗概率分布，后驗概率密度分布即為平穩分布p(m)·p(d|m)。令

(26)

則轉移概率[28]為

α(mk，m*)=exp[α′(mk，m*)]

(27)

其中

α′(mk，m*)=min{0，J(m*)+lg[q(m*，mk)]

-J(mk)-lg[q(mk，m*)]}

(28)

最后，在M-H采樣算法下不斷擾動模型參數，多次隨機模擬具有地震波形指示的初始模型參數，利用后驗均值作為模型參數的最優解。

2 二維模型試算

為了進一步驗證基于地震波形約束的MCMC隨機反演效果，抽取部分Marmousi2模型反演試算疊后縱波阻抗IP。模型時窗為1000～1240ms，從部分Marmousi2模型(圖3a)中隨機抽取11道縱波阻抗數據作為已知偽井數據(圖3b)，利用偽井數據與30Hz的雷克子波合成的地震數據(圖3c)建立初始模型(圖4)。可見：有效樣本數越小，初始模型的橫向連續性越差，縱向分辨率越高，反之亦然；有效樣本數為10時初始模型的縱向分辨率和橫向分辨率相對較高(圖4b)，間接反映了原始阻抗模型(圖3a)的大致特征，因此取該模型作為模型測試的最終初始模型。

為了更好地測試基于地震波形約束的MCMC隨機反演的抗噪性，分別對含噪和無噪地震數據進行二維反演測試。圖5為初始模型第42道數據的基于地震波形約束的MCMC隨機反演結果。由圖可見，地震噪聲對反演結果影響不大。圖6為反演結果及其合成記錄。由圖可見：無噪數據、含噪數據地震波形約束的MCMC隨機反演結果(圖6c、圖6e)與原始模型(圖6a)相近，表明地震波形約束的MCMC隨機反演方法具有較好的抗噪性和可行性；無噪數據、含噪數據的地震波形約束的MCMC隨機反演結果合成記錄(圖6d、圖6f)均與原始地震記錄(圖3c)基本一致。

圖3 縱波阻抗模型以及原始地震記錄(a)縱波阻抗； (b)縱波阻抗偽井數據； (c)原始地震記錄

圖4 有效樣本數分別為5(a)、10(b)、15(c)和20(d)時建立的初始模型

圖5 初始模型第42道數據的基于地震波形約束的MCMC隨機反演結果(a)無噪； (b)信噪比為10

圖6 反演結果及其合成地震記錄(a)原始模型； (b)地震記錄(信噪比為10)； (c)地震波形約束的MCMC隨機反演結果(無噪)； (d)圖c的 合成記錄； (e)地震波形約束的MCMC隨機反演結果(信噪比為10)； (f)圖e的合成記錄

3 實際資料應用

將基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法應用于中國東部F區實際數據。該區面積約為20km2，區內有11口井，反演時窗為2000～2600ms，采樣率為2ms。將經過標準化和精細井震標定的11口井作為樣本井，建立具有波形指示的初始模型。任意選取一個過兩口井的剖面為研究資料。根據樣本井縱波阻抗曲線與對應的井旁地震道分析結果，為了盡可能使井曲線與地震波形具有較好的映射關系，以保證目標層樣本井曲線間的相關系數大于目標層井旁地震道間的相關指數，對樣本井作低通濾波，選取最高截止頻率為130Hz，從而建立地震波形指示的初始模型。基于地震波形約束的MCMC隨機反演的目的是提高隨機反演方法的確定性和反演結果的分辨率，同時降低反演結果的隨機性。

圖7為第57道某點的馬爾科夫鏈，可見經過10000次迭代后縱波阻抗的馬爾科夫鏈基本收斂。鑒于本文利用后驗均值作為模型參數的最優解，為了確保反演結果的精度，盡可能降低反演解的隨機性，在二維實際資料反演時設置迭代次數為12000，并取后2000次的反演結果均值作為1次隨機反演結果輸出。

圖8為第57道不同初始模型的反演結果。由圖可見：對比不同方法的1次反演結果(圖8a、圖8c)表明，基于地震波形約束的MCMC隨機反演結果的穩定性高于確定性反演結果，且后者使用不同的初始模型對反演結果影響不大；對比不同方法的20次反演結果(圖8b、圖8d)表明，不同模型的基于地震波形約束的MCMC隨機反演效果好于確定性反演。為了對比基于地震波形約束的MCMC隨機反演和確定性反演的效果，在下文前者采用具有地震波形指示的初始模型，后者采用普通低頻模型。

圖9為第57道不同樣本數的反演結果。由圖可見，基于地震波形約束的MCMC隨機反演結果的高、低頻信息豐富(圖9b、圖9d)，有效緩解了確定性反演精度對初始模型的依賴，且反演結果的縱向分辨率較高。

圖10為基于地震波形約束的MCMC隨機反演結果及初始模型。由圖可見：①有效樣本數為10的初始模型(圖10e)效果好于有效樣本數為20的初始模型(圖10f)，且能反映20次反演結果(圖10b)的基本特征。②有效樣本數為10(圖10b)、20(圖10d)的20次反演結果趨勢和井曲線趨勢大致吻合，且前者的反演精度更高。對比原始地震記錄(圖11a)與有效樣本數為10的反演結果合成記錄(圖11b)可見，兩者幾乎一致，也證明基于地震波形約束的MCMC隨機反演結果的可靠性。

圖7 第57道某點的馬爾科夫鏈

圖8 第57道不同初始模型的反演結果(a)常規初始模型1次反演結果； (b)常規初始模型20次反演結果； (c)有效樣本數為10的地震 波形指示初始模型1次反演結果； (d)有效樣本數為10的地震波形指示初始模型20次反演結果

圖9 第57道不同樣本數的反演結果(a)有效樣本數為10的合成記錄與原始地震記錄； (b)有效樣本數為10的20次反演結果； (c)有效樣本數為20的合成記錄與原始地震記錄； (d)有效樣本數為20的20次反演結果

圖10 基于地震波形約束的MCMC隨機反演結果及初始模型(a)有效樣本數為10的1次反演結果； (b)有效樣本數為10的20次反演結果； (c)有效樣本數為20的1次反演結果； (d)有效樣本數為20的20次反演結果； (e)有效樣本數為10的初始模型； (f)有效樣本數為20的初始模型 將兩口驗證井的縱波阻抗曲線投射在反演剖面中，為了更好地了解井曲線變化趨勢，對井曲線進行了130Hz的低通濾波

圖12為不同反演結果。由圖中的白色虛線標記區域可見：基于地震波形約束的隨機反演方法(圖12a)和常規隨機反演方法(圖12c)均有效地提高了反演精度，對識別調諧尺度內的薄儲層具有一定優勢；前者在提高縱向分辨率的同時也提高了橫向分辨率，且在引入波形指示初始模型的約束下，反演結果具有豐富的高、低頻信息，有效地緩解了常規稀疏脈沖反演(圖12b)精度對初始模型(圖12d、圖12e)的依賴。

圖11 原始地震記錄(a)與有效樣本數為10的反演結果合成記錄(b)

圖12 不同反演結果(a)有效樣本數為10的基于地震波形約束的MCMC 20次隨機反演結果； (b)常規稀疏脈沖反演 結果； (c)常規隨機反演結果； (d)基于波形指示初始模型的稀疏脈沖反演結果； (e)常規初始模型

4 結論

(1)本文采用基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法，利用地震波形的相似性指導測井數據建立具有波形指示的初始模型；此外，在貝葉斯框架下構建了觀測地震數據和測井數據協同約束的后驗概率密度分布，引入M-H采樣算法多次隨機模擬初始模型參數，利用后驗均值作為模型參數的最優解，有效地提高了反演的穩定性和橫向連續性。

(2)考慮到MCMC隨機反演方法的固有性質，其反演精度和馬爾科夫鏈迭代效率受不同建議分布以及不同模型約束條件的影響較大。為了盡可能降低這些不確定因素的影響，提高反演的穩定性，本文在MCMC隨機反演方法的基礎上加入波形指示的初始模型約束，可以使馬爾科夫鏈快速收斂，間接提高了反演效率，同時也改善了隨機反演精度和橫向連續性。

(3)模型試算和實際資料反演效果表明，基于地震波形約束的MCMC隨機反演方法具有較好的抗噪性，有效提高了反演精度，對識別調諧尺度內薄儲層具有一定優勢，在提高縱向分辨率的同時也提高了橫向分辨率。